基于能量平衡的扁平式恒力彈簧支吊架顯式設(shè)計(jì)方法

楊露露， 邢慶果， 剛憲約， 孟 朋

(山東理工大學(xué) 交通與車(chē)輛工程學(xué)院， 山東 淄博 255000)

在油氣、 熱力管道系統(tǒng)中，通常需要幾十米、 數(shù)百米甚至上千米輸送管道，這些管道會(huì)因地面沉降、 承載波動(dòng)以及環(huán)境、 介質(zhì)溫度變化而產(chǎn)生幾十毫米甚至數(shù)百毫米撓曲變形。為了控制管道系統(tǒng)的熱變形，需要采用管道支吊架對(duì)管道進(jìn)行支承[1]。恒力彈簧支吊架是一種能夠在一定行程內(nèi)為發(fā)生豎直變形的管道提供恒定支撐力或懸吊力，而不會(huì)向附近管道或設(shè)備傳遞附加應(yīng)力的裝置， 因此在管道系統(tǒng)中垂直位移較大的部位，多采用各式恒力彈簧支吊架進(jìn)行支承，以保證管道系統(tǒng)的安全運(yùn)行[2]。

目前國(guó)內(nèi)應(yīng)用較多的恒力彈簧支吊架多為連桿式和主輔式結(jié)構(gòu)。文獻(xiàn)[3-4]中分析連桿式恒力彈簧支吊架的工作機(jī)理，給出了設(shè)計(jì)流程及強(qiáng)度校核方法。無(wú)論是三連桿式還是四連桿式恒力彈簧支吊架，相對(duì)于承載吊桿，結(jié)構(gòu)都是不對(duì)稱(chēng)的，在運(yùn)行過(guò)程中承載吊桿不穩(wěn)定，使得整個(gè)裝置的恒定度較低。主輔式恒力彈簧支吊架結(jié)構(gòu)對(duì)稱(chēng)，運(yùn)行穩(wěn)定性好，恒定度較高。文獻(xiàn)[5-6]中對(duì)比連桿式與主輔式的優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)，總結(jié)了主輔式恒力彈簧支吊架的優(yōu)勢(shì)。文獻(xiàn)[7-9]中根據(jù)主輔式恒力彈簧支吊架的工作機(jī)理，建立了主輔式恒力彈簧支吊架凸輪曲線的微分方程。文獻(xiàn)[10]中從滾柱半徑、轉(zhuǎn)角簡(jiǎn)化、滾動(dòng)摩擦力3個(gè)方面修正了凸輪曲線的微分方程。雖然主輔式恒力彈簧支吊架相較于連桿式有明顯優(yōu)勢(shì)，但是在實(shí)際使用過(guò)程中也存在體積、質(zhì)量、高度大并且安裝位置受限等問(wèn)題。

扁平式恒力彈簧支吊架是一種新型的恒力彈簧支吊架，相較于主輔式恒力彈簧支吊架，減少了豎直方向的主簧，具有結(jié)構(gòu)對(duì)稱(chēng)、 緊湊，并且軸向尺寸、 質(zhì)量、 安裝高度小及恒定度高等優(yōu)點(diǎn)，能夠在實(shí)現(xiàn)為輸送管道提供恒力支撐的同時(shí)，更好地適應(yīng)安裝高度有限的工程環(huán)境。凸輪是該類(lèi)支吊架的核心部件，凸輪輪廓曲線的精度直接影響整個(gè)裝置的恒力性能。

本文中建立扁平式恒力彈簧支吊架的力學(xué)模型，首先基于傳統(tǒng)力矩平衡法推導(dǎo)凸輪曲線的微分方程，然后基于能量平衡法提出凸輪曲線的代數(shù)方程，并在此基礎(chǔ)上考慮負(fù)載管滾柱半徑的影響，建立凸輪曲線的范成修正方程，最后通過(guò)設(shè)計(jì)實(shí)例仿真，對(duì)比2種設(shè)計(jì)方法的設(shè)計(jì)精度，驗(yàn)證本文中提出的設(shè)計(jì)方法的可行性。

