例談三角函數周期性問題

江蘇省無錫市第一中學 (214100) 吳明飛

一、教學分析

二、教學過程

(一)解三角函數的周期問題時如何思考

教學片斷1

教學目的：鞏固學生對常規三角函數周期性問題的求解，學會通性通法.

教學片斷2

A.最小值為2 B.最大值為2

C.最小值為1 D.最大值為1

(二)學習三角函數的周期性需要注意什么

教學片斷3

這是一道新高考模擬題，學生們的做題思路還是比較明確，其大部分同學的做法大是這樣的：

反思辨析：仔細分析發現，這里有個概念性的錯誤，由f(x+2π)=f(x)得到2π為f(x)的一個周期，但是不一定是最小正周期，但后面的運算學生們都是默認為最小正周期的，所以上述做法不對，所以在處理三角函數的周期問題時，一定要區分開周期與最小正周期，所以此題值得深入研究.

分析：既然由f(x)=-f(x+π)得不到最小正周期，但f(x)=-f(x+π)肯定是有意義的，即對任意x∈R，f(x)=-f(x+π)恒成立，直接代入解析式得，通過代數變形得到sin(ωx+φ)=-sin(ω(x+π)+φ)=sin(-ωx-ωπ-φ)=sin(π+ωx+ωπ+φ)，sin(ωx+φ)=sin((ωx+φ)+(π+ωπ))，所以π+ωπ=2kπ,k∈Z，即ω=2k-1,k∈Z，又因為ω>0，此時發現ω可以取無窮多個數，這與出題人想展示的不是一個意思，所以此題是有問題的，不能確定ω，若把“ω>0”改為“0<ω<2”即可確定ω的值為1，最終答案選A.

還可以繼續如下分析：

反思總結：在學習三角函數的周期時，我們要注意周期與最小正周期的區別，容易混淆而導致錯誤.對于三角函數中的代數變形含義的理解，要做到準確，如例3中，化簡完之后是一個恒成立問題，所以要做到對問題的深入理解.在做選擇題時可以大膽的假設，通過合理論證可以解決問題；或者可以通過特殊值方法，通過檢驗來說明選項的正確性.

三、教學反思

通過三個教學片斷，層層遞進，逐步深入三角函數的周期性問題，通過合理的設問，讓學生能夠從題目中發現問題，接著分析問題，最后通過分析，通過努力嘗試解決問題，有效的通過變式教學，讓學生發現山外還有一番不同的景色.三角函數的周期與最小正周期概念容易混淆，三角函數的最小正周期蘊含著兩層意思：此函數是周期函數且存在最小正周期.在處理周期問題時，學會靈活運用，結合圖像，加深周期概念的理解.有關三角函數周期問題是新高考中的熱點問題之一，必須引起我們的高度重視.