偏差補(bǔ)償稀疏自適應(yīng)濾波算法

李立立，郭 瑩

（沈陽工業(yè)大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，沈陽 110870）

1 引言

在例如回聲信道[1-2]等許多實(shí)際環(huán)境中，信道具有一定的稀疏性，即信道中大部分系數(shù)都為零。受到壓縮感知等稀疏理論的啟發(fā)[3-7]，研究者們基于范數(shù)約束，提出自適應(yīng)濾波算法——零吸引最小均方算法[8]（Zero Attraction Least Mean Square algorithm,ZA-LMS），在標(biāo)準(zhǔn)的LMS 算法的代價(jià)函數(shù)中加入權(quán)系數(shù)的l1范數(shù)，對(duì)權(quán)系數(shù)施加向零吸引的力，在迭代時(shí)修正權(quán)系數(shù)，因此加快了算法的收斂速度。雖然ZA-LMS 算法具有良好的性能，但是未考慮到輸入信號(hào)受噪聲干擾的情況，從而導(dǎo)致ZA-LMS 算法在迭代時(shí)會(huì)出現(xiàn)估計(jì)結(jié)果的偏差。為解決這一問題，一些相關(guān)算法被提出，如：偏差補(bǔ)償歸一化LMS（Bias-compensated normalised LMS algorithm,BCNLMS）[9]，偏置補(bǔ)償零吸引NLMS（Bias-compensated zero attracting normalized LMS algorithm,BC-ZANLMS）[10]等。基于已有的研究，在此將ZA-LMS 算法與無偏估計(jì)相結(jié)合，提出偏差補(bǔ)償稀疏自適應(yīng)濾波算法，以求實(shí)現(xiàn)更低的穩(wěn)態(tài)誤差、更快的收斂速度和更好的跟蹤性。

2 相關(guān)算法

2.1 LMS 算法

所提出的自適應(yīng)濾波器基本結(jié)構(gòu)框圖如圖1 所示。圖中，n為算法的迭代次數(shù)；L為濾波器階數(shù)；x(n)是輸入信號(hào)；d(n)是期望信號(hào)；e(n)表示期望信號(hào)與濾波器的輸出信號(hào)之間的誤差；z(n)是均值為0、方差為σz2且獨(dú)立于任何信號(hào)的加性高斯白噪聲；η(n)是輸入信號(hào)中存在的噪聲。

圖1 自適應(yīng)濾波器結(jié)構(gòu)

輸出信號(hào)y(n)表示為：

其中，x(n)=［x(n),x(n-1),...,x(n-L垣1)］T為輸入信號(hào)向量，w (n)=［ww(n),ww(n-1),...,ww(n-L垣1)］T為權(quán)系數(shù)向量，上標(biāo)T是轉(zhuǎn)置符號(hào)。

期望信號(hào)d(n)為：

其中w*為最優(yōu)權(quán)系數(shù)。

在第n時(shí)刻，期望信號(hào)d(n)和輸出信號(hào)y(n)之間的輸出誤差e(n)為：

LMS 算法的更新方程則為：

其中，μ是控制收斂速度和穩(wěn)態(tài)的步長。

2.2 ZA-LMS 算法

ZA-LMS 算法是在LMS 算法代價(jià)函數(shù)的基礎(chǔ)上，為了改善標(biāo)準(zhǔn)LMS 算法的性能，增加了權(quán)系數(shù)的l1范數(shù)：

其中，λ是正常量，用于控制范數(shù)的平衡因子。

利用梯度下降法，ZA-LMS 算法的更新方程為：

其中，ρ=μλ，sgn[.]是符號(hào)函數(shù)，定義為：

上述ZA-LMS 算法是基于l1范數(shù)約束的自適應(yīng)濾波算法，在稀疏系統(tǒng)中可以加快算法的收斂速度，但是當(dāng)輸入信號(hào)受到噪聲干擾時(shí)精度會(huì)下降。為了解決這個(gè)問題，在此提出一種偏差補(bǔ)償稀疏自適應(yīng)濾波算法。

3 偏差補(bǔ)償稀疏自適應(yīng)濾波算法

3.1 無偏準(zhǔn)則

在某些實(shí)際應(yīng)用中，輸入信號(hào)x(n)被噪聲η(n)破壞。按照圖1 的結(jié)構(gòu)，重新定義輸入信號(hào)為：

其中，η(n)=［η(n),η(n-1),...,η(n-L垣1)］T為輸入噪聲，其均值為0 且方差為ση2。

因此，重新定義誤差函數(shù)：

定義權(quán)系數(shù)誤差向量w～(n)為濾波器權(quán)系數(shù)w(n)和w*之間的差：

理想的情況是在穩(wěn)態(tài)下權(quán)系數(shù)誤差向量w～(n)接近零，即w(n)趨近于w*。因此，當(dāng)算法處于穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，應(yīng)滿足下式：

式(11)被稱為無偏準(zhǔn)則，在穩(wěn)態(tài)情況下是有意義的。

3.2 CZA-LMS 算法

當(dāng)輸入信號(hào)受到噪聲干擾時(shí)，使用式(4)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)會(huì)給算法帶來偏差，因此，為了減小輸入噪聲產(chǎn)生的影響，在式(4)中添加偏置補(bǔ)償矢量C(n)：

