數(shù)學(xué)解題關(guān)鍵環(huán)節(jié)教學(xué)設(shè)計(jì)研究
——以二道高考模擬題教學(xué)為例

淮北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 (235000) 張 琳 張 昆

眾所周知，數(shù)學(xué)解題最終表達(dá)結(jié)果為環(huán)環(huán)緊扣的邏輯過(guò)程，在諸多操作程序中存在決定問(wèn)題本質(zhì)的關(guān)鍵性的一環(huán)或幾環(huán)，它或是某一程序，某種行動(dòng)次序，某個(gè)正確銜接的操作方案，或者是某種程序.在組成問(wèn)題解答答案的環(huán)節(jié)中，對(duì)于學(xué)生探究具體問(wèn)題解決思路的某些疑難環(huán)節(jié)，稱(chēng)之為數(shù)學(xué)解題的“關(guān)鍵環(huán)節(jié)”.數(shù)學(xué)教師在解題教學(xué)設(shè)計(jì)及其課堂實(shí)施時(shí)，無(wú)需對(duì)于解題思路的每一個(gè)環(huán)節(jié)都平均使力，重在研究某些關(guān)鍵環(huán)節(jié)的教學(xué)活動(dòng)，變向?qū)W生提供答案為啟發(fā)或鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)生認(rèn)識(shí)的心理過(guò)程.

一、教師應(yīng)依據(jù)數(shù)學(xué)解題過(guò)程選擇與確定“關(guān)鍵環(huán)節(jié)”

由上述的數(shù)學(xué)解題表達(dá)過(guò)程的“關(guān)鍵環(huán)節(jié)”概念內(nèi)涵，能夠認(rèn)識(shí)到，數(shù)學(xué)教師在選擇某道數(shù)學(xué)題進(jìn)入課堂教學(xué)時(shí)，首先一定要通過(guò)自己獨(dú)立探究解題思路，比對(duì)學(xué)生發(fā)生認(rèn)識(shí)的心理活動(dòng)過(guò)程及其個(gè)性差異，然后確定問(wèn)題具體關(guān)鍵環(huán)節(jié)與普通環(huán)節(jié).如此，在進(jìn)行教學(xué)準(zhǔn)備工作時(shí)，就會(huì)突出關(guān)鍵環(huán)節(jié)，做好設(shè)計(jì)工作.具體體現(xiàn)于：

數(shù)學(xué)解題的關(guān)鍵環(huán)節(jié)是決定題目能否獲得準(zhǔn)確解答的關(guān)鍵所在，也往往是學(xué)生在探究數(shù)學(xué)問(wèn)題解答思路時(shí)，依據(jù)經(jīng)驗(yàn)中的數(shù)學(xué)觀念不能輕易獲得的某種解答思路.只有真正突破數(shù)學(xué)解題的關(guān)鍵環(huán)節(jié)這一瓶頸，學(xué)生才能把握解決該類(lèi)題型或掌握該種解法的真正要旨，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)解題的奧秘.

由此可見(jiàn)，數(shù)學(xué)教師不能將數(shù)學(xué)解題的過(guò)程直接“奉獻(xiàn)”給學(xué)生，而要想辦法啟發(fā)學(xué)生生成數(shù)學(xué)解題的指令.這樣，解題的模式才能被納入解題主體的頭腦中，形成一種特定的操作問(wèn)題信息的指令，成為一種解題模式，并比較容易地遷移到類(lèi)似的探究數(shù)學(xué)解題思路活動(dòng)中去.

二、數(shù)學(xué)解題關(guān)鍵環(huán)節(jié)處理示例

不少學(xué)生在探求數(shù)學(xué)解題關(guān)鍵環(huán)節(jié)處理途徑時(shí)，由于對(duì)解答數(shù)學(xué)問(wèn)題邏輯過(guò)程的分析和認(rèn)識(shí)不全面，往往難以調(diào)用已有的數(shù)學(xué)觀念，使之與相關(guān)的數(shù)學(xué)解題經(jīng)驗(yàn)建立聯(lián)系，從而經(jīng)過(guò)多次嘗試依然無(wú)法正確求解.因此，教師在解題教學(xué)的課堂實(shí)施過(guò)程中，首先應(yīng)幫助學(xué)生正確分析數(shù)學(xué)解題的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，再利用啟發(fā)式(形成問(wèn)題串)教學(xué)指導(dǎo)學(xué)生探索解題思路，萌生數(shù)學(xué)解題關(guān)鍵環(huán)節(jié)的處理途徑，突破解題關(guān)鍵環(huán)節(jié)的疑難點(diǎn).為了說(shuō)明數(shù)學(xué)教師如何在實(shí)際解題及其教學(xué)中處理好探究解題思路的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，先從2021年江蘇省淮安市淮陰區(qū)數(shù)學(xué)高考模擬試題5的一道壓軸題說(shuō)起.

