例析導數解題中的若干“陷阱問題”

廣東省惠州市第一中學 (516007) 余 軍 方志平

導數在高中數學的學習當中是十分重要的,導數也為函數問題的求解帶來了新的視角，但由于學生對導數中一些概念理解不清，而造成解題錯誤的現象是屢見不鮮的.在平常的教學中，我們要注意研究易錯的知識點和加強對易錯問題的反思，尤其是要對“形似質異”的導數問題多加甄別.本文通過對幾例導數中的“陷阱問題”加以剖析，旨在喚起大家的注意.

1.導數在解決有關函數極值問題上的陷阱

評注：函數極值、極值點的定義：如果函數f(x)在點x=x0的一個鄰域(x0-δ,x0+δ)內有定義，對任意的x∈(x0-δ,x0)∪(x0,x0+δ),總有f(x)f(x0)，則稱f(x0)為函數f(x)的極小值，x0稱為函數f(x)的極小值點.可見函數的極值f(x0)是與x0“附近”的左、右兩邊函數值進行比較而得知.所以極值點只能落在區間的內部，不能落在區間的端點處.

A.x=1 B.x=0 C.x=-1 D.x=-1、0或1

錯解：由f′(x)=6x5-12x3+6x，令f′(x)=0，解得極值點為x1=-1,x2=0,x3=1.故選擇D.

評注：使導數值為0的點不一定是極值點.如，常見的函數y=x3，在x=0處導數值為0，但x=0并不是該函數的極值點.是否為極值點，這需要根據極值點的定義進行判別.

陷阱：函數f(x)在定義域內不可導的點為x1=0,x2=2.當x變化時，f′(x)的變化情況如下表：

x-∞,0 00,1 11,2 22,+∞ f'x -不存在+0-不存在+

所以x1=0,x2=2是函數f(x)的兩個極小值點，函數f(x)的極小值為f(0)=f(2)=0.從而函數f(x)的極大值為1,極小值為0.

評注：對任意函數來說，極值可能在定義域內導數為0處取得，也可能在函數不可導處取得.

例4 函數f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1時有極值為10,那么a+b的值為( ).

A.-7 B.0

C.-7或0 D.以上都不對

評注：對于可導函數在極值點處導數值一定為0，但導數值為0的點未必是極值點.

2.導數在解決有關函數單調性問題上的陷阱

例5 已知函數f(x)=x3-mx2+2m2-5(m<0)的單調遞減區間是(-9,0)，求實數m取值的集合.

評注：“函數f(x)在區間(a,b)單調遞減”，與“函數f(x)單調遞減區間是(a,b)”，這是兩個不同的概念.前者中的區間(a,b)不一定是函數的單調遞減區間，但一定是單調遞減區間的子區間；后者是指函數“在且僅在”區間(a,b)上單調遞減.

評注：對于(a,b)內可導函數，f′(x)≥0是函數f(x)單調遞增的必要不充分條件；而f′(x)>0是函數f(x)單調遞增的充分不必要條件.

3.導數在解決有關函數圖象切線問題上的陷阱

錯解：直線C1的斜率為k=y′=2x，C2為k=y′=-2x+4，從而2x=-2x+4,解得x=1,于是直線l的斜率為k=2,所以直線l與C1的切點是(1,1)，與C2的切點是(1,-1)，由點斜式方程得切線方程為2x-y-1=0和2x-y-3=0.

評注：直線l是曲線C1、C2的公切線，切線是同一條，但切點不一定是同一個，因此，如果建立斜率相等的方程2x=-2x+4,就等于承認切點是相同的了，這顯然是不嚴謹的.

評注：一些學生誤認為斜率不存在，切線就不存在.其實函數在某點處可導，則其圖象在該點處必有切線，反之，若函數圖象在某點處有切線，則函數在該點處不一定可導.

例9 求曲線f(x)=3x-x3過點A(2,-2)的切線方程.

錯解：∵點A在曲線f(x)=3x-x3上，且f′(x)=3-3x2，∴f′(2)=3-3×22=-9,故所求切線方程為y+2=-9(x-2),即9x+y-16=0.

評注：曲線“在某點處的切線”是指過該點且以該點為切點的切線,從而該點也必須是曲線上的點；“過某點的切線”則不一定以此點為切點,該點也不一定在曲線上,因此所求切線可能不止一條.

通過對上述易錯點的診斷，我們不難發現，審題不清、概念模糊或受思維定式的影響，常常會使學生落入題目設計的“陷阱”中去，這也提醒我們，在解決與導數有關的問題時，要重視對基本概念和題意的理解.