時間與燃料約束的參數自主尋優變軌滑模控制

張晗，康國華，*，張琪，魏建宇，戴澗峰

1. 南京航空航天大學 航天學院，南京 211106 2. 航天東方紅衛星有限公司，北京 100094

1 引言

在航天器軌道機動中通常需要根據期望(標稱)軌跡對軌道進行控制，矯正運動中的位置與速度誤差。為適應復雜空間環境的影響，要求運動控制策略必須滿足強魯棒性、高精度及穩定性等性能屬性[1-2]以及安全避障、有限時間收斂、燃料消耗等特定約束條件。

針對空間相對動力學的控制問題，文獻[3]基于狀態轉移矩陣研究了空間多脈沖懸停的多脈沖控制方法。文獻[4]使用高斯偽譜法生成了航天器交會逼近問題的優化解決方案，并使用閉環控制對軌跡進行跟蹤優化。文獻[5]提出一種以最小時間算法執行航天器大角度機動的改進滑模控制方法，并與先前開發的控制方案本征四元數調節器進行對比，驗證了該算法的優越性。為保障追蹤航天器的安全，文獻[6]針對航天器近距離逼近問題，在建立的相對運動和避碰模型的基礎上，設計了考慮外界擾動上界已知和未知兩種情況下的有限時間收斂避碰控制器，并通過Lyapunov理論和避碰勢函數證明控制器系統能在有限時間收斂。上述方法成功地將多種約束條件引入航天器相對動力學模型中，為本文提出的滑?？刂萍s束條件的引入提供了基礎。

隨著航天器任務變軌需求的增加和軌控能力增強，目前很多成熟控制方法開始應用于航天器相對變軌任務中。其中，滑?？刂?sliding mode control, SMC)因其良好的魯棒性以及擾動抑制能力[7]，被廣泛使用。文獻[8]提出一種魯計模糊神經網絡(FNN)自適應調節滑?？刂破鳎軌蛟诤教炱髻|量分布改變時仍然保持控制器的有效性和穩定性。文獻[9]就橢圓軌道上的航天器近距離無碰撞交會相對運動控制進行了研究，提出一種結合最優滑?？刂?OSMC)和人工勢函數(APF)的防撞自主混合控制算法，實現空間交會的無碰撞接近控制。上述算法基于有限時間、最優控制以及防碰撞等約束條件，與滑模控制理論相結合進行了研究，并成功應用到航天器變軌控制任務中，為本文研究多約束的變軌滑?？刂频於斯こ虒崿F基礎。

然而，在實際的航天器軌道相對運動控制任務中，滑?？刂破骺刂茀等≈抵苯佑绊懥丝刂频男Ч途萚10]，以及燃料消耗的情況?；诖?，本文在指數趨近的滑?？刂破骰A上，提出一種綜合考慮時間、燃耗以及誤差的參數自主尋優規則。首先，深入分析了各項控制參數在量級取值上的約束條件，融入避碰時間約束制定了控制參數量級尋優規則；其次，采用慣性權值優化的粒子群算法設計了燃料最優、誤差有界的多輸出適應度函數，并綜合考慮誤差和燃料約束，確定了系數尋優規則；最后，輸出最優量級/系數組合的控制參數，實現有限時間內的狀態收斂，使消耗的燃料盡可能最少。

2 問題描述

根據航天任務的實際需求，在以目標航天器為原點建立的相對運動坐標系中，通常要求追蹤航天器(Sat)在控制指令存在初始誤差和受外界擾動的情況下，能夠在有限時間內其運動軌跡收斂至軌跡規劃器輸出的任務標稱軌跡(期望軌跡)，如圖1所示。

圖1 相對運動坐標系中的軌跡修正控制Fig.1 Trajectory correction control in relative motion coordinate system

鑒于當前空間碎片威脅以及目標機動等突發因素，該控制過程要求具有抗擾能力：可以處理緊急避障及時間最短等突發情況。這類相似問題，通常采用滑?？刂芠11]處理，但該算法：

