順勢而為，合理建構，打造生長型活力課堂
——由“矩形中的折疊問題”引發的探究與思考

■湯忠芳

初中數學 復習課 建構

數學復習課一般分為揭示目標、再現知識、梳理溝通、深化提高四個階段。一直以來，“概念梳理+練習強化”是初中數學復習課的普遍模式。這種模式的缺點是：學生只顧做，教師不去想。這使得復習課變成了簡單機械的知識點的重復，而忽視了對學生能力的培養。因此，筆者認為，復習課的教學設計應結合相關知識點，選擇典型例題，通過設計問題串，層層推進，由淺入深地展開教學；努力構建整體認知體系，幫助學生將“零散”的知識點編織成知識的“互聯網”，讓知識融合、內化，從而在知識重構的過程中，培養學生提出問題的思考力和解決問題的創新力。

下面，筆者以“矩形中的折疊問題”為例進行具體分析。

一、順勢而為：習題呈現及評析

1.呈現基本問題，“鋪設平臺”建構。

問題1：如圖1，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，點E是BC邊上一點，將△DCE沿DE折疊，使點C的對應點C′恰好落在對角線BD上，求CE的長。

圖1

教學分析：這是一道常規的矩形折疊問題，學生只要發現折疊過程中的不變量（對應線段相等），就可以通過設未知數，利用方程思想并借助勾股定理解決。因此，教師可以從學生較為熟悉的題型切入，借助學生已有的經驗，利用常規的解題思路，設計出關聯度較高的問題，以此來培養學生的發散思維，讓學生從“會解”向“會思”轉變，由“會思”向“會學”突破，激發學生學習數學的興趣和熱情。

2.逐層遞進，“生長融合”建構。

問題2：在上述問題中，若點C在翻折過程中落在矩形ABCD的對角線上，其余條件不變，求CE的長。

問題3：在上述問題中，若點C在翻折過程中落在矩形ABCD的對稱軸上，其余條件不變，求CE的長。

教學分析：問題2和問題3是典型的分類討論問題。因為矩形有兩條對角線和兩條對稱軸，所以解決這類問題，就要以此作為討論的依據，畫出符合條件的圖形，構造直角三角形，再聯系“一線三等角”等知識點，通過相似三角形和勾股定理來解決。這兩個問題是問題1的拓展與延伸，設置的目的是通過情況的多樣性，從一般到特殊，引導學生進行分類討論，使學生的知識結構得到生長，讓學生在解題時積累解決折疊問題的經驗，掌握學習數學的方法，促進學生的認知結構化、序列化。

問題4：如圖2，在上述問題中，連接BC′，若BC′∥DE，其余條件不變，求CE的長。

圖2

教學分析：所求的問題不變，通過折疊過程中折痕與對應點位置的特殊性，利用三角形相似等方法，不斷鞏固和強化“折疊問題”，引導學生有序思考，使學生既掌握學習數學的“道”，又能悟出學習數學的“理”，使知識和方法趨于系統化，逐步提升學生的學習能力。

3.變式拓展，“完善整合”建構。

學生經過自主探究和小組交流，在對上述問題的研究過程中，不難發現，折疊時還會出現下列具有代表性的圖形。

圖3

圖4

圖5

面對折疊問題中情況的復雜性和多樣性，我們有必要抓住問題的核心進行梳理和歸類。從折痕來看，發現“C′經過矩形頂點、經過對稱中心、在對角線上、在對稱軸上”等情況是最常見的特例；從對應頂點C′的位置來看，發現“頂點C′落在矩形內部、矩形邊上、矩形外部”是最常見的特例；綜合來看，折疊問題的本質是全等變形，折痕可看作線段的垂直平分線，也可看作角平分線。通過自主整理和歸納（見表1），學生能夠找到問題研究的切入點和解決問題的一般方法。在不斷生成新問題和解決新問題的過程中，學生對知識的認識和理解才會更深刻。這種層次化、漸進式的學習過程，必定會給予學生更精彩的思維碰撞和更豐富的學習經歷。

表1

二、合理建構：精準施教的實踐與思考

數學對象不是孤立存在的，而是整體數學結構中的一部分。數學建構是一種通過知識脈絡將知識點進行結構化的組織和加工，并逐步融合，最終形成知識網絡的過程。在進行復習課教學時，教師應在選擇適當的數學模型幫助學生梳理知識的同時，關注知識的形成過程，逐步建構，精準施教，這既有助于學生全面系統掌握知識，形成體系，促進數學理解，凸顯核心素養，又能提升學生學習數學的自信心，有益于高效數學課堂的構建。

1.目標精準：知識生長，能力提升。

生長源的選擇是數學復習課的核心。生長源可以是某個核心知識點（重點、疑點、難點）或某種解決問題的策略與方法。復習課的教學設計要緊扣源問題，在學生已有的認知基礎上，進行變式、拓展與延伸；通過類比等方式，進行知識的遷移和升華。本節課中的問題1就是教材中的習題，以此為基礎展開的教學，起點低，是為了發展學生的“四基”；再通過問題2和問題3的延伸和拓展，將知識縱向發展，重建知識結構，在學生領悟重要數學思想的同時，提升學生的思維能力。

2.問題精準：層層深入，系統建構。

建構的切入點不宜過大，問題的選擇要具有典型性。層層深入、螺旋上升是建構的關鍵。本節課就是從一道題切入，引領學生研究一類題型，以學為中心，著眼于學生的最近發展區，由易到難，由低階思維轉變到高階思維；通過問題串，追溯問題本質，從而建構起“矩形折疊問題”的數學模型，在層層抽絲剝繭的教學智慧中，促進學生知識鏈的生長。

3.練習精準：問題導向，強化應用。

從復習課的實效性出發，練習的設計要關注梯度和廣度。從“模仿”→“再造”→“創造”的理念出發，習題的設計要講究層次性和整體性；要提倡題組教學，根據知識的內在聯系，有的放矢地設計練習。我們既要關注學生對知識技能的掌握，又要關注學生思維的訓練和能力的培養，以習題的針對性和有效性，促進學生主動學習、創造性學習，從而促進學生可持續能力的培養。

4.講評精準：思路點撥，方法多樣。

教深、講透是復習課的教學追求。教師講評習題時，要注意語言的科學性和規范性，不能僅僅教學生求出答案就完事兒。教師需要深度研題，開展一題多問和一題多解教學，對比不同思路和解法的優劣，然后基于學生立場，選擇最適切的解法進行講解，讓學生知其然，更知其所以然。師生共同追求講評品質的提升，以習題教學的講透與教深為目的，促進學生學活、學透和學深。

發展數學思維，彰顯有價值的教學，是數學教師的教學價值追求。教師在設計復習課教學時，研究起點應低一點，探索步子應大一點，發展眼光應遠一點，從學生角度去發現問題，探究問題。通過題型歸類、模型構建等方式，展開數學課堂的生長型教學活力建構，有助于培養學生勇于質疑和善于思考的習慣，讓學生在綜合運用知識和方法解決問題的過程中，發展創新意識和實踐能力。