基于去季節(jié)波動(dòng)平滑法的灰色自記憶模型在月徑流預(yù)測(cè)中的應(yīng)用

萬(wàn) 陽(yáng)，楊海燕，湯靜靜

(1.華自科技股份有限公司，湖南 長(zhǎng)沙 410000；2.四川省達(dá)州市水文水資源勘測(cè)局，四川 達(dá)州 635000；3.廣東省水文局清遠(yuǎn)水文分局，廣東 清遠(yuǎn) 511500)

徑流量是重要的河流水文特征指標(biāo)，準(zhǔn)確預(yù)知徑流量的多少對(duì)指導(dǎo)地區(qū)防汛抗旱、供水優(yōu)化調(diào)度、電站節(jié)水發(fā)電有著重要作用[1]。但是，徑流量受降水、氣溫、蒸發(fā)、流域植被、河流比降等因素綜合影響，具有不確定性，隨著預(yù)見(jiàn)期的延長(zhǎng)，預(yù)報(bào)結(jié)果往往難以取得良好的精度，指導(dǎo)意義也就大為減弱。實(shí)踐中常見(jiàn)的用于預(yù)測(cè)河川徑流的預(yù)測(cè)模型有自回歸模型、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型和灰色自記憶模型等[2-5]。目前，因年徑流變化相對(duì)月徑流較平穩(wěn)，徑流預(yù)報(bào)研究主要以年徑流預(yù)報(bào)為主，其中大流域年徑流相對(duì)小流域年徑流平穩(wěn)，徑流預(yù)報(bào)研究又主要以大流域年徑流預(yù)報(bào)為主。小流域地區(qū)由于缺乏長(zhǎng)系列水文資料，年月徑流量總量較小且年際變化較大，運(yùn)用大部分徑流預(yù)報(bào)模型開(kāi)展小流域徑流預(yù)報(bào)，預(yù)報(bào)結(jié)果精度較低。小流域徑流預(yù)報(bào)研究困難較大，相應(yīng)的研究也較少。

灰色模型研究的對(duì)象就是小樣本、貧信息的不確定性系統(tǒng)，尤其是部分信息已知、部分信息未知的系統(tǒng)，能比較好解決資料短缺的問(wèn)題[6-7]。為克服灰色模型對(duì)初始值的依賴(lài)性，提升灰色模型的精確性和穩(wěn)定性，引入動(dòng)力系統(tǒng)的自記憶函數(shù)，構(gòu)建灰色自記憶模型[8-9]。灰色模型對(duì)數(shù)據(jù)光滑性有一定要求，比較成熟的方法有線(xiàn)性變換、對(duì)數(shù)變換、冪函數(shù)變換、指數(shù)平滑、三點(diǎn)平滑等，這些方法對(duì)提高預(yù)報(bào)精度有良好成效[10-12]。灰色自記憶模型在降雨量、地下水深、年徑流量模擬和預(yù)報(bào)等[13-15]水文非線(xiàn)性時(shí)間序列分析方面已取得了一定成效。本文研究小流域月徑流預(yù)報(bào)，針對(duì)月徑流突變、不光滑、具有不確定特點(diǎn)，創(chuàng)新性引入季節(jié)指數(shù)和三點(diǎn)平滑法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行平滑處理，運(yùn)用灰色自記憶模型對(duì)月徑流進(jìn)行模擬和預(yù)測(cè)，取得了良好成效，為月徑流預(yù)報(bào)提供一種新的解決辦法。

1 建模原理

本文思路：①原始觀測(cè)數(shù)據(jù)具有周期性，基于季節(jié)指數(shù)對(duì)原始觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行“去季節(jié)波動(dòng)”，第一次平滑數(shù)據(jù)；②優(yōu)選三點(diǎn)平滑法對(duì)“去季節(jié)波動(dòng)”原始觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)一步平滑處理；③運(yùn)用灰色自記憶模型對(duì)平滑后數(shù)據(jù)進(jìn)行模擬和預(yù)測(cè)；④數(shù)據(jù)還原對(duì)比分析。