1)依據經驗人工調節控制參數，自主性弱；

2)通常以誤差收斂精度作為唯一標準，未考慮時間、燃料約束；

3)容易因參數設置不合理引起控制抖振[12]。

鑒于軌跡的安全性與燃料的重要性，針對上述問題，需設計一種能夠需要滿足如下規則的控制器：

1)可自主完成滑?？刂破鲄翟O置；

2)具有實時避障能力，軌跡躲避障礙物收斂至標稱軌跡允許誤差范圍內；

3)滿足燃料、時間最優等參數設置要求，且避免抖振。

根據上述目標，選擇合適的指數趨近律對滑模偏差控制器進行建模。

3 滑模偏差控制器建模

滑?？刂谱鳛橐活愄厥獾姆蔷€性控制，主要包含兩部分：設計合適的滑模面；選擇合適的趨近律使系統狀態向滑模面運動。當系統狀態到達滑模面后，在滑模面的約束下系統狀態誤差將實現收斂。構建相對變軌控制中滑模偏差控制器：

(1)

s=λe(t)=Cep(t)+Iev(t)

(2)

式中：k=diag[kx,ky,kz]與ε=diag[εx,εy,εz]是待尋優的三維參數。構成的滑模偏差控制器：

(λB)-1[-λAe(t)-ks-εsgn(s)]

(3)

為驗證控制器的有效性，需要證明其穩定性。首先，根據上述滑模偏差控制器構建Lyapunov函數如下：

然后，對上式進行求導得：

-ks2-ε|s|

(4)

4 控制模型參數自動尋優策略

在式(1)滑模偏差控制器模型基礎上引入滑?？刂茀底灾鲗炂鳎蛊渚哂袇底灾髟O置的能力，構建的航天器相對運動軌跡修正控制器如圖2所示。

圖2 航天器相對運動軌跡修正控制器Fig.2 Spacecraft relative motion trajectory correction controller

圖2中的PSO為粒子群算法(particle swarm optimization)。通過分析發現，滑模初始化的控制參數存在無法尋優情況，即在粒子迭代尋優之前初始化參數本身無最優空間或尋優耗時極長；通過對各種初始化參數對比分析發現，若已知各控制參數的具體量級，在此基礎上使用粒子算法尋找各參數對應量級下的最優系數，可使尋優的效果更加快速，精確。因此，這里設置的參數量級分析模塊，可以通過考慮Lyapunov條件、收斂時間以及外界干擾的約束關系，確定各參數對應的具體最優量級。然后將各參數量級作為后續系數尋優模塊的輸入條件，從而更加快速、準確地找到最優控制參數。不失一般性，對圖2算法對應的場景作如下假設：

1)航天器受到的干擾力量級已知，范圍有限；

2)軌跡規劃器已經輸出了符合能量最優的標稱狀態與標稱控制；

3)目標航天器未施加主動控制，追蹤航天器具有機動能力(各個方向均安裝推力器，可提供任意矢量方向的推力，施加推力前不需要建立點火姿態)；

4)軌跡規劃器所進行的避障判斷準確有效，能夠為滑?？刂茀祵炂魈峁┚_的時間約束，使其在該時刻實際狀態收斂后就能實現避障。

基于以上假設，對圖2中虛線框出部分進行設計，主要分為量級尋優策略與系數尋優策略兩類。

4.1 量級尋優策略

(1)參數k與ε的量級尋優策略

通過分析，若想讓滑模面在有限時間內達到穩定點，需修改Lyapunov條件為：

(5)

式中：α為引入的三維中間變量。對改進后的條件進行分離變量和積分：

(6)

式中：tcv為滑模面收斂至0時間。對式(6)左邊積分：

整理式(6)得到α與tcv之間的關系為：

(7)

