考慮維修因素的多狀態系統可靠性建模方法

趙建忠，許宜賀，張 振，張 磊

(海軍航空大學，山東 煙臺 264001)

1 引言

隨著可靠性理論研究的不斷發展，描述元件故障由正常狀態和故障狀態，向考慮中間劣化狀態的多狀態描述方式轉變，使可靠性研究從二元狀態拓展到了多狀態領域[1-3]。當元件的故障失效時間服從指數分布時，可使用Markov過程直觀、全面地描述多狀態元件各狀態之間的轉移過程。然而，隨著系統中元件數量的增加，Markov過程面臨著組合爆炸問題。李志強等[4]應用將Markov過程與貝葉斯網絡相結合，研究了復雜系統在視情維修條件下的可靠性建模問題，但在貝葉斯網絡模型中條件概率值的求取往往需要人為設定一些參數值。為了避免上述人為主觀性因素的引入，Bentolhoda等[5]應用通用生成函數(universal generating function,UGF)研究了多狀態復雜系統的可靠性建模方法，但其系統結構相對簡單且未詳細考慮元件在不同維修條件下的狀態概率。對此，本文應用Markov過程分析多狀態元件在不同維修方式下的狀態轉移過程，以解決復雜系統在不同性能水平下可靠度函數的計算問題。

2 基于Markov過程的多狀態狀態轉移模型構建

多狀態元件包括正常運行狀態、中間退化狀態和故障失效狀態。根據不同的狀態劃分標準[6]，中間退化狀態可以分為一級退化狀態、二級退化狀態等多個狀態。假設某元件具有k個狀態，表示為g={g1,g2,…,gk}，對于任意狀態等級i，有gi+1≥gi。元件當前狀態函數為G(t)，有G(t)∈g，性能水平函數為W(t)，W(t)∈w={w1,w2,…,wm}，對于滿足使用要求的元件，滿足條件：G(t)≥W(t)。

2.1 無維修條件下元件的狀態轉移過程

定義一個離散狀態連續時間隨機過程{X(t)|t≥0}，X(t)∈{1,2,…,K}，時間參數t連續取值，t∈[0,∞)。對于t0

Pr{X(tn)=xn|X(tn-1)=xn-1,…,X(t1)=

x1,X(t0)=x0}=Pr{X(tn)=

xn|X(tn-1)=xn-1}

(1)

則隨機過程{X(t)|t≥0}稱為Markov過程。

多狀態元件發生漸變劣化和突變劣化的狀態轉移過程如圖1所示，以λ表示失效率。在初始時刻，元件處于完好無損狀態k，隨著時間推移可能發生從狀態k到k-1的漸變劣化過程，或者發生從狀態k到狀態i(i

圖1 無維修條件下元件狀態轉移過程示意圖

根據元件的狀態轉移關系，可以建立微分方程組如下：

(2)

式(1)中：λi, j為元件從狀態i轉移到狀態j的劣化密度函數；pi(t)為元件處于狀態i的概率函數。

微分方程的滿足初始條件：

pk(0)=1,pk-1(0)=pk-2(0)=…=p1(0)=0

(3)

2.2 考慮維修因素的狀態轉移模型

當元件為多狀態可維修元件時，除了發生漸變劣化和突變劣化的狀態轉移過程外，還包括相應的最小維修和較大維修，以μ表示維修率，考慮維修因素的元件狀態轉移過程如圖2所示。最小維修，使元件從狀態i轉移到狀態i+1；較大維修，使元件從狀態i轉移到狀態k(k>i+1)。在任意時刻t，元件處于狀態i，下一時刻元件可能發生到狀態j(j≠i)的轉移，或者繼續停留在狀態i。

圖2 考慮維修因素的元件狀態轉移過程示意圖

當元件發生故障失效時，即處于狀態1，完全維修可以使元件通過維修從狀態1回到完好狀態k，不完好維修可以使元件通過維修從狀態1回到任一上級狀態i(1

(4)

(5)

式(4)～(5)中，μj,i為元件從狀態j轉移到狀態i的維修密度函數。

微分方程組的初始條件同式(3)。

對于大多數元件來說，修復如新假設并不完全適用。立足于故障機理分析進行視情維修，通過對性能退化的元件修復，可以使其從退化狀態j恢復到較好的任一狀態i(j

(6)

