基于波動率角度的中國銅期貨期權定價研究

馬慶華 鄭啟佳

（1，廣東外語外貿大學數學與統計學院，廣東 廣州 510006，2.廣東外語外貿大學金融學院，廣東 廣州 510006）

截至目前，我國銅期貨期權研究有關文獻非常少。而期權定價作為期權交易中最關鍵的一部分，其重要性也不言而喻。在定價模型上，最為經典的有BS期權定價模型，我國很多文獻也都簡單地使用BS模型對期權進行定價。BS模型中涉及的假設條件在真實市場往往很難實現。因此，從波動率的角度綜合定價模型來對期權進行定價可能使得定價結果有更好的表現。

一、文獻綜述

我國現有文獻幾乎沒有關于滬銅期貨期權的定價研究，而且學者通常是定價模型上進行優化從而得出更優的定價效果。甚少有對波動率進行研究的，而波動率是期權定價模型中的最核心的參數之一。因此，從波動率的角度出發，研究不同的波動率模型擬合并預測得到波動率序列，并通過蒙特卡羅法進行模擬定價可能會得出更好定價結果，具有較大的現實意義與應用價值。

二、波動率模型構建與期權定價實證分析

1.GARCH族模型

本文采取的是對數收益率的方式對銅期貨日收益率進行分析，由對數收益率的時序圖可以看到銅期貨日收益率存在明顯的波動率聚集現象。

由表1結果得知，誤差服從自由度為6的t分布的GARCH模型具有最小的AIC與SC值，因此GARCH-t（6）擬合效果更好，因此下文中我們將默認所有GARCH族模型的誤差項都服從自由度為6的t分布。

表1 誤差項分從不同分布GARCH模型參數p值及AIC，SC值

接下對GARCH模型進行定階，即確定GARCH（p，q）模型中的p、q的最優值。通過建立GARCH（1，1）、GARCH（1，2）和GARCH（2，1）模型，對AIC與SC值大小做一個比較，得出最優階模型。

由于GARCH模型在實際的應用中存在著局限性，模型中對正面的消息與負面的消息所帶來的的影響視為相同的，它只能解釋金融資產收益率序列波動中的對稱現象，而無法處理非對稱的波動。現實的銅期貨市場通常收益率波動并非對稱的，由于投資者的避險心理，同等程度的利空沖擊往往比利好能帶來更大的方差波動。因此本文也考慮了用T-GARCH來描述銅期貨收益率波動中的非對稱效應。

同樣，我們也對T-GARCH模型進行定階處理，建立T-GARCH（1，1）、T-GARCH（1，2）和T-GARCH（2，1）并與上述所得GARCH（p，q）做整合對比。

由表2可以得到，只有GARCH（1，1）與T-GARCH（1，1）方程的參數都通過了顯著性檢驗，杠桿系數γ1在10%的顯著性水平上顯著，說明滬銅期貨市場存在杠桿現象。

表2 t（6）分布下GARCH族模型參數估計p值

根據表3的結果可得T-GARCH（1，1）模型為：

表3 T-GARCH（1，1）模型參數估計結果

對T-GARCH（1，1）構造的方差方程的殘差序列進行ARCHLM檢驗，檢驗結果如表4所示，說明T-GARCH構建的方差方程消除了殘差序列的條件異方差，利用T-GARCH對波動率進行建模是可行的。

表4 T-GARCH（1，1）的ARCH-LM檢驗結果

下面考慮使用T-GARCH模型來預測2019年1月2日后的122個交易日的波動率序列{δi}，由于122個交易日時間較長，考慮到較遠日期的波動率預測結果可能會不準確，本文對波動率的預測采取每隔一個月滾動一次的方式進行預測。具體步驟為：首先，采用的銅期貨價格數據期間為2016年1月4號到2019年1月02號，估計出模型參數，建立T-GARCH模型并估計出未來一個月的波動率；第一次估計完成后，對銅期貨價格序列進行更新，將該月的價格數據納入原樣本，并重新進行模型參數估計與預測，預測時間的起點為新一月的首個交易日；整個過程不斷重復直到最后一個月的首個交易日結束，總共滾動估計模型6次。

2. SV族模型

本文將使用OpenBUGS軟件與R語言通過MCMC法對參數進行估計并預測出未來的122個交易日的波動率，在使用MCMC法前，需要進行幾個待定參數的先驗分布假設，先驗分布的設置影響參數估計結果的準確性，由于在GARCH模型中，我們知道采用非對稱模型的擬合效果更好，因此這里我們直接采用帶杠桿效應的SV-L模型進行擬合與預測，這里先驗分布的設置采取Yu（2005）的方法。

由于極端值總是成聚類存在，因此在剩余的10w次結果中每100個數取一個數作為模擬結果，這樣可以降低部分極端值對參數估計的影響，并對模擬后的結果進行描述性統計。具體結果如表5所示。

表5 帶杠桿的SV模型參數估計統計結果

由表5上述參數估計結果可知，SV-L模型可以表達為：

3.定價表現

前面小節模擬了不同模型所預測得到的未來122日的波動率，在該小節中將使用蒙特卡羅法結合預測所得的波動率序列對期權進行定價。具體的理論已經在第二節中闡述，其過程可以在MATLAB中實現。在蒙特卡羅定價中，本文采用路徑次數為60000，步數1500，此時期權的計算結果已經相對穩定且可信。

為了評價不同波動率模型的定價表現，我們將通過兩個損失函數：平均絕對百分比定價誤差（MAPE）與相對均方根定價誤差（RMSEr）、對定價效率進行定量分析。兩種衡量誤差的指標具體計算標準如下：

將T-GARCH模型與SV-L模型預測所得的波動率采用蒙特卡羅法進行定價的結果與傳統的BS模型的模擬定價結果使用EXCEL進行統計，并與現實市場的期權價格進行對比，所得的折線如圖1所示。

圖1 cu1908C44000期權定價結果

圖2 cu1908C45000期權定價結果

由定價折線圖我們可以看出2個波動率模型與基于常數波動率的B-S模型的估計價格走勢都能較為準確的描述出實際價格走勢，從圖形上看，三個模型的預測結果都高估了期權價格，且T-GARCH（1，1）模型與B-S模型的定價結果相比SV-L模型更差。并且隨著定價窗口的滾動，SV-L模型的定價結果越來越接近實際價格。由誤差指標分析表6可以看出，三種模型的定價效率都相當準確。在平均絕對百分比定價誤差與相對均方根定價誤差標準下，指標結果都與上文圖例觀察結果相同。即SV-L模型無論從定價效率還是定價穩定性比T-GARCH（1，1）和B-S模型更高。

表6 實值期權指標分析結果

三、結論

本文采用了數值定價方法——蒙特卡羅法，并結合了GARCH族模型與SV族模型兩個波動率模型，使用波動率模型擬合并預測出波動率結合蒙特卡羅法進行定價。實證結果表明：通過隨機波動率模型模擬所得的期權價格相比于傳統的B-S模型具有更精確且穩定的定價結果，但GARCH族模型的定價結果則效果較差。這說明了隨機波動率模型對于滬銅期貨期權定價的重要性。