CPFS結構理論指導下的概念教學
——以“二次函數”概念教學為例

■姜鴻雁

CPFS結構 數學概念 整體性 數學抽象 探究能力

CPFS結構是2003年喻平教授在數學知識分類、數學知識表征的基礎上提出的原創性理論。筆者在學習該理論及相關系列成果之后，結合自身的思考，大膽實踐，現以一節“二次函數”概念課為例，將備課時的思考、教學設計、課后反思及學生的反饋與同仁分享，期待批評指正。

一、CPFS結構理論及理論指導下的備課思考

1.CPFS結構的含義。

概念域（concept field）、概念系（concept sys?tem）、命題域（proposition field）、命題系（proposi?tion system）構成的結構被稱為CPFS結構。CPFS結構的含義包含：（1）個體頭腦中內化的數學知識網絡，各知識點（概念、命題）在這個網絡中處于一定的位置，知識點之間具有等值抽象關系，或強抽象關系，或弱抽象關系，或廣義抽象關系；（2）正是由于網絡中知識點之間具有某種抽象關系，而這些抽象關系本身就蘊藏著思維方法，因而網絡中各知識點之間的聯結包含著數學方法，即“連線集”為一個“方法系統”；（3）數學學習中特有的認知結構，是個體頭腦中內化的、合乎數學邏輯特征的知識結構。

在《數學學習心理的CPFS結構理論》一文中，喻平教授以“等差數列”和“距離”兩個概念為例，說明了數學概念的3個特征：（1）對同一個概念，可以從不同的側面或選擇不同的角度去刻畫，即可以采用彼此等價的一組定義去描述同一個概念；（2）概念具有發展性，在不同背景下可以賦予一個概念新的意義；（3）數學概念不是孤立的，定義一個新概念往往要用到諸多的舊概念，概念之間存在弱抽象、強抽象或廣義抽象的關系。

2.理論指導下的備課思考。

筆者認為，二次函數概念是由函數概念經過強抽象而來。其概念的定義方式是形式化定義的表述方法，也就是“形式+條件”的范式，這與一次函數、反比例函數、一元二次方程等概念的定義表述方法一樣；其抽象形成概念的過程的學法也與一次函數等概念一樣，即在大量的生活情境中抽象出數量關系，再對數量關系進行二次抽象，形成形式化的定義形式。本節內容是“二次函數”全章的章首課，對全章的學習起著統領作用，學習的路徑與一次函數等知識的學法一樣，所以本節課的教學要為“概念的發展性”埋下伏筆，在研究方法上要體現CPFS結構中的“連線集”的“方法系統”。

基于以上分析，考慮到學生已經具備了“一次函數與一元一次方程之間的關系”的學習經驗，且對一元二次方程的相關知識非常熟悉，所以在情境引入時，既要有生活情境，又要有數學情境，還要體現新知學習的自然性。最終，筆者思考形成了二次函數概念教學的知識、方法的網絡結構圖（如圖1），教學的設計流程也是根據這個結構圖進行，期待通過本節課的教學活動，學生能在頭腦中形成類似的結構圖，從而實現培育學生的CPFS結構的目標。

二、教學設計主要流程及意圖

1.概念的源起。

問題1看到3x+2=0，你想到什么？你能結合一次函數y=3x+2，從不同的角度解釋方程解的意義嗎？

【設計意圖】問題起點很低。預設學生會說“3x+2=0”是一元一次方程，并很容易解出方程的解；追問的目的在于通過一元一次方程與一次函數之間的關系，讓學生分別從“數”和“形”的角度“解讀”一元一次方程的解，為下面研究一元二次方程與二次函數之間的關系做好方法上的喚醒。

問題2看到x2-2x-3=0，你能類比前面一元一次方程與一次函數之間的關系，猜想它的解的“幾何意義”嗎？

【設計意圖】一元二次方程的定義及解法都是學生熟悉的知識。通過類比，學生大膽猜想x2-2x-3=0與y=x2-2x-3的關系，從而引出新事物：y=x2-2x-3是函數嗎？為什么？是一次函數嗎？是什么呢？在生活中有類似的數量關系嗎？……一系列的相關概念在問題的驅動之下“浮出水面”。

2.概念的素材。

問題3小明的媽媽想用50m長的護欄圍成一個矩形花圃，她要思考哪些問題呢？

【設計意圖】預設學生容易想到“媽媽想要花圃面積最大，應該怎么圍？”。在“想要面積最大”這一愿景之下，學生可以將學習一元二次方程那一章時學到的內容、積累的方法進行遷移。因為問題開放，所以為生成多種多樣的圍花圃的方案提供了可能。比如最一般的圍法、一面靠墻圍、兩邊靠墻圍、留一道1米寬的門、中間隔一道分界線把花圃隔成兩部分……這是本節課的第一次抽象思維的落實，將生活中的實際問題轉化成數學問題。每一種圍法，都可以出現一個與之相應的數量關系式，這些都是進一步抽象生成二次函數概念的形式化定義素材。