1 基于力矩平衡法的凸輪曲線微分方程

1.1 扁平式恒力彈簧支吊架結(jié)構(gòu)與工作原理

扁平式恒力彈簧支吊架內(nèi)部結(jié)構(gòu)如圖1所示，主要包括滾柱、 彈簧、 凸輪、 負(fù)載管等結(jié)構(gòu)。由于凸輪曲線在全局坐標(biāo)系中隨著工作位置的變化而變化，在隨體坐標(biāo)系中的描述是恒定不變的，因此，采用全局坐標(biāo)系描述各工作部件之間的幾何關(guān)系和平衡方程，采用隨體坐標(biāo)系描述凸輪輪廓幾何方程。選取右側(cè)凸輪為研究對(duì)象，以凸輪轉(zhuǎn)軸中心為原點(diǎn)，建立全局坐標(biāo)系xoy和隨體坐標(biāo)系ηoξ。 全局坐標(biāo)系以豎直方向?yàn)閥軸，水平方向?yàn)閤軸；隨體坐標(biāo)系以凸輪轉(zhuǎn)軸中心到彈簧與凸輪連接點(diǎn)的連線為ξ軸，垂直于ξ軸的方向?yàn)棣禽S。

xoy—全局坐標(biāo)系； ηoξ—隨體坐標(biāo)系。

在準(zhǔn)靜態(tài)條件下，負(fù)載管滾柱與凸輪的接觸力(可以忽略切向滾動(dòng)摩擦力)對(duì)凸輪轉(zhuǎn)軸中心的力矩與彈簧力產(chǎn)生的力矩平衡，接觸力的豎直方向分力等于負(fù)載管的恒力輸出。隨著負(fù)載管上、下運(yùn)動(dòng)，彈簧的變形和力單調(diào)變化，負(fù)載管恒力輸出的關(guān)鍵在于合理設(shè)計(jì)負(fù)載管滾柱與凸輪的接觸法向，即合理設(shè)計(jì)凸輪的輪廓形狀，使每個(gè)接觸點(diǎn)處的壓力角α滿足

Fsds-(Ptanα)dy=Pdx

，

(1)

式中：Fs為彈簧力；ds為彈簧力的力臂；P為恒力外載；α為接觸壓力角；dy為接觸力水平分力的力臂；dx為接觸力豎直分力的力臂。P、dx均為常數(shù)。

1.2 凸輪曲線微分方程推導(dǎo)

扁平式恒力彈簧支吊架為軸對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)，如圖2所示，取右半側(cè)結(jié)構(gòu)建立支吊架的簡(jiǎn)化力學(xué)模型，其中F為支吊架所受恒定外載P的1/2，F(xiàn)c為凸輪與負(fù)載管滾柱的接觸力，φ為從隨體坐標(biāo)系沿順時(shí)針?lè)较虻饺肿鴺?biāo)系的轉(zhuǎn)角，d為凸輪與負(fù)載管接觸點(diǎn)到凸輪轉(zhuǎn)軸中心的水平距離，h為彈簧與凸輪連接點(diǎn)到凸輪轉(zhuǎn)軸中心的長(zhǎng)度。

xoy—全局坐標(biāo)系； ηoξ—隨體坐標(biāo)系； Fs—彈簧力； F—支吊架所受恒定外載P的1/2； Fc—凸輪與負(fù)載管滾柱的接觸力； α—接觸壓力角；φ—從隨體坐標(biāo)系沿順時(shí)針?lè)较虻饺肿鴺?biāo)系的轉(zhuǎn)角；d—凸輪與負(fù)載管接觸點(diǎn)到凸輪轉(zhuǎn)軸中心的水平距離； h—彈簧與凸輪連接點(diǎn)到凸輪轉(zhuǎn)軸中心的長(zhǎng)度。

(2)