1.1 基于季節(jié)指數(shù)的“去季節(jié)波動(dòng)”法原理

原始觀測(cè)數(shù)據(jù)具有季節(jié)性，可先消除其季節(jié)性。本文采用基于季節(jié)指數(shù)的“去季節(jié)波動(dòng)”法，包含2個(gè)步驟：一是基于原始觀測(cè)資料，采用滑動(dòng)平均法計(jì)算月徑流季節(jié)指數(shù)；二是基于季節(jié)指數(shù)，用月徑流資料除以季節(jié)指數(shù)，從而消除月徑流資料的季節(jié)波動(dòng)[16]。具體方法如下。

步驟一計(jì)算時(shí)間序列滑動(dòng)平均值。假設(shè)原始觀測(cè)數(shù)據(jù)為n，季節(jié)周期為N，則：

x(i+N-1)]/N

(1)

式中i=1，2，3，…，n-N+1。

步驟二計(jì)算中心滑動(dòng)平均CMA。

(2)

步驟三計(jì)算比例因子Ra。

(3)

步驟四將序列中相同季節(jié)的比例因子乘以100后取平均值，得到季節(jié)數(shù)。

步驟五調(diào)整計(jì)算出季節(jié)數(shù)調(diào)整比例，令其和等于12×N，得到季節(jié)指數(shù)。

步驟六用原始觀測(cè)實(shí)測(cè)值除以其所在季節(jié)對(duì)應(yīng)的季節(jié)指數(shù)，其值即為“去季節(jié)波動(dòng)”的數(shù)據(jù)。

以上步驟計(jì)算默認(rèn)N為偶數(shù)，若N為奇數(shù)，跳過(guò)步驟二。

1.2 三點(diǎn)平滑法原理

三點(diǎn)平滑法通過(guò)重新賦予待處理數(shù)據(jù)和前后數(shù)據(jù)的權(quán)值，增強(qiáng)待處理數(shù)據(jù)的權(quán)重，減少數(shù)據(jù)的波動(dòng)性，加大待處理數(shù)據(jù)與前后數(shù)據(jù)聯(lián)系的一種數(shù)據(jù)處理辦法。具體步驟如下。

步驟一已知原始觀測(cè)數(shù)據(jù)。

X(0)(k)={x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)}

(4)

步驟二兩端數(shù)據(jù)平滑處理處理。

(5)

步驟三中間數(shù)據(jù)平滑處理。

k=2，3，…，n-1

(6)

1.3 灰色自記憶模型

1.3.1灰色GM(1,1)模型

GM(1,1)灰色模型是1階、單變量的灰色預(yù)測(cè)模型。

a)假設(shè)原始建模數(shù)據(jù)。

X(0)(k)={x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)}

(7)

b)對(duì)X(0)進(jìn)行一次累加生成1-AGO。

X(1)(k)={x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(n)}

(8)

c)生成相鄰均值序列。

Z(1)=[z(1)(1)+z(1)(2)+…+z(1)(n-1)]

(9)

式中z(1)(k)=θx(1)(k)+(1-θ)x(1)(k+1)，θ一般取0.5。

d)建立白化微分方程。

(10)

式中a——發(fā)展灰數(shù)，表示預(yù)測(cè)對(duì)象的變化趨勢(shì)；u——內(nèi)生控制灰數(shù)。

e)對(duì)應(yīng)建立離散型灰色方程。

x(0)(k)+az(1)(k)=u

(11)

(12)

式中a、u可運(yùn)用最小二乘法進(jìn)行求解：

(13)

1.3.2自記憶模型

將灰色GM(1,1)系統(tǒng)導(dǎo)出的微分方程作為動(dòng)力方程：

dx(1)/dt=F(x,t)=-ax(1)+u

(14)

引入自記憶函數(shù)β(x)，根據(jù)文獻(xiàn)[7]灰色自記憶推導(dǎo)公式，求得p階自記憶函數(shù)預(yù)測(cè)方程為：

(15)

令：Xt=Yα+Fθ

(16)

令：M=[Y,F]，W=[α,θ]，則Xt=MW。

運(yùn)用最小二乘法計(jì)算參數(shù)α、θ，公式如下：

(17)

