抗野值自適應(yīng)卡爾曼濾波在頻率標(biāo)準(zhǔn)上的應(yīng)用

陶 翠, 周威威, 唐 超, 陳春芳, 陳 鋮

(上海無線電設(shè)備研究所,上海 201109)

0 引言

頻率標(biāo)準(zhǔn)是一種用來提供某個特殊頻點(diǎn)的穩(wěn)定頻率信號的裝置或儀器。頻率標(biāo)準(zhǔn)及其檢測技術(shù)的進(jìn)步是高科技發(fā)展水平的重要標(biāo)志。頻率標(biāo)準(zhǔn)的精確度直接影響導(dǎo)航定位裝置、電力故障診斷系統(tǒng)、通訊網(wǎng)同步設(shè)備以及軍用設(shè)備等的工作。所以對頻率標(biāo)準(zhǔn)基準(zhǔn)的建立、改進(jìn)和測量提出了越來越高的要求。

在受到溫度等環(huán)境因素干擾或出現(xiàn)內(nèi)部故障時,頻率標(biāo)準(zhǔn)輸出可能會產(chǎn)生頻率跳變[1],同時測量裝置的測量誤差可能會導(dǎo)致產(chǎn)生野值,最終影響頻率標(biāo)準(zhǔn)的可靠性,降低系統(tǒng)的整體性能。野值是在實(shí)際的工程應(yīng)用中,由于工作環(huán)境、測量環(huán)境的影響,或者測量儀器的測量問題導(dǎo)致的個別數(shù)據(jù)出現(xiàn)的突發(fā)性誤差。所以當(dāng)故障發(fā)生時,必須盡可能早地檢測到故障,避免對系統(tǒng)產(chǎn)生更大影響。

頻率標(biāo)準(zhǔn)跳變的檢測方法主要有最小二乘算法[2]、塊平均算法[3]、連續(xù)平均算法[3]、最大似然估計(jì)算法[4]、卡爾曼濾波算法[5-7]及動態(tài)阿倫方差算法[8-12]。其中卡爾曼濾波算法是一種無偏線性最小方差估計(jì)算法,屬于預(yù)測性濾波算法,采用遞歸運(yùn)算,計(jì)算成本低。卡爾曼濾波算法對頻率跳變具有相對更高的檢測概率,在進(jìn)行濾波的同時可以基于內(nèi)部的分析來更新數(shù)據(jù),無需附加方程來檢測異常數(shù)據(jù)。但是在無法確定被研究對象的精確數(shù)學(xué)模型及噪聲精確統(tǒng)計(jì)特性時,卡爾曼濾波算法的濾波精度將大大降低,嚴(yán)重時甚至?xí)l(fā)生濾波發(fā)散。同時,在容錯能力上,卡爾曼濾波算法相對較差。

由于傳統(tǒng)的卡爾曼濾波算法對野值缺乏一定的容錯能力,本文中提出一種抗野值自適應(yīng)卡爾曼濾波算法,并通過試驗(yàn)來驗(yàn)證算法在頻率跳變檢測以及抗野值方面的性能。

1 傳統(tǒng)卡爾曼濾波

1.1 濾波模型

通常使用頻率標(biāo)準(zhǔn)的平均頻率偏差進(jìn)行故障檢測。頻率標(biāo)準(zhǔn)的平均頻率偏差主要由白色頻率噪聲(WFN)、隨機(jī)游走頻率噪聲(RWFN)及確定性慢頻率漂移[5]等組成。頻率標(biāo)準(zhǔn)的平均頻率偏差的遞推表達(dá)式為

式中:d(0)為標(biāo)準(zhǔn)頻率漂移;T為測量時間間隔;d0為線性漂移,通常為常量。

令y t(k)=yRW(k)+d(k),y t(k)代表一種頻率的緩慢變化趨勢,則頻率標(biāo)準(zhǔn)的平均頻率偏差表達(dá)式為

本文在建立平均頻率偏差的卡爾曼濾波模型時,只考慮WFN 及RWFN 這兩種噪聲類型,對于其他噪聲類型,可以用相似的特性代替,在公式中表示出來。

1.2 濾波算法

式中:ε(k)為k時刻平均頻率偏差的新息;K(k)為平均頻率偏差的卡爾曼濾波增益矩陣;R為v(k)的協(xié)方差矩陣;“-1”表示矩陣求逆;I為單位矩陣。其中先驗(yàn)平均頻率偏差矩陣(k)由式(8)計(jì)算得到,頻率偏差的先驗(yàn)協(xié)方差矩陣(k)由式(9)計(jì)算得到。

2 頻率跳變檢測方法

2.1 抗野值自適應(yīng)卡爾曼濾波

系統(tǒng)存在野值時,傳統(tǒng)卡爾曼濾波對系統(tǒng)狀態(tài)預(yù)測的修正將會出現(xiàn)一定的偏差,使得濾波的結(jié)果發(fā)生偏移,甚至發(fā)散。相比于傳統(tǒng)的卡爾曼濾波算法,抗野值自適應(yīng)卡爾曼濾波算法通過新息序列加權(quán)的方式來消除野值的影響,可以有效防止濾波發(fā)散,對新息進(jìn)行加權(quán)后的濾波更加接近真實(shí)狀態(tài)。抗野值自適應(yīng)卡爾曼濾波的狀態(tài)更新方程[13-14]為