因此， 得到tanα、 tanφ關(guān)于η、ξ的表達(dá)式即可得到求解凸輪曲線的微分方程。為此，對(duì)支吊架進(jìn)行幾何關(guān)系和受力平衡分析。

1.2.1 坐標(biāo)變換

簡(jiǎn)單起見(jiàn)，先假設(shè)負(fù)載管滾柱半徑為0，則負(fù)載管與凸輪接觸點(diǎn)到凸輪轉(zhuǎn)軸中心的水平距離恒為d，因此，負(fù)載管與凸輪接觸點(diǎn)的坐標(biāo)在2個(gè)坐標(biāo)系中存在幾何關(guān)系

(3)

在恒力彈簧支吊架運(yùn)動(dòng)過(guò)程中， 凸輪擺動(dòng)角度一般小于5 °, 滿足小轉(zhuǎn)角假設(shè)， 即有cosφ≈1， tanφ≈sinφ，則有

(4)

整理式(4)，可得

(5)

(6)

1.2.2 受力分析

圖3所示為負(fù)載管與凸輪受力分析。對(duì)于負(fù)載管，y軸方向所受力Fy的合力為0，即有

∑Fy=0, 2Fccosα-2F=0

。

(7)

對(duì)于凸輪，彈簧力對(duì)凸輪轉(zhuǎn)軸中心的力矩和負(fù)載管與凸輪接觸力對(duì)凸輪轉(zhuǎn)軸中心的力矩Mo之和為0，即有

(8)

整理式(7)、(8)，可得

(9)

1.2.3 彈簧力

設(shè)彈簧剛度為k， 當(dāng)凸輪轉(zhuǎn)角為0時(shí)， 彈簧預(yù)壓縮量為a， 則負(fù)載管運(yùn)動(dòng)至任意位置時(shí)， 彈簧力Fs為

Fs=k(a+hsinφ)

。

(10)

將式(5)、(6)、(10)代入式(9)，整理可得

(11)

將式(5)、(11)代入式(2)，即可得到凸輪曲線的設(shè)計(jì)方程為

(12)

該方程是關(guān)于η、ξ的一階非線性微分方程，無(wú)法求得解析解，只能用計(jì)算機(jī)軟件求解數(shù)值解。

2 基于能量平衡法的凸輪曲線顯式代數(shù)方程

基于傳統(tǒng)力矩平衡法推導(dǎo)的凸輪曲線方程為非線性微分方程，形式復(fù)雜，計(jì)算困難；推導(dǎo)過(guò)程中利用了小轉(zhuǎn)角近似假設(shè)，導(dǎo)致設(shè)計(jì)曲線誤差較大。本文中從能量角度考慮，提出一種基于能量平衡的扁平式恒力彈簧支吊架的凸輪曲線設(shè)計(jì)方法。

根據(jù)能量守恒定律，不計(jì)摩擦損耗，恒力彈簧支吊架在恒定外載P(P=2F)作用下發(fā)生豎直位移，支吊架外載做功與彈簧變形能變化量相等。

根據(jù)支吊架內(nèi)部的能量轉(zhuǎn)化關(guān)系，可得

2Fdy=2Fshcosφdφ

。

(13)

將式(10)代入式(13)，整理可得負(fù)載管垂直位移與隨體坐標(biāo)系轉(zhuǎn)角的微分方程為

(14)

式中y0為轉(zhuǎn)角φ為0時(shí)負(fù)載管與凸輪接觸點(diǎn)在全局坐標(biāo)系中的坐標(biāo)。

對(duì)式(14)積分并整理，可得負(fù)載管垂直位移與隨體坐標(biāo)轉(zhuǎn)角的代數(shù)方程為

(15)

方程(15)是關(guān)于y、φ的代數(shù)方程，推導(dǎo)過(guò)程簡(jiǎn)單，形式簡(jiǎn)潔，求解簡(jiǎn)便，減少了小轉(zhuǎn)角假設(shè)的誤差，計(jì)算結(jié)果更準(zhǔn)確。

