極點極線背景下一組模擬題的求解及評析

湖南大學數學學院 (410082) 王少波 舒小保

極點極線的理論在《高等幾何》[1]中有詳細的介紹，高中很多圓錐曲線的相關結論(如定點、定值、斜率與角度等)在各類試題中多有體現.師生掌握一些極點極線的相關知識，將對試題的命制和解答大有幫助，本文例析一組模考題，供同仁參考.

1.極點極線的背景知識

圖1

(1)幾何定義：如圖1，過圓錐曲線外的一點P作兩條直線交圓錐曲線于點A,B和C,D，連接BC和AD交于點O，AC和BD交于點F，連接FO交圓錐曲線于點N,M，則直線FO是點P的極線，點P是直線FO的極點，此時PM,PN恰好是圓錐曲線的兩條切線.事實上，FO是點P關于橢圓的切點弦，P,F,O構成自極三點形，點F的極線是PO，點O的極線是PF.

圖2

2.模擬題求解及評析

例1 (2021浙江強基聯盟二模)已知F(0,1)且滿足|PF|=x+1的動點P(x,y)的軌跡為C．

(1)求曲線C的軌跡方程；

(2)過點T(-1,0)的斜率大于零的直線與曲線C交于D，M兩點，已知Q(1,-1)，直線DQ交曲線C于另外一點N，證明直線MN過定點．

圖3

評析：本題的命題思路來自于極點極線的幾何定義，特別是自極三點形的應用.本題還可以如下改編：連接MQ交曲線C于點G，試證明DG與MN交于一定點.

例2 (2021武漢模擬)已知拋物線C:x2=2y，設P為直線l:y=x-1上一點，過P作拋物線C的兩條切線，切點分別為A、B.

(1)證明：動直線AB恒過定點Q；

圖4

評析：本題涉及的極點極線背景知識有兩個，一個是配極原則，一個是極點極線的代數定義.由上述解題過程可以看出，用極點極線知識解題更簡潔，更容易高屋建瓴地看透問題的本質.

(2)設c=1，過定點(0,c)且斜率為k的直線l與橢圓C交于M，N兩點，在y軸上是否存在一點Q，使得y軸始終平分∠MQN？若存在，求出Q點的坐標；若不存在，請說明理由．

(2)如圖5，若c=1，則定點為P(0,1),點P的極線y=3交y軸(對稱軸)于點Q(0,3)，則有P、Q在y軸(對稱軸)上且關于橢圓調和共軛，由極點極線的性質可知∠MQP=∠NQP,因此y軸始終平分∠MQN.

圖5 圖6 圖7

評析：本題應用的是極點極線的如下性質[2]：圓錐曲線對稱軸上的兩點P、Q關于圓錐曲線成調和共軛,如圖6、圖7，過點P(或點Q)的直線交圓錐曲線于點M、N，則直線QM、QN(或直線PM、PN)與對稱軸所成的夾角相等.此性質的逆命題也成立.

(1)求橢圓的方程；

圖8 圖9

3.結語

以極點極線為背景的各類模擬題還有很多，在往年的高考題中也多有出現，以上評析了幾個常用的極點極線性質的例題，以期能夠起到拋磚引玉的作用，幫助教師與學生拓寬思維，對圓錐曲線的解題有所幫助.