求出矩陣W后，即可用式(15)進(jìn)行預(yù)報(bào)。

2 實(shí)例應(yīng)用

2.1 資料分析

炎陵縣屬亞熱帶季風(fēng)濕潤(rùn)氣候區(qū)，四季分明，日照充足，雨量集中。炎陵縣最大降水年為1994年(2 248 mm)，最小降水年為1963年(970 mm)，年際差達(dá)1 278 mm。由炎陵水文站(位于湖南省株洲市炎陵縣)1959—2015年月徑流資料可知：月平均流量最大值為130 m3/s，最小值為5.74 m3/s，相差約23倍。月平均流量存在突變、不平滑且平均流量較小，是典型的小流域特征。

2.2 灰色自記憶模型建立

2.2.1去除季節(jié)波動(dòng)

月徑流存在季節(jié)性波動(dòng)，周期為12個(gè)月，用基于季節(jié)指數(shù)的去季節(jié)波動(dòng)法對(duì)月徑流資料進(jìn)行處理，見(jiàn)圖1、2。月徑流原始數(shù)據(jù)最大值與最小值比值約23倍，經(jīng)過(guò)去除季節(jié)波動(dòng)后，比值約15倍，波動(dòng)明顯變緩。

圖2 去除季節(jié)波動(dòng)后月徑流過(guò)程線(xiàn)

2.2.2三點(diǎn)平滑處理

為了讓數(shù)據(jù)更加平滑，提高灰色自記憶模型精度，為此引入三點(diǎn)平滑法處理數(shù)據(jù)，對(duì)突變點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行平滑處理，平滑前后數(shù)據(jù)對(duì)比見(jiàn)圖3。

圖3 月平均流量平滑前后對(duì)比

2.3 灰色自相關(guān)模型擬合

2.3.1求解微分動(dòng)力方程

首先求解灰色GM(1,1)模型參數(shù)，求得a=-0.000 549，u=0.272 1，求得微分動(dòng)力方程：F(x,t)=-0.000549xi+0.2721u。

2.3.2建立灰色自記憶模型

經(jīng)過(guò)驗(yàn)證，選擇p=10階灰色自相關(guān)模型，經(jīng)過(guò)最小二乘法計(jì)算，求得去季節(jié)波動(dòng)平滑法的灰色自相關(guān)模型參數(shù)：

代入式(16)，得到灰色自相關(guān)預(yù)報(bào)模型，對(duì)1959—2010年炎陵站月徑流資料進(jìn)行擬合，采用后驗(yàn)差檢驗(yàn)法(表1)進(jìn)行檢驗(yàn)，對(duì)比不同數(shù)據(jù)平滑方法，檢驗(yàn)結(jié)果見(jiàn)表2。結(jié)果顯示在炎陵水文站，運(yùn)用去季節(jié)波動(dòng)平滑法后進(jìn)行月徑流預(yù)報(bào)，模擬精度最高，平均相對(duì)誤差15.39%，預(yù)報(bào)成果滿(mǎn)足精度要求，其月徑流模擬曲線(xiàn)見(jiàn)圖4，月徑流相對(duì)誤差散點(diǎn)見(jiàn)圖5。從擬合結(jié)果來(lái)看，以20%的誤差作為合格標(biāo)準(zhǔn)，擬合合格率為73.5%，其中枯水期(1—4月、11—12月)平均相對(duì)誤差約14%，汛期(5—10月)平均相對(duì)誤差約16.7%，枯水期相對(duì)而言，預(yù)報(bào)精度較高。由于模型使用三次平滑法對(duì)月徑流數(shù)據(jù)進(jìn)行平滑處理，并沒(méi)有對(duì)數(shù)據(jù)再次進(jìn)行修正，會(huì)損失部分極值變化點(diǎn)的預(yù)報(bào)精度，尤其在相鄰月度數(shù)據(jù)存在急劇變化的情況下，預(yù)報(bào)精度難以保證，同時(shí)由于小流域流量數(shù)據(jù)很小，最小月份流量數(shù)據(jù)僅有5.74 m3/s，有微小變動(dòng)，誤差就會(huì)急劇放大，從預(yù)報(bào)成果看，個(gè)別月份預(yù)報(bào)誤差不滿(mǎn)足精度要求。