不考慮滾柱半徑對(duì)凸輪曲線的影響時(shí)，利用全局坐標(biāo)與隨體坐標(biāo)的坐標(biāo)變換公式，即可得到求解凸輪曲線的方程為

(16)

(η,ξ)即為所求凸輪曲線坐標(biāo)。

3 考慮負(fù)載管滾柱半徑的凸輪曲線修正方程

1、 2節(jié)中推導(dǎo)的方程均為假設(shè)滾柱半徑為0時(shí)的凸輪曲線方程。當(dāng)滾柱半徑不為0時(shí)，以右側(cè)凸輪為例，在恒力彈簧支吊架工作過(guò)程中，滾柱中心到凸輪轉(zhuǎn)軸中心的水平距離恒為d，滾柱與凸輪接觸點(diǎn)到凸輪轉(zhuǎn)軸的距離始終小于d，利用范成原理，將式(15)、(16)求得的凸輪曲線沿各輪廓點(diǎn)的法線方向向背離負(fù)載管一側(cè)移動(dòng)半徑距離，即可得到考慮滾柱半徑的凸輪輪廓曲線，如圖4所示。

ξ、 η—隨體坐標(biāo)系ηoξ的坐標(biāo)。

取圖4中某滾柱圖形放大繪制凸輪曲線沿接觸法向的單位矢量，如圖5所示。

ηoξ—隨體坐標(biāo)系； n—凸輪曲線沿接觸法向的單位矢量。

單位法向量為

(17)

將單位法向量n與滾柱半徑r的乘積疊加至不考慮滾柱半徑的凸輪曲線方程，即可得到考慮滾柱半徑后的凸輪曲線修正方程為

(18)

式中(η1,ξ1)為考慮滾柱半徑的影響求得的凸輪輪廓曲線坐標(biāo)。

4 計(jì)算案例

假設(shè)某扁平式恒力彈簧支吊架承受的恒定外載P=10 kN， 有效行程為400 mm(凸輪曲線輪廓點(diǎn)與凸輪轉(zhuǎn)軸中心之間的豎直距離為200～600 mm)， 彈簧剛度k=500 N/mm， 彈簧與凸輪連接點(diǎn)到凸輪轉(zhuǎn)軸中心的長(zhǎng)度h=400 mm， 凸輪轉(zhuǎn)角為0時(shí)彈簧的預(yù)壓縮量a=80 mm， 滾柱中心到凸輪轉(zhuǎn)軸中心的水平距離d=60 mm， 滾柱半徑r=20 mm， 假設(shè)滾柱運(yùn)行到有效行程的中間位置時(shí)凸輪轉(zhuǎn)角為0， 即有y0=400。 根據(jù)上述參數(shù)， 利用MATLAB軟件求解凸輪曲線， 并利用Adams軟件進(jìn)行仿真校核。

4.1 凸輪曲線的計(jì)算

為了對(duì)比傳統(tǒng)力矩平衡法與能量平衡法的設(shè)計(jì)方程，暫不考慮滾柱半徑的影響，求解相同起點(diǎn)時(shí)2種方法所得凸輪曲線，如圖6(a)所示。為了對(duì)比2條凸輪曲線的差別，繪制2條曲線在相同橫坐標(biāo)下的縱坐標(biāo)差值曲線，如圖6(b)所示。

(a)凸輪曲線

由圖6可知，2種設(shè)計(jì)方法在相同起點(diǎn)時(shí)所得的凸輪曲線形狀基本相同，在相同橫坐標(biāo)點(diǎn)時(shí)的縱坐標(biāo)差值的最大值約為0.08%。雖然曲線的差別很??；但是恒力彈簧支吊架的精度取決于凸輪曲線各點(diǎn)的壓力角，因此微小的差別也可能造成較大的恒力精度差異。