3 基于UGF的多狀態系統可靠性模型構建

3.1 向量通用生成函數定義

假設G=(G1,G2,…,Gm)為m維離散隨機向量，其概率分布分別由集合g和q表示：g表示離散隨機向量G的M個可能取值，q表示M個取值對應的概率，則有[7]：

g={g1,g2,…,gM}

(7)

式(8)中，gl=(gl,1,gl,2,…,gl,m),l=1,2,…,M。

q={q1,q2,…,qM}

(8)

離散隨機向量G的向量通用生成函數為：

(9)

3.2 向量通用生成函數的運算

令H=(H1,H2,…,Hm′)為m′維離散隨機向量，概率分布可用集合h和p描述，其中，h={h1,h2,…,hM′}表示H所有可能的M′個取值，hk=(hk,1,hk,2,…,hk,M′)，p={p1,p2,…,pM′}表示每個取值對應的概率。則向量通用生成函數為：

(10)

令m″維離散隨機變量D=(D1,D2,…,Dm″)為G和H的函數，即D=f(G,H)，其中，

Di=fi(Gri(1),…,Gri(ai),Hsi(1),…,Hsi(bi))

(11)

可知，Di為Gri(1),…,Gri(ai),Hsi(1),…,Hsi(bi)的函數，即Di為離散隨機向量G的第ri(1),…,ri(ai)個分量與離散隨機向量H的第si(1),…,si(bi)個分量的函數。其中，1≤ri(1)<…

D的向量通用生成函數可以通過復合運算確定，即：

(12)

其中：

f(gl,hk)=(f1(gl,r1(1),…,gl,r1(a1),

hk,s1(1),…,hk,s1(b1)),…,fm″(gl,rm″(1),…,

gl,rm″(am″),hk,sm″(1),…,hk,sm″(bm″)))

(13)

當m=m′=m″時，隨機向量維數相同，式(11)為Di=fi(Gi,Hi)時，式(13)可簡化為：

f(gl,hk)=(f1(gl,1,hk,1),…,fm(gl,m,hk,m))

(14)

多個隨機向量的通用生成函數運算可參考文獻[8-10]。

3.3 多性能參數多狀態系統可靠性分析

對于大型復雜系統，一般可以通過串并聯邏輯關系進行簡化，多狀態串并聯系統如圖3所示。其可靠性分析的基本思路為：首先，根據元件的技術狀態和處于各個狀態的概率函數確定通用生成函數，然后，根據元件之間的冗余設置確定分系統的通用生成函數，最后，通過系統結構函數確定多狀態系統的可靠度指標。

圖3 多狀態串并聯系統示意圖

3.3.1確定元件向量通用生成函數

分系統i的元件j有Mij個狀態，t時刻元件的狀態性能為gij(t)={gij1(t),gij2(t),…,gijMij(t)}，對應狀態概率為qij(t)={qij1(t),qij2(t),…,qijMij(t)}。向量通用生成函數為：

(15)

3.3.2確定分系統向量通用生成函數

假設分系統i由ni個元件并聯組成，分系統性能與元件性能之間的關系表示為：

Xi=f(Gi1,Gi2,…,Gini)

(16)

式(16)中：Xi為分系統i的性能；Gi1,Gi2,…,Gini為元件性能。

分系統i的向量通用生成函數為：

(17)

式(17)中：Mi為分系統i的狀態數；{xi1(t),xi2(t),…,xiMi(t)}為t時刻分系統i的狀態性能；{qi1(t),qi2(t),…,qiMi(t)}為對應的概率。

3.3.3確定多狀態系統的可靠度

假設系統由N個分系統串聯組成，系統結構函數為：

Y=f(X1,X2,…,XN)

(18)

式(18)中：Y為系統性能；X1,X2,…,XN為分系統性能。

1) 系統結構函數已知。系統向量通用生成函數為：

(19)

式(19)中：Msys為系統狀態數；{y1(t),…,yMsys(t)}為t時刻系統的狀態性能；{q1(t),…,qMsys(t)}為對應的狀態概率。

定義如下運算符：

(20)

w為系統的最小性能需求，當系統的狀態性能不小于w時，系統可靠，當系統的狀態性能小于w時，系統不可靠。在時刻t系統的可靠度為：

(21)