例1 (2021年江蘇淮安淮陰區(qū)模擬題19)已知函數(shù)f(x)=ex|x2-a|(a≥0).

(1)當(dāng)a=1時(shí)，求f(x)的單調(diào)減區(qū)間；

(2)若方程f(x)=m恰好有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根，求實(shí)數(shù)m的最大值.

對(duì)于問(wèn)題(2)，利用方程根的個(gè)數(shù)及其分布情況求參數(shù)范圍，是導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用中的一類(lèi)典型問(wèn)題.解答此類(lèi)題型的首要任務(wù)是找準(zhǔn)滿(mǎn)足方程根的個(gè)數(shù)與分布情況的充要條件，順藤摸瓜，逐步確定參數(shù)取值范圍；其次巧用數(shù)形結(jié)合，利用已知條件及相關(guān)推導(dǎo)過(guò)程作出函數(shù)圖象，以形助數(shù)，優(yōu)化解題途徑.現(xiàn)將解題的過(guò)程呈現(xiàn)如下：

圖1

i)當(dāng)a=0時(shí)，

f(x)=ex·x2，

f′(x)=ex·x(x+2).

圖2

圖3

由上述問(wèn)題(2)的解答過(guò)程，可以深刻體會(huì)到“數(shù)缺形時(shí)少直觀”，“數(shù)形結(jié)合百般好”.以“數(shù)”化“形”為問(wèn)題的解答提供了快捷通道，將抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題直觀化，將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題簡(jiǎn)單化！然而，如何“以形助數(shù)”，突破解題疑難點(diǎn)，獲取解答思路，于許多學(xué)生而言仍力有未逮，因此構(gòu)成了解答本題的關(guān)鍵環(huán)節(jié).下面展示對(duì)于這一關(guān)鍵環(huán)節(jié)進(jìn)行相應(yīng)的教學(xué)設(shè)計(jì)及其課堂實(shí)施：

生1：由于是關(guān)于函數(shù)的問(wèn)題，圖象直觀對(duì)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的思維應(yīng)該具有較好的幫助.

師：可以畫(huà)出當(dāng)a=0時(shí)的函數(shù)圖象嗎？

師：沒(méi)錯(cuò)，請(qǐng)同學(xué)們繼續(xù)討論a>0時(shí)的情況，并嘗試畫(huà)出函數(shù)f(x)的大致圖象.

生4：據(jù)此，我畫(huà)出函數(shù)f(x)的大致圖象如圖2所示.

生5：我畫(huà)出的函數(shù)f(x)的大致圖象如圖3.

師：同學(xué)們認(rèn)為函數(shù)f(x)的圖象應(yīng)該是哪一個(gè)？這兩個(gè)函數(shù)圖象，不同點(diǎn)在哪里？

師：同學(xué)們能通過(guò)計(jì)算判斷兩個(gè)極大值孰大孰小嗎？

生：……(表示學(xué)生思維的暫時(shí)中斷，下同).

師：我們發(fā)現(xiàn)，以計(jì)算的方式直接比較兩個(gè)極值的大小存在一定困難.而圖象是對(duì)函數(shù)f(x)變化趨勢(shì)的直觀反映，實(shí)際上也必然滿(mǎn)足題目條件與結(jié)論的設(shè)定.因而，不妨從圖象出發(fā)，從題目條件和所求結(jié)論入手，對(duì)兩個(gè)函數(shù)圖象進(jìn)行分析判斷.

師：很好！依據(jù)同樣的思路請(qǐng)同學(xué)們快速判斷圖3是否滿(mǎn)足題意，并據(jù)此列出m應(yīng)滿(mǎn)足的條件.

至此，題目的解答思路已相當(dāng)明晰，參數(shù)m取值應(yīng)滿(mǎn)足的條件也已列出，后續(xù)的解答環(huán)節(jié)學(xué)生可以輕松應(yīng)對(duì)，迎刃而解，花點(diǎn)時(shí)間不難得到題目答案.