在所得能量平衡法凸輪曲線的基礎(chǔ)上，根據(jù)范成修正方程修正凸輪曲線，結(jié)果如圖7所示。

ξ、 η—隨體坐標(biāo)系ηoζ的坐標(biāo)。

利用Adams軟件建立恒力彈簧支吊架仿真模型，如圖8所示。通過(guò)對(duì)負(fù)載管施加位移驅(qū)動(dòng)，模擬恒力彈簧支吊架的工作過(guò)程，求解隨位移變化的驅(qū)動(dòng)力曲線。

圖8 恒力彈簧支吊架仿真模型

4.2 能量平衡法與力矩平衡法仿真結(jié)果對(duì)比

采用工作負(fù)載偏差作為判斷恒力彈簧支吊架恒力性能的指標(biāo)，工作負(fù)載偏差為恒力彈簧所提供的實(shí)際支撐力與額定外載的差值之比。

為了對(duì)比傳統(tǒng)力矩平衡法與能量平衡法設(shè)計(jì)方程的精度， 對(duì)2種方法所求的不考慮滾柱半徑的凸輪曲線進(jìn)行仿真分析并進(jìn)行數(shù)據(jù)處理， 得到工作負(fù)載偏差曲線， 如圖9所示。 由圖可知， 采用傳統(tǒng)力矩平衡法設(shè)計(jì)的恒力彈簧最大工作負(fù)載偏差約為0.96%， 采用能量平衡法設(shè)計(jì)的恒力彈簧最大工作負(fù)載偏差約為0.53%。 由此可知， 基于能量平衡法的凸輪曲線方程的設(shè)計(jì)精度高于傳統(tǒng)力矩平衡法的。

圖9 傳統(tǒng)力矩平衡法和能量平衡法的仿真結(jié)果

4.3 滾柱半徑對(duì)設(shè)計(jì)精度的影響

為了驗(yàn)證本文中考慮滾柱半徑的凸輪曲線修正方程的有效性，根據(jù)圖7所示的考慮滾柱半徑的凸輪曲線坐標(biāo)點(diǎn)，對(duì)恒力彈簧進(jìn)行建模仿真分析?？紤]滾柱半徑方法與傳統(tǒng)的直接加滾柱半徑的設(shè)計(jì)方法的工作負(fù)載偏差曲線如圖10所示。由圖可知，在不考慮滾柱半徑的凸輪曲線的仿真模型中直接加滾柱半徑仿真的最大工作負(fù)載偏差約為0.57%，設(shè)計(jì)時(shí)考慮滾柱半徑所求凸輪曲線仿真模型的最大工作負(fù)載偏差約為0.31%。由此可知，設(shè)計(jì)時(shí)考慮滾柱半徑對(duì)凸輪曲線的影響能進(jìn)一步提高凸輪曲線的設(shè)計(jì)精度。

圖10 滾柱半徑對(duì)恒力精度影響的仿真對(duì)比

5 結(jié)論

扁平式恒力彈簧是一種新型的支吊架結(jié)構(gòu)，既具有主輔式恒力彈簧恒力精度高的優(yōu)點(diǎn)，又因取消主簧而大幅節(jié)省垂向安裝空間?；谀芰科胶庠恚槍?duì)扁平式恒力彈簧支吊架凸輪輪廓曲線提出了一種顯式代數(shù)方程模型，通過(guò)對(duì)比研究可以得到以下結(jié)論：

1)傳統(tǒng)力矩平衡法得到的凸輪曲線方程為非線性微分方程，基于能量平衡得到的新模型為代數(shù)方程，推導(dǎo)過(guò)程中減少了小轉(zhuǎn)角假設(shè)誤差，計(jì)算更簡(jiǎn)單，精度更高。

2)利用范成修正方程建立的凸輪曲線修正方程，方法簡(jiǎn)單、高效，能夠?qū)L柱半徑對(duì)凸輪輪廓曲線的影響考慮到設(shè)計(jì)階段。

3)實(shí)例設(shè)計(jì)分析對(duì)比表明， 能量平衡法新模型的設(shè)計(jì)精度明顯高于傳統(tǒng)力矩平衡法的； 考慮滾柱半徑的范成修正方程能進(jìn)一步提高支吊架的精度。