2) 系統結構函數未知。對于串并聯系統，當各分系統可靠時，系統可靠。根據分系統的最小性能需求分別確定各分系統的可靠度，從而確定系統的可靠度。

令wi分系統i的最小性能需求，則t時刻分系統i的可靠度為：

(22)

則t時刻系統的可靠度為：

(23)

3) 系統性能與部分分系統性能有函數關系。假設前d(d

(24)

式(24)中：R1-d(t)為前d(d

4 案例分析

某機載控制單元由多種電子元器件和機械部件構成，結構復雜、故障模式多樣，在復雜運行環境條件下承受多種環境應力的沖擊，性能指標隨時間逐漸退化。現以該控制單元電源出現故障為頂事件建立如圖4所示的故障樹模型。頂事件TE失效由sys1失效、sys2失效和sys3失效等3個中間事件引起，而sys1由元件C1、元件C2組成，sys2失效由元件C3元件、元件C6、元件C4失效和元件C5組成，sys3由元件C7和元件C8組成，各個元件的狀態數、失效率、維修率、失效率比率和維修率比率如表1所示。

圖4 控制單元結構示意圖

表1 控制單元元件參數(年)

根據圖2與式(6)，可以建立3狀態元件的狀態轉移Markov過程以及對應的微分方程組，現以元件C2為例，其狀態轉移過程和微分方程分別如圖5(a)和式(25)所示。同理，可以建立3狀態元件的狀態轉移Markov過程以及對應的微分方程組，如圖5(b)和式(26)所示。經過拉式變換與反拉式變換，確定多狀態元件的可靠度值，如圖6所示。作為對比，建立3狀態元件和4狀態元件在完全維修與不完全維修條件下的狀態轉移過程以及對應的微分方程，經過拉式變換與反拉式變換即可確定元件的可靠度曲線。從圖6可以看出，在有維修情況下，多狀態元件的可靠度隨著時間逐漸趨向于平穩，但是，視情維修條件下元件可靠度高于完全維修條件下可靠度，而完全維修條件下的可靠度又高于不完全維修條件下可靠度，這與實際情況相吻合。

圖5 多狀態元件狀態轉移過程示意圖

圖6 多狀態元件可靠度曲線

(25)

(26)

對控制單元中的UGF進行兩兩合成，首先將元件C1和元件C2的UGF合并成U1(z)，類似地，將元件C4和元件C5的UGF合并成U2(z)，元件C7和元件C8的UGF合并成U3(z)，對應的UGF分別如式(27)、式(28)、式(29)所示。根據串聯系統元件UGF合成規則確定整個控制單元的UGF，如式(30)所示。

U1(z,t)=Ωfpar(p11z1+p12z2+p13z3+p14z4,

p21z1+p22z2+p23z3)

(27)

U2(z,t)=Ωfpar(p41z1+p42z2,p51z1+p52z2+p53z3)

(28)

U3(z,t)=Ωfpar(p71z1+p72z2+p73z3,

p81z1+p82z2+p83z3)

(29)

U(z,t)=Ω(U1(z,t),u3(z,t),U2(z,t),

u6(z,t),U3(z,t))

(30)

在控制單元的UGF函數中代入各個元件的可靠度指標與狀態等級，即可確定控制單元的可靠度指標，如圖7所示。由于視情維修可以根據控制單元的實時檢測數據判定單元的運行狀態，一旦控制單元發生退化或者失效，就可以立即采取維修措施，確保控制單元有很高的使用可靠度。而完全維修是在元件發生失效之后采取的措施，相比于視情維修存在一定的滯后性，此外，完全維修在理想條件下可以實現。應用文獻[4]中的方法可以得到類似的結論，這也證明了本文所用方法的有效性與正確性。

圖7 不同維修方式下控制單元的可靠度曲線

5 結論

相比于不完全維修，完全維修條件下的元件具有更高的可靠度。然而在工程實踐中，不完全維修更加普遍。本文考慮不同的維修策略條件，建立狀態轉移模型，研究多狀態系統的可靠性的建模方法，有利于實際工程問題的解決。通過求解Markov過程的狀態轉移微分方程，可以確定元件的通用生成函數，進而根據復雜系統元件之間的串并聯邏輯關系確定系統的通用生成函數，避免狀態空間組合爆炸問題。相比于貝葉斯網絡模型，通用生成函數避免了根據專家經驗確定條件概率值的繁瑣過程，避免了引入認知不確定性。