用構造法求恒不等式中的參數范圍

福建省龍巖市長汀縣第一中學 (366313) 周興騰

在許多高考題或高考模擬題中，導數的綜合題往往都是把關的角色，其中恒成立問題中求參數范圍的題目更是內容豐富、形式多樣，而我們有些同學也經常是止步于此，究其原因是缺少破題方法．而因題而異、深挖內含是非常重要的，其中抓住題設特點，通過構造新函數求解此類問題就是一個有效的舉措．本文舉例介紹幾種常見的使用方法，供參考．

一、移項后構造

通過把題設的恒不等式移項處理，變成一邊為零后，直接構造函數．

例1 設函數f(x)=x(ex-1)-ax2.若當x≥0時，恒有f(x)≥0，求a的取值范圍.

解析：由于f(x)=x(ex-1-ax)，當x≥0時，f(x)≥0等價于ex-1-ax≥0，令g(x)=ex-1-ax，則g′(x)=ex-a.若a≤1，則當x∈(0,+∞)時，g′(x)>0，g(x)為增函數，而g(0)=0，從而當x≥0時，g(x)≥0，即f(x)≥0.若a>1，則當x∈(0,lna)時，g′(x)<0，g(x)為減函數，而g(0)=0，從而當x∈(0,lna)時，g(x)<0，即f(x)<0.綜合得a的取值范圍為(-∞，1].

評析：將不等式轉化為一個函數式恒大于零(或恒小于零)后，如果通過求導數能夠解決參數范圍的，就不需要再進行其他變形，否則可能將問題復雜化．

例2 設函數f(x)=(x+1)1n(x+1)，若對所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，求實數a的取值范圍．

解析：設g(x)=(x+1)1n(x+1)-ax，其中x∈(-1，+∞)．對函數g(x)求導得g′(x)=1n(1+x)+1-a．令g′(x)=0，解得x=ea-1-1．

①當a≤1時，對任意的x≥0，g′(x)>0，所以g(x)在[0,+∞)上是增函數，又g(0)=0，所以對所有的x≥0，都有g(x)≥g(0)，即當a≤1時，對任意的x≥0都有f(x)≥ax．

②當a>1時，對于01時，不是對所有的x≥0使f(x)≥ax成立．綜上可知，所求實數a的取值范圍為(-∞,1]．

評注：將不等式恒成立轉化為函數式恒大于零是解題的關鍵所在．后面再根據解題需要，通過求導、分類討論的方法判斷不等式是否成立，從而確定了參數的范圍．

二、參數分離后構造

通過分離參數，可將恒不等式問題轉化為求函數的最大值或最小值問題，使后續的解題方向非常清晰．

例3 已知f(x)=xlnx，g(x)=-x2+ax-3.若對一切x∈(0,+∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求實數a的取值范圍．

評注：在解題中首先對不等式進行適當變形后，再通過設新函數利用導數解決問題，而變形的目的是分離變量，把參數分離后就可以利用求函數最值解決問題了．

例4 設函數f(x)=kx3-3x+1(x∈R)，若對于任意x∈[-1,1]，都有f(x)≥0成立，求實數k的取值范圍.

評注：由于所給的自變量x的符號不能確定，所以必須通過分類討論完成分離參數問題．

三、代數變形后構造

有些問題在運用直接求導和分離參數的方法后效果不理想，可以對所給的恒不等式進行適當的代數變形，然后再構造函數新函數解題．

例5 已知函數f(x)=x2ex，g(x)=1-ax．若當x≥0時f(x)≥x2g(x)恒成立，求實數a的取值范圍．

解析：由f(x)≥x2g(x)得x2(ex-1+ax)≥0，當x≥0時f(x)≥x2g(x)恒成立，就是ex-1+ax≥0恒成立．設h(x)=ex-1+ax(x≥0)，由于h′(x)=ex+a，當a≥-1時，h′(x)≥0對x≥0恒成立，所以h(x)≥h(0)=0，符合題意．當a<-1時，由h′(x)>0得x>ln(-a)，由h′(x)<0，得0≤x

評注：解題中通過對恒成立不等式進行整理變形后，等價轉化為另一個不等式，使問題變得簡單得多了，這也是提高解題效率的重要方法之一．

例6 當x≥0時，不等式ax2-ex≤-x-1恒成立，求實數a的取值范圍.

評注：在解本題中的構造更具有創造性，是在對參數進行分段后進行的，并且將指數問題轉化為對數問題，為后面的大小比較、研究函數的單調性提供了最大幫助.

四、多次構造

在用導數求函數最值時，許多情況下可能出現一次求導不能解決問題，還需要再一次求導才能確定函數單調情況，確定函數的最值．

評注：在本題中由于第一次構建的函數g(x)的單調性根據現有條件無法確定，故而再一次地構建一個新函數h(x)，通過求導判斷h(x)的單調情況，進而才能使問題獲得解決．

例8 已知函數f(x)=x-ln(x+1)， 若對任意的x∈[0,+∞)，都有f(x)≤kx2成立，求實數k的取值范圍．

評注：在解題中有兩處構造，都是為了求導后方便比較大小而為之，其實質是將不等式的條件轉化為含參數的函數單調性問題，通過分段討論，使問題獲得圓滿解決．