由于C(n)只與輸入噪聲有關(guān)，因此對(duì)該補(bǔ)償項(xiàng)進(jìn)行推導(dǎo)時(shí)去掉sgn 項(xiàng)。將式(12)兩側(cè)減w*，并求期望，其遞推方程可表示為：

使用無偏準(zhǔn)則推導(dǎo)偏置補(bǔ)償向量C(n)，將式(11)代入式(13)，得到偏置補(bǔ)償矢量C(n)的條件如下：

計(jì)算式(14)左側(cè)，并假設(shè)z(n)，η(n)，x(n)均與w(n)統(tǒng)計(jì)獨(dú)立：

將式(15)代入式(14)，可以得到偏差補(bǔ)償矢量：

因此，新算法的更新方程為：

4 仿真實(shí)驗(yàn)

為進(jìn)一步證明算法的有效性，在不同的條件下，對(duì)LMS、ZA-LMS 和CZA-LMS 算法進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)分兩部分進(jìn)行：實(shí)驗(yàn)1 是在輸入信號(hào)受到噪聲干擾的情況下，對(duì)各個(gè)算法的收斂性能做出比較；實(shí)驗(yàn)2 是在實(shí)驗(yàn)1 的基礎(chǔ)上增加了未知系統(tǒng)的時(shí)變的環(huán)境，以此來模擬更為接近真實(shí)的環(huán)境，驗(yàn)證各個(gè)算法的跟蹤性能。

4.1 性能指標(biāo)及參數(shù)設(shè)置

實(shí)驗(yàn)中未知系統(tǒng)共有32 個(gè)系數(shù)，輸入信號(hào)采用均值為0 的高斯白噪聲，設(shè)置信噪比為30dB。

為保證實(shí)驗(yàn)的公平性，每個(gè)實(shí)驗(yàn)仿真結(jié)果都采用30 次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)的平均結(jié)果。每個(gè)實(shí)驗(yàn)中各對(duì)比算法采用等效步長，為對(duì)比各方法的性能表現(xiàn)，可對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果采用歸一化均方偏差（Normalized Mean Square Deviation,NMSD）的收斂曲線作為衡量和分析性能的指標(biāo)，其定義為：

其中w(n)為濾波器權(quán)系數(shù)，w*為未知系統(tǒng)的最優(yōu)值，歸一化均方偏差值越小，說明自適應(yīng)濾波器越接近待估計(jì)系統(tǒng)。

為便于計(jì)算，由表1 給出算法的參數(shù)設(shè)置。

表1 實(shí)驗(yàn)參數(shù)設(shè)置

4.2 算法收斂性測試

采用稀疏度為0.8619 的稀疏環(huán)境，輸入信號(hào)處的干擾噪聲為30dB 的高斯白噪聲，按照表1 中的參數(shù)進(jìn)行測試，對(duì)比結(jié)果如圖2 所示。由圖中可以看出，在輸入信號(hào)受到噪聲污染的情況下，CZALMS 算法的收斂速度快，穩(wěn)態(tài)誤差低，算法性能優(yōu)于LMS 算法和ZA-LMS 算法。

圖2 稀疏系統(tǒng)下算法性能比較

4.3 算法跟蹤性測試

在時(shí)變系統(tǒng)的情況下，未知系統(tǒng)每經(jīng)過5000 次采樣間隔跟蹤非零系數(shù)位置和取值的變化。第1 時(shí)間段是稀疏度為0.8619 的稀疏系統(tǒng)；第2 時(shí)間段是稀疏度為0 的非稀疏系統(tǒng)。測試算法及相應(yīng)的參數(shù)設(shè)置同前實(shí)驗(yàn)，獨(dú)立運(yùn)行30 次后各個(gè)算法的收斂曲線如圖3 所示。

圖3 時(shí)變稀疏系統(tǒng)下算法性能比較

由圖可知，與LMS 算法和ZA-LMS 算法相比，CZA-LMS 算法的跟蹤性更好且穩(wěn)態(tài)誤差較低。當(dāng)未知系統(tǒng)的稀疏度發(fā)生變化時(shí)，CZA-LMS 算法快速地跟上了系統(tǒng)的變化，表明ZA-LMS 算法的跟蹤性能良好。

5 結(jié) 束 語

基于對(duì)稀疏自適應(yīng)相關(guān)算法的討論，提出了偏差補(bǔ)償稀疏自適應(yīng)濾波算法，可以有效地解決在輸入信號(hào)受到噪聲干擾以及在時(shí)變系統(tǒng)情況下的稀疏系統(tǒng)辨識(shí)的問題，并進(jìn)行了相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)仿真。與傳統(tǒng)算法相對(duì)比，新算法的性能在輸入信號(hào)受到噪聲干擾和時(shí)變系統(tǒng)兩方面通過驗(yàn)證。新算法對(duì)系統(tǒng)辨識(shí)的進(jìn)一步研究具有重要意義和實(shí)用價(jià)值。