聯立式(4)(5)得到控制器參數k與ε約束關系為：

也就是說，只有滿足上式才能使滑模面在有限時間內收斂，故將其作為量級尋優策略的基礎。

綜合考慮狀態誤差、滑模面以及控制的有限時間收斂，通過多次調參測試(見表1)，基于如下假設構建參數k與ε的量級尋優模型：針對參數k，當其與參數α的量級差小于0時，狀態誤差不收斂，控制輸出抖振；量級差大于或等于0時，狀態誤差收斂，控制輸出正常；量級差過大時(大于標準量級差)，控制器幾乎失效。于是確定參數k的量級Nk=[Nkx,Nky,Nkz]與參數α的量級Nα=[Nαx,Nαy,Nαz]之間的偏差關系為Dm=Nki-Nαi≥0,i=x,y,z，且經過測試，默認Nki越大，燃料消耗越多。針對參數ε，當其與外界干擾(L)量級差大于0時，控制輸出抖振；量級差小于或等于0時，狀態誤差收斂，控制輸出正常。于是確定參數ε的量級Nε=[Nεx,Nεy,Nεz]與干擾的量級NL=[NLx,NLy,NLz]關系為Dm=Nεi-NLi≤0,i=x,y,z，同樣經過測試，默認Nεi越大，燃料消耗越多。

表1 待尋優參數多次測試規律總結

根據上述假設與多次測試規律總結，提出以下兩條規則用以確定參數k與ε的最優量級：

規則1：對于收斂時間tcv確定的滑模偏差控制器，根據式(7)確定參數向量α的量級Nα，取參數k的量級尋優策略為：Nki-Nαi≥ξ1i,i=x,y,z，其中ξ1=[ξ1x,ξ1y,ξ1z]中各個參數取值范圍大于或等于0(初始值為0，依次加1)，直到tcv時狀態誤差收斂至閾值δtcv；tcv→tF時段收斂至δtcv→tF且不出現抖振，輸出確定的參數向量k的最優量級為Nk。

規則2：若已知干擾參數的向量L對應的量級NL=[NLx,NLy,NLz]，取參數ε的量級尋優策略為：Nεi-NLi=ξ2i,i=x,y,z，其中ξ2=[ξ2x,ξ2y,ξ2z]中各個參數取值范圍在[δε,0] (初始值為0，依次減1)，直到tcv時狀態誤差收斂至閾值δtcv；tcv→tF時段收斂至δtcv→tF且不出現抖振，輸出確定的參數向量ε的最優量級為Nε，如圖3所示。

圖3 參數k與ε的量級尋優規則Fig.3 Magnitude optimization rule for parameters kand ε

(2)參數λ的量級/系數確定策略

根據式(3)設計的滑模偏差控制器，能夠使整個系統的狀態s在有限時間內收斂至滑模面上，但系統的狀態誤差e(t)只能在無窮時刻才能收斂至零。因此，需要對狀態誤差收斂的程度進行分析。首先，在式(2)的基礎上得出下式：

若取狀態誤差的收斂時間為tcv，且用參數βi=Citcv,i=x,y,z表示狀態誤差的收斂程度，從而確定誤差量級譜的公式如下：

Nβi=[lg |epi(0)e-βi|]

(8)

當參數k與ε一定時，改變參數λ，工質的消耗與收斂的速度成反比。在保障安全的情況下，收斂時間tcv越長，消耗的燃料越少。然后，根據誤差精度的要求，確定合適的收斂量級βi，從而確定參數C的值，即確定參數λ。

4.2 系數尋優策略

(1) 慣性權值變化的粒子群算法

傳統的粒子群算法在早期的收斂速度過快，極易陷入局部最優[14]。因此，文獻[15]引入慣性權值ω用以反映粒子依賴本身運動習慣的程度，將粒子的狀態轉移方程改寫成如下形式：

vi(t+1)=ωvi(t)+c1r1[pi(t)-xi(t)]+

c2r2[g(t)-xi(t)]xi(t+1)=

xi(t)+vi(t+1)

