一道直線與橢圓問題的解法與應用

江蘇省海門中學 (226100) 蒯 龍

在直線與橢圓的題目中經常遇到三角形的面積問題，構造三角形的面積有多種途徑，如果將三角形改為四邊形，特別是一般的四邊形，如何求其面積呢？本文通過一道考題的兩種解法來說明如何處理四邊形的面積問題.

一、問題與解

圖1

(1)求|AB|(用k表示)；

(2)設AB與CD交于點Q，AB和CD所成的角為θ，則SACBD=S△AQC+S△CQB+S△BQD+S△DQA

方法一：運用角公式得正切、求正弦，構造函數求范圍

方法二：坐標變換將橢圓化為圓，基本不等式求范圍

圖2

評析：第2問的關鍵是表示出四邊形的面積，方法一利用到角公式求得兩對角線夾角的正弦值，進而利用斜率表示出四邊形的面積,利用函數單調性求出取值范圍；方法二，通過變換將橢圓的內接四邊形轉化為圓中對角線互相垂直的四邊形面積，利用基本不等式求出取值范圍.

二、解法推廣

圖3

證明：當ABCD是凸四邊形時，(2)中已證，下證ABCD是凹四邊形時的情形，如圖3設AC與BD交于點E，則SABCD=S△AEB+S△BEC-S△AED-S△CED

上述命題說明任意四邊形的面積就是以對角線平移后構成的三角形的面積，由解法二可得到三角形面積的坐標公式.

根據上述命題只需知道三角形3個頂點的坐標，便可以求出三角形的面積，解法二中依據上述坐標公式可以得到變換前后三角形面積之間的關系.

三、綜合應用

例1 (2021廣州市一模)已知點A(1,0)，點B是圓O1:(x+1)2+y2=16上的動點，線段AB的垂直平分線與BO1相交于點C，點C的軌跡為曲線E.

結語：涉及四邊形的面積問題，關鍵在于如何表示面積，命題1與命題2用坐標表示四邊形的面積，避免了討論四邊形的形狀，運用了數形結合的思想，將幾何問題轉化為代數方法處理，體現了解析幾何的思想.命題3中的變換，實現了將橢圓中的問題轉化為圓中的問題，使得問題的幾何特征更為明顯，運用了轉化與化歸的數學思想.