式中:Φ(τ(k))是抗野值修正因子,稱為壓縮影響函數(shù),通常為光滑函數(shù);C(k)為設(shè)定的門限值;λ(k)為K(k)D(k)(K(k))T矩陣的最大特征值;D(k)為權(quán)矩陣。當(dāng)Φ(τ(k))=1 時,上述濾波為傳統(tǒng)卡爾曼濾波;而Φ(τ(k))不為1時,則為抗野值自適應(yīng)卡爾曼濾波。若系統(tǒng)出現(xiàn)野值,則τ(k)增大,根據(jù)式(15),相應(yīng)的Φ(τ(k))減小,則野值在系統(tǒng)中的影響權(quán)重降低,野值對系統(tǒng)輸出的影響減小。

C(k)的計(jì)算公式為

2.2 頻率跳變檢測方法的實(shí)施

采用抗野值自適應(yīng)卡爾曼濾波算法進(jìn)行頻率跳變檢測的流程如圖1所示。

圖1 抗野值自適應(yīng)卡爾曼濾波算法的檢測流程

選擇最優(yōu)累計(jì)數(shù)N,構(gòu)建檢測流程中的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的預(yù)測殘差。

根據(jù)本文提出的抗野值自適應(yīng)卡爾曼濾波算法,計(jì)算得到k時刻的N步預(yù)測后驗(yàn)平均頻率偏差矩陣

將每個檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量與檢測閾值進(jìn)行比較,大于閾值則判定為頻率標(biāo)準(zhǔn)發(fā)生故障,小于閾值則判定頻率標(biāo)準(zhǔn)正常運(yùn)行。

3 仿真試驗(yàn)驗(yàn)證

以銣頻率標(biāo)準(zhǔn)PRS10為例,利用銣頻率標(biāo)準(zhǔn)的測量數(shù)據(jù),對抗野值自適應(yīng)卡爾曼濾波算法和傳統(tǒng)卡爾曼濾波算法檢測頻率跳變的性能進(jìn)行仿真對比驗(yàn)證。

3.1 抗野值能力

通過仿真試驗(yàn)對抗野值自適應(yīng)卡爾曼濾波的抗野值能力進(jìn)行對比驗(yàn)證。

圖2為銣頻率標(biāo)準(zhǔn)PRS10的輸出原始相對頻率偏差數(shù)據(jù)時域曲線,此相對頻率偏差數(shù)據(jù)秒穩(wěn)可達(dá)5×10-12量級。

圖2 銣頻率標(biāo)準(zhǔn)PRS10的輸出相對頻率偏差數(shù)據(jù)

一般情況下,頻率標(biāo)準(zhǔn)不會輕易出現(xiàn)故障,為了驗(yàn)證新算法的抗野值能力,需在頻率標(biāo)準(zhǔn)輸出數(shù)據(jù)中人為增加野值。對頻率標(biāo)準(zhǔn)輸出的相對頻差數(shù)據(jù)在時刻t=1.1×104s處增加一個大小為5×10-12的值,當(dāng)作野值。抗野值自適應(yīng)卡爾曼濾波算法及傳統(tǒng)卡爾曼濾波算法對相對頻率偏差數(shù)據(jù)的濾波結(jié)果如圖3和圖4所示。可以看出,抗野值自適應(yīng)卡爾曼濾波后的最大相對頻率偏差約為0.48×10-12,傳統(tǒng)卡爾曼濾波后的最大相對頻率偏差約為1×10-12左右,抗野值自適應(yīng)卡爾曼濾波的野值抑制能力明顯強(qiáng)于傳統(tǒng)卡爾曼濾波。

圖3 抗野值自適應(yīng)卡爾曼濾波算法對野值的抑制效果圖

圖4 傳統(tǒng)卡爾曼濾波算法對野值的抑制效果圖

3.2 檢測概率和虛警率

通過檢測概率及誤檢率仿真試驗(yàn),驗(yàn)證抗野值自適應(yīng)卡爾曼濾波算法相較于傳統(tǒng)卡爾曼濾波算法的優(yōu)勢。

圖5 頻率跳變的累積和檢測概率之間的關(guān)系

可以看出,單個曲線的累積數(shù)會隨著頻率跳變檢測概率的升高而增大。當(dāng)累積數(shù)為11時,抗野值自適應(yīng)卡爾曼濾波的檢測概率為0.99,傳統(tǒng)卡爾曼濾波的檢測概率僅為0.15左右;當(dāng)累積數(shù)達(dá)到24 時,傳統(tǒng)卡爾曼濾波檢測概率才達(dá)到0.99。也就是說,傳統(tǒng)卡爾曼濾波如果要達(dá)到與抗野值自適應(yīng)卡爾曼濾波相同的頻率跳變檢測概率,就需要更大的累積數(shù)。說明抗野值自適應(yīng)卡爾曼濾波性能相比傳統(tǒng)卡爾曼濾波有了一定的提高。本文選擇累積數(shù)為11來進(jìn)行算法驗(yàn)證。