圖1

3.概念的生成。

問題4仔細觀察同學們列出來的這些數量關系式和剛開始的y=x2-2x-3，你有沒有發現它們的共性？你能描述這種共性嗎？

【設計意圖】透過現象看本質，提煉并表示規律是數學學科的特色。學生在觀察共性的過程中去除研究對象中非本質的因子，在表達共性的過程中將抽象的思維過程“物化”，形成新概念的形式化定義，數學抽象這一關鍵能力得以落實。

4.概念的辨析。

例1下列函數：S=πr2，y=6-3x2，y=+2x-3，y=（a2+1）x2+bx（a、b為常數），變量之間是不是二次函數關系？如果是，分別說出二次項系數、一次項系數、常數項的值；如果不是，說明理由。

小游戲：你說出一個函數關系，讓同伴判斷是不是二次函數。

例2已知在y=（m-3）xm2-3m+2+mx+1中，變量y是變量x的二次函數，求常數m的值。

【設計意圖】在師生互動、生生互動的數學活動中辨析概念，加深對概念的內涵、外延的理解。

5.概念的展望。

問題5以函數關系y=-x2+25x為例，媽媽的愿望怎么實現呢？用哪些數學方法可以解決呢？

問題6回顧x2-2x-3=0與y=x2-2x-3的關系，結合一次函數的學習經驗，你期待進一步學習什么內容？

【設計意圖】問題5既是對生活情境中的問題——“媽媽的心愿”的回應，預設學生能用配方法解決問題，在追問有沒有其他方法的過程中，與問題6相結合，對二次函數圖像的學習、二次函數的應用提出展望，以實現單元整體的概貌，為進一步學習后續內容埋下伏筆。

三、教學感悟

1.促進個體表達CPFS結構的教學愿景，有利于整體認識概念。

“數學概念是數學思維的最小單位，是組成數學判斷和數學推理的基本單元，是進一步認識事物的邏輯基礎。”羅增儒教授的這句話說明了數學概念學習的重要性。數學概念不是孤立存在的，每一個概念的生成都有它的前世、今生與未來。從CPFS結構視角審視一個概念，有利于從整體角度認識它，理清該概念在概念域、概念系中的位置，從宏觀的角度把握，避免“盲人摸象”。

從“概念域”角度看，二次函數的概念除了本節課的形式化定義外，還有開口向上或向下的拋物線，兩者分別是從“數”和“形”的角度刻畫二次函數。隨著學習的深入，學生在進入高中后，還可以從到定點的距離與到定直線的距離相等的點的軌跡等角度再次刻畫拋物線（二次函數），有些地區的中考題還曾經考查過。帶著這些認識，筆者以“媽媽的心愿如何實現”為抓手，兼顧學生已有的認知→配方法解決問題和未來的學習走向→二次函數圖像，從整體的角度設計二次函數概念的教學。

從“概念系”角度看，與二次函數有關的概念有函數、一次函數、一元一次方程、一元二次方程，筆者通過“看到3x+2=0，你想到什么？”引入，在入口很低的問題中把學生逐步帶進新知的學習殿堂，不僅體現了概念之間的關聯，而且實現了“方法系統“的遷移，體現一脈相承、一以貫之的學法整體概貌，有利于學生在頭腦中內化合乎數學邏輯特征的知識結構，減輕學生的學習負擔，提高學習效率。

2.助力個體設計CPFS結構的教學過程，有利于落實數學抽象。

數學概念是人們對事物本質的認識，它注定了是一個形式化、符號化的抽象物。概念的學習必然伴隨著數學抽象的思維過程。

從“概念系”角度看，二次函數概念是函數概念強抽象的產物，學習二次函數的過程有利于加深對函數概念的認識。另外，二次函數概念的形成過程及學習方法與一次函數高度一致，即從大量的生活情境中抽象出數量關系（這是從生活到數學的抽象過程），再從眾多的數量關系中進一步抽象，從而形成y=kx+b（k、b為常數，k≠0）這一形式化的定義（這是數學內部的抽象過程），不同的是，二次函數的最終形式化結果是y=ax2+bx+c（a、b、c為常數，a≠0），而且理解概念的內涵與外延也是高度一致。因此，二次函數概念教學的過程，完全可以通過一個適當的問題情境，讓學生與學習一次函數概念一樣，經歷兩次抽象的過程，讓數學抽象這一關鍵能力落到實處。

