關于三個數學問題的推廣

甘肅省蘭州市紅古區教育局 (730070) 王永紅甘肅省蘭州市第七十一中學 (730080) 龐耀輝

下面我們先證明如下引理：

引理若a1,a2,…,an≥0(n∈N且n≥4),則4(a1a2+a2a3+…+ana1)≤(a1+a2+…+an)2.

證明：設f(a1，a2，…，an)=4(a1a2+a2a3+…+ana1)-(a1+a2+…+an)2.

下面用數學歸納法證明f(a1,a2,…,an)≤0.

當n=4時,f(a1,a2,…,an)≤0等價于4(a1+a3)(a2+a4)≤(a1+a2+a3+a4)2，由均值不等式知，命題成立.

假設當n=k(k≥4,k∈N)時命題成立.則當n=k+1時，不妨設ak=min{a1,a2,…,ak,ak+1}，于是有f(a1,a2,…,ak,ak+1)-f(a1,a2,…,ak-1,ak+ak+1)=4[ak-1ak+akak+1+a1ak+1-ak-1(ak+ak+1)-(ak+ak+1)a1]=-4[(ak-1-ak)ak+1+a1ak]≤0.故f(a1,a2,…,ak,ak+1)≤f(a1,a2,…,ak-1,ak+ak+1)，由歸納假設知f(a1,a2,…,ak-1,ak+ak+1)≤0,則f(a1,a2,…,ak,ak+1)≤0.故當n=k+1時，結論也成立.

該不等式的一個推廣是：

由①?x(x-1)2(x+1)≥0,顯然成立，

故①成立，從而有

給出該不等式的一個推廣是：

特別地，取M=7,N=2,P=Q=1，n=4，得問題2573，故命題1是問題2573的推廣.

取n=4,M=N=P=Q=1，得不等式：

已知實數a,b,c,d>0,且a+b+c+d=1，求證：

該不等式的一個推廣是：

由條件ab+bc+cd+da=1,并應用引理，得(a1+a2+…+an)2≥4(a1a2+a2a3+…+an-1an+ana1)=4，a1+a2+…+an≥2.

特別地，取n=4立得賽題，故命題3是賽題的一個推廣.