素養導向下一道2021年高考題的解法探析

福建省南平市高級中學 (353000) 江智如 蔡 珺福建省南平市教師進修學院 (354200) 許貴全

1 試題呈現

(2021年高考全國I卷理科第22題)已知函數f(x)=x(1-lnx)．

(1)討論f(x)的單調性；

2 試題分析

本試題依托函數性質，考查導數公式和導數運算法則、利用導數判斷函數單調性的方法以及不等式證明相關知識，考查考生靈活運用導數工具分析問題、解決問題的能力[1]．綜合考查考生化歸與轉化思想、推理論證能力和運算求解能力．本文在學科素養指引下，對試題進行解法探析．

3 試題解析

3.1 極值點偏移法

解法1：(1)由已知條件可得函數f(x)的定義域為(0,+∞)，f′(x)=-lnx，令f′(x)=-lnx=0，則x=1．當00；當x>1時，f′(x)<0．所以f(x)在(0,1)上單調遞增，在(1,+∞)上單調遞減.

圖1

下面先證明：x1+x2>2．

要證明x1+x2>2成立，只要證明x2>2-x1成立．因為02-x1等價于f(x2)0，所以F(x)在(0,1)上單調遞增，從而F(x)2成立．

再證明：x1+x2

3.2 切線放縮法

思路分析：由于解法1函數G(x)單調性的驗證過程復雜，難以直接判斷G(x)的正負，故考慮利用函數f(x)在(e,0)的切線判斷與f(x)的大小，構造新函數運用放縮法證明結論．

解法2：由(1)可求函數f(x)在(e,0)的切線方程為：y=e-x．令H(x)=f(x)-(e-x)=2x-xlnx-e，x∈(0,e)，則H′(x)=1-lnx>0，從而H(x)在(0,e)上單調遞增，于是H(x)x1，因此x1+x2

評析：導數概念及應用是高中數學教學的重要知識之一，能夠讓考生深刻地了解與理解不斷動態變化的事物本質，提高思維層次．本試題分步設問，逐步推進，由淺入深，重點突出，從多角度考查導數的基礎知識、利用導數研究函數性質的方法以及不等式的性質與應用，同時考查考生推理論證能力、運算求解能力、分析與歸納能力和化歸轉化思想．解法1利用極值點偏移方法求解，本質上反映函數值變化快慢的問題，是導數在函數研究中的具體應用[3]．解法2從函數切線的性質入手，運用不等式放縮法求解，從圖象角度判斷函數值變化的情況，揭示函數變化的幾何特征．試題層次分明，區分度高，讓不同水平考生思維能力的廣度和深度得到展示，考查進一步數學學習的潛能，提升學生的邏輯推理素養、直觀想象素養、數學建模素養、數學運算素養．

4.解法啟示

函數與導數知識是高中數學教學的重難點，其中極值偏移問題是近幾年高考與各地模擬考的熱點，常以壓軸題形式出現，突出試卷的區分性與選拔性[4]，本質是導數在函數性質研究中的應用．本文解法從學生的認知水平出發，循序漸進[4]，按照課程標準的要求，來源于教材和已學知識，又高于已有知識，提高學生導數知識的應用能力．在日常的教學實踐中，教師指導學生理解與掌握導數的概念與性質，掌握極值點偏移的通法[2]，設計合理的“精致練習”[6]訓練學生導數應用求解的能力，提升數學學科素養．