在課堂上，學生將解決一元二次方程的問題背景成功遷移到“媽媽圍花圃”的問題情境中。在開放的問題情境下，學生思維活躍，精彩的生成讓人興奮。方案一：“最一般地圍”，設一邊長為xm，花圃面積為ym2，則有y=-x2+25x；方案二：如果一邊靠墻圍，設垂直于墻的一邊長為xm，花圃面積為ym2，則有y=-2x2+50x（在此筆者追加了墻的長度，為后面的自變量取值范圍做好鋪墊）；方案三：如果一邊靠墻圍，且平行于墻的一邊留一道1m寬的門，設垂直于墻的一邊長為xm，花圃面積為ym2，則有y=-2x2+51x；若兩邊靠墻圍；若中間加一道隔離，將花圃分成兩部分……這是一個將學習一元二次方程的經驗遷移并梳理的過程，這是從生活情境到數學內部抽象的過程，也是為進一步抽象生成二次函數概念提供素材的過程。有一次函數概念學習的經驗，結合開場白的數學情境——一元一次方程與一次函數關系的喚醒及一元二次方程與二次函數的暢想，生成二次函數概念的形式化定義也就水到渠成。

3.落實個體建構CPFS結構的教學目的，有利于提升探究能力。

在數學學習中，學生對問題的探究包括：（1）提出問題，即根據一定的線索提出問題（提出問題可分定向提出和非定向提出）；（2）探究性質，即根據自己或他人提出的問題去探究問題的性質。個體探究問題的能力包括提出問題的能力和探究問題的能力。《個體CPFS結構與探究問題能力的關系研究》一文的研究結果表明，學生的CPFS結構與提出問題和邏輯探究問題的能力聯系緊密。學生的CPFS結構中，聯結各知識點的連線揭示了知識之間的關系，本身蘊含著數學方法的信息，這有助于學生去探究問題。學生能在CPFS結構中受到“方法系統”的啟示，并將其遷移到新問題的提出和解決之中。

正如前面從“概念系”角度分析二次函數概念，它與一次函數、一元二次方程等概念關系緊密，所以在“概念辨析”環節，例1交流結束后，筆者安排了一個“生生互動”的小游戲：你說出一個函數關系，讓同伴判斷是不是二次函數。來自學生的函數關系有（x-1）（x+2）+x2……具有一定的干擾性和挑戰性。更值得一提的是，在學生完成例2后，筆者設計了提出問題的環節：根據學過的函數概念知識，請你對本題作適當改編，提出一個與函數概念有關的問題，看誰提的問題思維含量高。從學生眾多的問題中，筆者挑選兩個與同仁分享。1.已知在y=（m-3）x|m2-3m+2|+mx+1中，變量y是變量x的二次函數，求常數m的值。2.已知在y=（m-3）xm2-3m+2+mx+1中，變量y是變量x的一次函數，求常數m的值。問題1中絕對值符號的引入，加深了對一元二次方程解法的認識；對于問題2，猶如一石激起千層浪，學生在解決問題的過程中，眾說紛紜，精彩紛呈，在激烈的思維碰撞中，理清分類標準，最終解決問題，同時概念域中的相關概念比如一次函數，甚至“相距有點遠”的概念——零指數冪，也得到了鞏固與加深。

教師從知識網絡角度設計教學內容，則自然地將一個概念放在了宏觀的數學概念體系中，這種理念必然影響著教學設計的走向，有助于學生建構自己的CPFS結構，提升探究問題的能力；反過來，學生在探究問題的過程中，能夠提升CPFS結構自我建構的能力，從而達到建構CPFS結構與探究問題的能力相輔相成、相得益彰的目的。從本節課筆者設計的讓學生提出兩個定向性問題并解決問題的教學環節可以窺見一斑。

四、學生的反饋

課后，在筆者布置的每周一次數學小論文作業中，有一部分學生能夠較好地勾勒出二次函數全章知識結構圖。下面選擇其中一名學生的“成果”與同仁分享（如圖2）。

該學生的“成果”雖然不算完美，比如在數學內部的應用部分，他沒有考慮到如下一些內容：與二次函數有關的圖形面積計算、建立二次函數模型求與幾何圖形有關的最值問題等。但通過這幅“知識結構圖”，我們可以看到他能夠較好地將學習一次函數概念的方法、策略遷移到二次函數概念學習中，能夠自主地內化外部的知識結構，將其貯存在自己的頭腦中，建構比較“豐滿”的CPFS結構。透過這一CPFS結構，可以彰顯該學生的思維具有一定的靈活性和深刻性。

用科學的理論支撐課堂教學、反思課堂教學，是減輕學生學習負擔，提高學生學習效率的保障。筆者將在CPFS結構理論的引領之下，繼續大膽實踐，提高自身的教學能力，更好地服務學生。

圖2