Galerkin-Ivanov 變換的碰撞振動(dòng)系統(tǒng)混沌運(yùn)動(dòng)

陳越超，馮進(jìn)鈐，王曉敏

(西安工程大學(xué) 理學(xué)院，陜西 西安 710048)

0 引 言

非光滑動(dòng)力系統(tǒng)是近年來(lái)國(guó)內(nèi)外學(xué)者密切關(guān)注的問(wèn)題之一，其中碰撞振動(dòng)系統(tǒng)是常見(jiàn)的一類(lèi)非光滑動(dòng)力系統(tǒng)。在力學(xué)、機(jī)械學(xué)及機(jī)電工程、航空航天技術(shù)等實(shí)際系統(tǒng)中存在非光滑因素[1]，例如電路系統(tǒng)的開(kāi)關(guān)裝置、機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)的碰撞和干摩擦問(wèn)題[2-3]，走路機(jī)器[4]和狀態(tài)反饋控制問(wèn)題[5]等。以此建立的數(shù)學(xué)模型會(huì)表現(xiàn)出不連續(xù)或不可微的非線性動(dòng)力學(xué)行為[6-7]，比如系統(tǒng)的分岔和混沌運(yùn)動(dòng)[8-10]。 由于光滑動(dòng)力系統(tǒng)理論無(wú)法應(yīng)用于非光滑動(dòng)力系統(tǒng)中，因此，對(duì)非光滑動(dòng)力系統(tǒng)理論與近似方法的研究，是人們解決非光滑動(dòng)力系統(tǒng)問(wèn)題的有效途徑。

HOLMES首次在碰撞振動(dòng)系統(tǒng)中應(yīng)用現(xiàn)代動(dòng)力系統(tǒng)理論[11]，隨后SHAW等利用中心流形定理分析了碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的分岔現(xiàn)象[12]。文獻(xiàn)[13]通過(guò)討論Hopf分岔和不同形式的異宿軌道，分析了碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的混沌運(yùn)動(dòng)。混沌是非線性系統(tǒng)復(fù)雜性的重要特征之一，Lyapunov指數(shù)[14-16]是判別混沌運(yùn)動(dòng)的數(shù)值方法之一，而Melnikov、Shilnikov方法是研究混沌運(yùn)動(dòng)的2種解析法。 最初Melnikov方法主要用于光滑系統(tǒng)，后來(lái)DU等將Melnikov方法應(yīng)用于倒立擺模型，進(jìn)而將Melnikov函數(shù)推廣到高階[17]。 CAO等命名了SD振子，并通過(guò)Melnikov方法分析了系統(tǒng)的分岔和混沌現(xiàn)象[18]。 Melnikov方法通過(guò)計(jì)算穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形之間的距離函數(shù)，得到系統(tǒng)存在簡(jiǎn)單零點(diǎn)的必要條件；根據(jù)Smale-Binkhoff定理，若存在簡(jiǎn)單零點(diǎn)，則系統(tǒng)具有Smale馬蹄性質(zhì)，從而可能出現(xiàn)混沌現(xiàn)象[19]。

本文用Melnikov方法研究一般的單邊碰撞振動(dòng)系統(tǒng)。首先利用Galerkin-Ivanov變換將系統(tǒng)模型轉(zhuǎn)換為具有對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)的光滑系統(tǒng)，然后通過(guò)光滑系統(tǒng)的Melnikov方法得到此系統(tǒng)出現(xiàn)Smale 馬蹄混沌的必要條件，最后結(jié)合仿真實(shí)例驗(yàn)證了解析結(jié)果的正確性。

1 單邊碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的Melnikov函數(shù)

考慮一般的單邊碰撞振動(dòng)系統(tǒng)，系統(tǒng)模型滿(mǎn)足如下方程：

(1)

式中X>0。當(dāng)X=0時(shí)，系統(tǒng)的狀態(tài)滿(mǎn)足如下離散映射:

(2)

式中：X和Y分別表示廣義位移和速度；ε是一個(gè)小尺度參數(shù)；c(X,Y)表示系統(tǒng)的阻尼,b(X,Y,t)表示外激勵(lì);下標(biāo)“+”和“-”分別表示碰撞前和碰撞后的時(shí)刻;r表示碰撞恢復(fù)系數(shù)，通常滿(mǎn)足0≤r<1。令碰撞時(shí)刻為t*，則有Y±=Y(t*±0)。