由于銣頻率標(biāo)準(zhǔn)的頻率漂移非常緩慢,在較短的采樣時間內(nèi),阿倫方差顯示的白色頻率噪聲分量、隨機(jī)游走白色頻率噪聲分量和漂移分量都可以忽略不計(jì)。本文主要針對頻率跳變(即銣頻率標(biāo)準(zhǔn)頻率偏差均值的突然變化)進(jìn)行詳細(xì)的討論。仿真用數(shù)據(jù)的頻率偏差在t=0.9×104s時刻發(fā)生頻率跳變,相對頻率偏差跳變值為2.5×10-12。傳統(tǒng)卡爾曼濾波及抗野值自適應(yīng)卡爾曼濾波得到的狀態(tài)估計(jì)結(jié)果分別如圖6和圖7所示。

圖6 傳統(tǒng)卡爾曼濾波相對頻率偏差的估計(jì)

圖7 抗野值自適應(yīng)卡爾曼濾波相對頻率偏差的估計(jì)

可知,抗野值自適應(yīng)卡爾曼濾波通過自適應(yīng)調(diào)整,更新狀態(tài)矩陣,使濾波精度得到一定的提高。為了驗(yàn)證抗野值自適應(yīng)卡爾曼濾波在檢測概率方面的性能優(yōu)勢,在固定誤檢率情況下對兩種算法進(jìn)行仿真。當(dāng)誤檢率為10-3時,兩種算法檢測概率和頻率跳變的關(guān)系如圖8 所示。可以看出,相對頻率跳變相同情況下,抗野值自適應(yīng)卡爾曼濾波的檢測概率高于傳統(tǒng)卡爾曼濾波,當(dāng)抗野值自適應(yīng)卡爾曼濾波檢測概率到達(dá)0.99時,傳統(tǒng)卡爾曼濾波的檢測概率只有0.2左右。

圖8 相對頻率跳變大小和檢測概率的關(guān)系曲線

在相對頻率跳變相同情況下,分析兩種濾波方法檢測概率和誤檢率之間的關(guān)系。使用銣頻率標(biāo)準(zhǔn)的仿真數(shù)據(jù)進(jìn)行模擬仿真,在累積數(shù)為11,相對頻率跳變分別為1.5×10-12,2×10-12,2.5×10-12時,仿真結(jié)果如圖9 所示。圖中用ΔfK表示卡爾曼濾波的相對頻率跳變,用ΔfA表示抗野值自適應(yīng)卡爾曼濾波的相對頻率跳變。兩種方法的檢測概率都隨著誤檢率的增大而增大,當(dāng)相對頻率跳變?yōu)?.5×10-12,誤檢率為6×10-4時,傳統(tǒng)卡爾曼濾波的檢測概率只有0.019,抗野值自適應(yīng)卡爾曼濾波的檢測概率為0.370。當(dāng)相對頻率跳變?yōu)?×10-12,誤檢率為2×10-4時,傳統(tǒng)卡爾曼濾波的檢測概率只有0.020,抗野值自適應(yīng)卡爾曼濾波的檢測概率為0.590。當(dāng)兩種濾波的檢測概率相同時,抗野值自適應(yīng)卡爾曼濾波的誤檢率明顯低于傳統(tǒng)卡爾曼濾波。

圖9 不同頻率跳變下兩種濾波算法的檢測概率與誤檢率曲線

4 結(jié)論

本文針對頻率標(biāo)準(zhǔn)的頻率跳變及野值的檢測提出了一種新型抗野值自適應(yīng)卡爾曼濾波算法。該濾波算法充分考慮了頻率標(biāo)準(zhǔn)模型的不精確性及噪聲統(tǒng)計(jì)特性的不確定性,利用測量數(shù)據(jù)信息,進(jìn)行實(shí)時在線估計(jì)并修正模型參數(shù),以提高濾波精度,得到系統(tǒng)狀態(tài)變量的最優(yōu)估計(jì)值。當(dāng)測量數(shù)據(jù)中不包含野值時,濾波算法能夠充分利用有效的新息,對量測噪聲進(jìn)行在線估計(jì);當(dāng)測量數(shù)據(jù)中包含野值時,濾波算法能夠克服其不利影響,將其控制在某個預(yù)先給定的范圍內(nèi),以確保濾波估計(jì)結(jié)果盡可能地接近系統(tǒng)的真實(shí)狀態(tài)。

仿真結(jié)果表明,抗野值自適應(yīng)卡爾曼濾波對野值的抑制作用明顯優(yōu)于傳統(tǒng)的卡爾曼濾波。該方法在工業(yè)應(yīng)用中不僅可以及時檢測頻率跳變,同時能夠在一定程度上減小測量誤差。