式中：xi(t)=(xi1,xi2,…,xid)表示粒子位置；vi(t)=(vi1,vi2,…,vid)表示粒子方向和速度；i∈[1,N]，N為設置粒子總數;c1和c2表示學習因子，反映粒子對自身歷史經驗記憶的依賴程度；r1和r2是在[0,1]區間變化的隨機加速度權重系數。

慣性權值的設置對算法影響較大，主要規律為：1)當慣性權值ω較大時，算法在全局搜索上表現較強；2)當慣性權值ω較小時，算法在局部搜索上表現力強，收斂性強。已知參數k與ε的量級，以及初始化粒子期間已獲得的第1個全局極值對應的最優參數xi(0)。在此基礎上，構建慣性權值變化模型：當迭代次數Mj

規則3：對于總迭代次數Mm，給定絕對局部搜索閾值比率為η，于是絕對局部搜索閾值為Mδ=ηMm。當迭代次數Mj

式中：km為收斂系數。當Mj≥Mδ時，令ω=ωmin。

(2)適應度值及其評價規則

1)適應度值。將每個粒子攜帶的位置信息作為適應度函數的輸入，并分別計算該位置信息下的適應度值，將輸出的適應度值設置為3個參考量：3軸在時刻tcv的誤差絕對值之和eptcv：

eptcv=|epxtcv|+|epytcv|+|epztcv|

式中：epxtcv、epytcv、epztcv為時刻tcv時各軸的誤差值；三軸的速度增量Δv為

Δv=

式中：ux、uy、uz分別為在時間段[0,tF]內各軸的偏差控制加速度輸出；三軸在時間tcv后的誤差平均值eptcv→tF：

eptcv→tF=

2)評價規則。根據3個指標，確定初始化階段(階段1，見圖4)和更新階段(階段2，見圖5)的全局極值粒子以及所有粒子的個體極值位置，構建如下評價規則。

圖4 階段1的個體與全局最優更新規則Fig.4 Individual and global optimal update rules of stage 1

圖5 階段2的個體與全局最優更新規則示意Fig.5 Individual and global optimal update rules of stage 2

規則4 (階段1)：初始化第一個全局極值的系數為g=[9.9,9.9,9.9,9.9,9.9,9.9](即參數k與ε在最優量級下能取的最大值)，然后該粒子的適應度值Fitg[eptcv(g),Δv(g),eptcv→tF(g)]進行計算。當進入循環迭代后，再對每個粒子個體極值pi,i∈[1,N]的適應度值Fiti[eptcv(pi),Δv(pi),eptcv→tF(pi)]進行計算；當同時滿足下述條件eptcv(pi)<δtcv，eptcv→tF(pi)<δtcv→tF以及Δv(pi)<Δv(g)時，更新初始全局極值g。如圖4所示，虛線框出部分對應規則4的判定條件。

5 仿真校驗與分析

5.1 仿真參數設置

利用Matlab搭建算法程序，整個仿真運行環境如表2所示。

表2 仿真環境參數

追蹤航天器在存在初始誤差與外界干擾條件下，在以目標航天器為坐標原點的相對運動坐標系中，進行相對運動軌跡修正控制，仿真參數如表3所示。

表3 仿真參數設置

在本例中，追蹤航天器與目標航天器處于異面狀態，初始條件下的追蹤航天器在相對坐標系下實際狀態誤差如表4所示(參考軌道高度500 km，初始相對距離約2.69 km，目標航天器在追蹤航天器右前方)。為使整個仿真過程更具一般性，現取3組數據加以驗證，并設計最優量級確定策略與最優系數確定策略中的仿真參數如表5所示(擾動施加為-5量級的正弦函數)。

表4 追蹤航天器在相對坐標下的實際狀態誤差

表5 最優量級/系數確定策略仿真參數

5.2 仿真結果與分析

根據表3-5進行仿真環境初始化，分別驗證參數自主尋優算法中量級尋優策略與系數尋優策略的有效性。根據式(8)得出的參數β下收斂時間tcv時的誤差量級譜如圖6所示。

圖6 參數β下收斂時間tcv時的誤差量級譜Fig.6 Error magnitude spectrum at convergence timetcv under parameter β