引入Galerkin-Ivanov變換

(3)

(4)

式(4)變形，得

(5)

將式(1)和(3)代入式(5)，可得等價(jià)系統(tǒng)

(6)

當(dāng)ε→0時(shí)，r→1，k→0，由Taylor公式展開(kāi),得

(1-ksgn(PQ))-1=1+εe+O(ε2)

(7)

(8)

假設(shè)系統(tǒng)存在連接鞍點(diǎn)的同宿軌道Γ(t),其向量表示記為Γ(t)=(P(t),Q(t))T。由文獻(xiàn)[20-21]知，等價(jià)系統(tǒng)的Melnikov函數(shù)可近似為

M(t)=-D1+D2-D3

(9)

式中：

sgn-1(P)|P=P(t),Q=Q(t)dt

(10)

sgn-1(P)|P=P(t),Q=Q(t)dt

(11)

(12)

式中：D1為阻尼部分；D2為外激勵(lì)部分；D3為碰撞部分。根據(jù)Smale-Binkhoff定理知，當(dāng)Melnikov函數(shù)存在簡(jiǎn)單零點(diǎn)時(shí)，臨界條件為

(13)

2 應(yīng)用實(shí)例

考慮單邊碰撞振動(dòng)系統(tǒng)，系統(tǒng)滿(mǎn)足方程

(14)

式中：X>0；β為系統(tǒng)的阻尼系數(shù)，f為外激勵(lì)的幅值。

當(dāng)X=0時(shí)，系統(tǒng)的離散碰撞映射為

(15)

基于式(3)中的Galerkin-Ivanov變換，將式(14)代入式(8)，得到系統(tǒng)(14)的近似等價(jià)方程

(16)

當(dāng)ε=0時(shí)，系統(tǒng)(16)為一個(gè)未擾系統(tǒng)

(17)

當(dāng)P>0時(shí)，未擾系統(tǒng)(17)的勢(shì)函數(shù)和Hamilton函數(shù)分別為

(18)

(19)

由動(dòng)力學(xué)穩(wěn)定性理論知，此時(shí)未擾系統(tǒng)(17)存在一個(gè)中心S(0,0)和一個(gè)鞍點(diǎn)S1(1,0)。 連接鞍點(diǎn)S1(1,0)的同宿軌為

Γ+(t)=(P+(t),Q+(t))T

其表達(dá)式為

Γ+(t)=(P+(t)，Q+(t))T=

(20)

其中

(21)

(22)

當(dāng)P<0時(shí)，同理，未擾系統(tǒng)(17)的勢(shì)函數(shù)和Hamilton函數(shù)分別為

(23)

(24)

同理可知,系統(tǒng)有一個(gè)中心S(0,0)和一個(gè)鞍點(diǎn)S2(-1,0)。 連接鞍點(diǎn)S2(-1,0)的同宿軌為

Γ-(t)=(P-(t),Q-(t))T

其表達(dá)式為

(25)

圖 1 未擾系統(tǒng)的同宿軌Fig.1 The homoclinic orbits of the unperturbed system

由文獻(xiàn)[20-21]可知，系統(tǒng)Melnikov函數(shù)的一階近似式為

sin(ωt+ωt0)+

e(P2sgn(P)-P)]|P=P±(t),Q=Q±(t)dt

(26)

分2種情況討論系統(tǒng)的Melnikov函數(shù)。當(dāng)P>0時(shí)，由式(10)～(12)得

(27)

Q|P=P+(t),Q=Q+(t)dt=

f[cos(ωT0)Z1(ω)-

sin(ωT0)Z2(ω)]cos(ωt0)

(28)

(29)

其中

(30)

(31)

M1(t0)=-βJ1+fJ2cos(ωt0)+r0J3

(32)

同理,當(dāng)P<0時(shí)，由式(10)～(12)得

(33)

(34)

(493/5 000)r0

(35)

系統(tǒng)的Melnikov函數(shù)一階近似式為

M2(t0)=βJ1-fJ2cos(ωt0)-r0J3

(36)

根據(jù)式(32)和(36)知，M2(t0)=-M1(t0)，故系統(tǒng)(1)出現(xiàn)Smale馬蹄混沌的必要條件為

f≥(βJ1-r0J3)/J2

(37)