表1 后驗(yàn)差檢驗(yàn)法檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)

表2 擬合結(jié)果檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)

圖4 月平均流量實(shí)測(cè)與擬合曲線(xiàn)對(duì)比

圖5 月平均流量實(shí)測(cè)與擬合值相對(duì)誤差散點(diǎn)

2.3.3月徑流預(yù)報(bào)

將1959—2010年月徑流資料建立的灰色自相關(guān)模型，預(yù)報(bào)2011—2015年月平均流量。結(jié)果顯示，預(yù)報(bào)平均相對(duì)誤差12.71%，以20%的誤差作為合格標(biāo)準(zhǔn)，預(yù)報(bào)合格率為83.3%，其中最大誤差49.45%，最小誤差0.2%，月平均流量預(yù)報(bào)曲線(xiàn)較好的擬合實(shí)測(cè)月平均流量走勢(shì)，對(duì)比見(jiàn)圖6。

圖6 月徑流預(yù)報(bào)和實(shí)測(cè)對(duì)比曲線(xiàn)

由于數(shù)據(jù)較多，本次展示2014—2015年實(shí)測(cè)與預(yù)報(bào)對(duì)比數(shù)據(jù)，見(jiàn)表3。從表3可以看出，灰色自相關(guān)模型預(yù)測(cè)月徑流，徑流總量基本與實(shí)測(cè)值相近，除個(gè)別月份誤差較大外，大部分月份預(yù)報(bào)值滿(mǎn)足規(guī)范要求(誤差小于20%)。

表3 2014—2015年月平均流量實(shí)測(cè)值與預(yù)報(bào)值統(tǒng)計(jì)分析

2.4 基于短缺月徑流資料的預(yù)報(bào)

本次以炎陵水文站2011—2015年月徑流數(shù)據(jù)為樣本，以2011、2011—2012、2011—2013、2011—2014年為建模資料，統(tǒng)一用P=3階灰色自記憶模型進(jìn)行擬合，并分別對(duì)2012—2015、2013—2014、2014—2015、2015年數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)報(bào)。擬合情況檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)和預(yù)報(bào)情況統(tǒng)計(jì)見(jiàn)表4。

從表4可以看出，有2年及以上擬合資料，用去季節(jié)波動(dòng)平滑法處理月徑流數(shù)據(jù)，再用3階灰色自記憶模型進(jìn)行小流域地區(qū)月徑流預(yù)報(bào)，預(yù)報(bào)平均誤差在20%以?xún)?nèi)，滿(mǎn)足水文預(yù)報(bào)規(guī)范要求。

表4 短缺資料擬合結(jié)果檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)

3 結(jié)論與展望

本文針對(duì)月徑流突變且不光滑，但存在周期性的特點(diǎn)，采用去季節(jié)波動(dòng)平滑法對(duì)月徑流數(shù)據(jù)進(jìn)行一次平滑處理，再采用三點(diǎn)平滑法對(duì)月徑流數(shù)據(jù)進(jìn)行二次平滑處理，大幅度提高數(shù)據(jù)的平滑度，使用灰色自記憶模型對(duì)月徑流進(jìn)行模擬和預(yù)報(bào)，得出以下結(jié)論。

a)灰色自記憶模型開(kāi)展模擬和預(yù)報(bào)，精度分別為15.39%和12.71%，在月徑流預(yù)報(bào)方面具有可行性。

b)基于去季節(jié)波動(dòng)平滑法的灰色自記憶模型在短缺資料地區(qū)開(kāi)展月徑流模擬和預(yù)報(bào)同樣滿(mǎn)足要求，拓展了該方法的應(yīng)用范圍。

c)采用三點(diǎn)平滑法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行平滑處理，對(duì)一些極值點(diǎn)不可避免造成了誤差，導(dǎo)致個(gè)別月份預(yù)報(bào)結(jié)果相對(duì)誤差較大，后續(xù)需研究更好的數(shù)據(jù)平滑方法。