由圖6分析可知，β的增大使得誤差收斂的精度變高，但是，由于βi=Citcv,i=x,y,z(tcv給定)也會直接導致參數C(λ)的增大，從而使燃料消耗增多。于是，β的取值應該在逐漸增大直至滿足誤差收斂條件的循環中產生。

根據表4中的3組數據(數據編號唯一)，結合參數λ量級/系數確定策略得出λ中參數C的值如表6所示；結合參數k與ε的量級尋優規則得出參數最優量級如表7所示。

表6 β自適應變化時的參數C的取值

表7 量級尋優策略下的各參數量級分布

表6和表7證明了參數λ量級/系數確定策略與參數k與ε量級尋優策略的有效性，以及對控制精度要求變化的適應性。將表6中的值組合形成參數λ，以及表7中參數k與ε的最優量級，作為系數尋優策略的輸入，得到適應度曲線如圖7所示，參數k與ε的最優量級與最優系數組合之后的結果如表8所示。

表8 參數自動尋優的滑?？刂破髦饕阅苤笜思皡到Y果

從圖7可知，在使用粒子群算法進行參數系數尋優，可使適應度值(速度增量)在有限迭代次數達到收斂，確定各參數在其量級下的最優系數。由表8可知，參數自主尋優過程可使滑模控制器中的各項參數的值穩定至小數點后多位，這是人為設置參數難以達到的精度；同時，對比表4可知，尋優器輸出的速度增量變化與誤差初始值的大小成正比，符合一般性。此外，為驗證尋優器性能，針對表4序號1的數據做了50次測試，得出系數尋優策略的速度增量變化如圖8所示。

圖8 速度增量50次測試(表4序號1數據)Fig.8 Speed increment test,50 times (No. 1 data,Table 4)

結果說明，粒子群算法的隨機性導致適應度值中的速度增量并不唯一(即系數組合不唯一)，但始終在平均值附近波動，并未出現不合理的結果，進一步驗證了系數尋優策略的有效性與穩定性。最后，將表8中序號為1的6個參數代入滑模偏差控制器，最終得到的位置誤差曲線、速度誤差曲線如圖9～10所示。

圖9 位置誤差曲線(表8序號1數據)Fig.9 Position error curve (No.1 data,Table 8)

圖10 速度誤差曲線(表8序號1數據)Fig.10 Speed error curve (No.1 data,Table 8)

綜上，使用本文提出的量級/系數組合參數自主尋優器，可以優化滑?？刂破魇謩忧覠o規律參數設置步驟，輸出粒子群算法優化的最優量級/系數參數組合。進一步，該控制參數組合下的滑模偏差控制器能夠使相對位置和速度誤差在規定時間和誤差允許范圍內達到收斂；同時，結合圖7～8進行分析，以速度增量降低方向作為評價標準的參數自主尋優器，能夠在有限迭代次數內收斂，說明該參數自主尋優器滿足了燃料最優的要求。

6 結論

本文提出的時間與燃料約束的參數自主尋優變軌滑?？刂扑惴?，具有較強的抗干擾能力，通過建立參數量級與系數的尋優規則，自主配置控制參數，實現滑模的燃料最優控制。該方法融合了相對運動方程與指數趨近的滑?？刂?，并結合能量最優的軌跡規劃器確定了具體的收斂時間，實現有效避障；其次，分析各控制參數的量級選取約束條件，制定了量級尋優的規則；然后，結合慣性權值優化的粒子群算法，限制適應度函數與最優系數更新規則；最后，輸出最優量級與系數組合的控制參數，實現有限時間收斂的燃料最優滑?？刂?。通過仿真測試，本文方法輸出的控制參數組合可使整個控制過程穩定收斂、且燃料消耗少。