3 數(shù)值仿真

利用數(shù)據(jù)仿真直觀的說(shuō)明式(32)和(36)結(jié)論的正確性。由于系統(tǒng)是對(duì)稱(chēng)的，只討論M1(t0)，同理可以仿真M2(t0)。固系統(tǒng)參數(shù)ω=1，β=0.6，ε=0.1，r0=1.55，當(dāng)式(37)取等號(hào)時(shí)得到閾值f～≈0.268，M1(t0)的函數(shù)曲線如圖2所示。將M1(t0)的函數(shù)曲線局部放大得到圖3。在圖3中，3條曲線f1、f2、f3取值分別為f1=0.2f～。

圖 2 M1(t0)隨時(shí)間t0變化的函數(shù)曲線Fig.2 Function curve of M1(t0) with time t0

圖 3 f取不同值時(shí)對(duì)應(yīng)的M1(t0)函數(shù)曲線Fig.3 Function curve of M1(t0) when f takes different values

從圖3可以看出：當(dāng)f1=0.2f～≈0.268時(shí)，M1(t0)函數(shù)曲線與零線從相切到相交，此過(guò)程必然會(huì)出現(xiàn)橫截同宿相交，從而預(yù)示著系統(tǒng)即將會(huì)出現(xiàn)混沌現(xiàn)象。 圖2和圖3驗(yàn)證了式(32)結(jié)論的正確性。

進(jìn)一步驗(yàn)證式(37)的解析結(jié)果。 當(dāng)式(37)取等號(hào)時(shí)，得出系統(tǒng)(14)出現(xiàn)混沌的臨界線，如圖4所示。圖4中，線下表示非混沌區(qū)域，線上表示可能的混沌區(qū)域。

圖 4 f隨r0變化的Melnikov臨界線Fig.4 Melnikov critical boundary of fvarying with r0

取臨界點(diǎn)(r0,f～)以下的點(diǎn)A(1.55,0.2)及臨界點(diǎn)以上的點(diǎn)B(1.55,0.4)進(jìn)行仿真驗(yàn)證，結(jié)果如圖5、6所示。

(a) 相圖、Poincare截面圖

(b) 最大Lyapunov指數(shù)序列圖 5 f=0.2時(shí)的相圖、Poincare截面圖及最大Lyapunov指數(shù)序列Fig.5 Phase diagram，Poincare section and sequence diagram of maximum Lyapunov exponent (f=0.2)

當(dāng)f1=0.2

同樣由Melnikov理論知，當(dāng)f=0.4>f～時(shí)，對(duì)應(yīng)圖4中的B點(diǎn)，圖6(a)給出了系統(tǒng)的相圖、Poincare截面圖。從圖6(a)中可以看出,此時(shí)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)變得雜亂無(wú)序，并計(jì)算其對(duì)應(yīng)的最大Lyapunov指數(shù)λB≈0.28>0，見(jiàn)圖6(b)。進(jìn)一步表明在B點(diǎn)參數(shù)情況下系統(tǒng)作混沌運(yùn)動(dòng)，同樣與圖4所示結(jié)果一致。

(a) 相圖、Poincare截面圖

(b) 最大Lyapunov指數(shù)序列圖 6 f=0.4時(shí)的相圖、Poincare截面圖及最大Lyapunov指數(shù)序列Fig.6 Phase diagram，Poincare section and sequence diagram of maximum Lyapunov exponent (f=0.4)

4 結(jié) 語(yǔ)

本文通過(guò)Galerkin-Ivanov變換將碰撞振動(dòng)系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為等價(jià)的光滑系統(tǒng)，并基于光滑系統(tǒng)的Melnikov方法判斷非光滑系統(tǒng)的混沌運(yùn)動(dòng)。然后，以單勢(shì)阱碰撞振動(dòng)系統(tǒng)為研究實(shí)例，基于Galerkin-Ivanov變換構(gòu)建了系統(tǒng)的Melnikov方法，得到了系統(tǒng)出現(xiàn)Smale馬蹄混沌的必要條件。通過(guò)數(shù)值仿真驗(yàn)證了解析結(jié)果的正確性，表明了該方法的有效性。為碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的混沌運(yùn)動(dòng)的研究提供有效途徑。