對(duì)于本題，可以使用換元法，設(shè)所求代數(shù)式中的兩個(gè)分式分母分別為m,n，利用m,n反解出x,y，根據(jù)題目對(duì)x,y大小的限制條件確定m,n的范圍，最后將m,n代入原式，突出結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，利用基本不等式求得最值.這里，巧用數(shù)值“1”轉(zhuǎn)換題目的條件不等式，“化動(dòng)為定”生成常數(shù)，并利用常數(shù)代換法求解.現(xiàn)將解題的過(guò)程呈現(xiàn)如下：

由上述的解答過(guò)程，不難發(fā)現(xiàn)，使用常數(shù)代換法較之于換元法對(duì)于本題的解答更加便捷高效.然而，條件x+y≤2對(duì)于本題的解答具有相當(dāng)?shù)拿曰笮?，如何隱蔽地啟發(fā)學(xué)生萌生轉(zhuǎn)換這一條件不等式為“常數(shù)1”，并利用常數(shù)代換法求解本題是解答本題的要緊之處.下面展示處理這一關(guān)鍵環(huán)節(jié)的教學(xué)設(shè)計(jì)：

生1：我發(fā)現(xiàn)所求分式的分子都是常數(shù)，分母比較復(fù)雜，都含有x和y,但形式不同,也不能將兩個(gè)分式直接相乘得到定值，或者相乘后得到簡(jiǎn)化并求值……

師：我們猜想，生1很可能聯(lián)想到了利用基本不等式求解最值時(shí)要滿(mǎn)足的三個(gè)關(guān)鍵條件“一正、二定、三相等”.他希望通過(guò)兩個(gè)代數(shù)式乘積為定值的形式，得到所求代數(shù)式和的最小值，這是一個(gè)很好的解題思路.但就目前來(lái)看，從所求代數(shù)式出發(fā)，難以得到一個(gè)乘積為定值的形式.同學(xué)們能否設(shè)想一種方法，構(gòu)造出一個(gè)與所求代數(shù)式乘積為定值的式子？

師：通過(guò)生2的方法確實(shí)能得到我們所要的乘積為定值的形式.請(qǐng)同學(xué)們進(jìn)一步思考，這樣做對(duì)我們求代數(shù)式的最小值有影響嗎？能求出所求代數(shù)式的最小值嗎？

師：說(shuō)得很好！那么，如何能保證引入的代數(shù)式與所求代數(shù)式相乘并且使不等號(hào)保持方向一致呢？

生4：根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，當(dāng)不等式兩邊都乘以(或除以)同一個(gè)正數(shù),不等號(hào)的方向不變.

師：生5的思維可真敏捷！按照這樣的思路，請(qǐng)同學(xué)們繼續(xù)后續(xù)的解題吧.

對(duì)于本題關(guān)鍵環(huán)節(jié)的處理，已經(jīng)通過(guò)問(wèn)題串的形式展現(xiàn)得淋漓盡致.由于后續(xù)的解題環(huán)節(jié)不構(gòu)成本題解答的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，這里不再贅述.至此可見(jiàn)，學(xué)生數(shù)學(xué)解題的過(guò)程并不是一蹴而就，一帆風(fēng)順的.如在本題的解答過(guò)程中，學(xué)生經(jīng)歷了對(duì)題目所求代數(shù)式形式特點(diǎn)的考察與條件不等式的使用探索，方能從“二定”這一解答的基本思路中突破疑點(diǎn)，獲得正確的解答思路.

三、結(jié)語(yǔ)

數(shù)學(xué)解題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的必經(jīng)途徑.要想充分發(fā)揮數(shù)學(xué)解題的有效性，教師就必須做好數(shù)學(xué)解題關(guān)鍵環(huán)節(jié)課堂實(shí)施的精心設(shè)計(jì).如在探求2021年江蘇省淮安市淮陰區(qū)數(shù)學(xué)高考模擬試題5中的19題第二小問(wèn)時(shí)，要得到a>0時(shí)函數(shù)f(x)的圖象，就要考察兩個(gè)極大值孰大孰小，而這兩個(gè)數(shù)值大小的比較難以通過(guò)計(jì)算直接得到.因此在教學(xué)中，教師就要設(shè)法引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)解析式與圖象的對(duì)應(yīng)關(guān)系，并以題目條件與結(jié)論為判別依據(jù)，確定符合題意的函數(shù)圖象，再據(jù)此推導(dǎo)參數(shù)m取值應(yīng)滿(mǎn)足的條件.在探求14題時(shí)，轉(zhuǎn)化條件不等式，“化動(dòng)為定”，生成常數(shù)，并確定使用常數(shù)代換法解答題目是解題此題的關(guān)鍵.對(duì)于這一關(guān)鍵解題環(huán)節(jié)的處理，要求教師從一般化的解題思路出發(fā)，比對(duì)已知條件與所求代數(shù)式形式，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)欠缺的解題條件并萌生構(gòu)造代數(shù)式及轉(zhuǎn)化題目條件的解題思路，從而逐步向答案求解的方向靠近.總而言之，把握數(shù)學(xué)解題關(guān)鍵環(huán)節(jié)的教學(xué)設(shè)計(jì)需要教師投入足夠的心力，精準(zhǔn)發(fā)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)解題的疑難困惑，做教學(xué)的有心人.唯有如此，才能最大限度地發(fā)揮數(shù)學(xué)解題對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效能.