多穩態電磁俘能系統的非線性動力學實驗研究

高鳴源 李守太 孫玉華

摘要： 為克服共振式俘能器工作頻帶窄和壓電式俘能器輸出電流低等問題，設計了多穩態電磁式振動俘能系統。建立了系統的分數階阻尼模型，通過實驗揭示了多穩態電磁俘能系統的動態分岔、勢能阱逃逸、高能態軌道和混沌運動等非線性行為。結果表明：采用龐加萊截面頻閃采樣算法和分岔圖可有效刻畫系統的非線性振動特性;利用多穩態電磁式俘能系統的非線性振動特性可顯著增加輸出電流并拓寬系統的有效工作頻帶。

關鍵詞： 非線性振動; 振動俘能; 多穩態電磁式俘能系統; 混沌; 分岔

引 言

振動俘能裝置可將周圍環境中的振動能量轉化為電能，是能源回收利用的重要實現方式。經典的振動能量收集裝置可分為靜電式[1]、電磁式[2]及壓電式[3?4]三類。對于傳統的線性諧振式振動俘能器，當激勵頻率等于或接近俘能系統固有頻率時俘能器才會有顯著的能量輸出。當外界環境振動激勵頻帶較寬時，線性諧振式振動俘能器的效能不足。

因此學者們開展了非線性俘能系統的研究工作以期拓寬俘能器頻帶，主要研究工作包括單穩態[5]、沖擊[6]、雙穩態[7?8]、三穩態[9?10]等結構形式。多穩態系統的回復力具有非線性特性，回復力勢能存在多個勢能阱，當振子發生阱間振動時其處于高能態軌道狀態，此時系統具有較高的能量輸出。因此通過系統設計使俘能器處于高能態軌道狀態，可有效提高俘能功率輸出[11]。

雙穩態和三穩態振動俘能系統的非線性回復力通常借助磁斥力或磁吸力的非線性特性來實現。現有俘能器主要借助壓電效應實現機電能量轉換，典型的雙穩態壓電俘能器由壓電懸臂梁及輔助磁體組成，梁的自由端固定有永磁體[12?17]，并隨壓電梁一起振動，其余磁體靜止布置于梁的兩側，不隨梁運動。系統的非線性行為取決于磁體的幾何形狀，位置和磁性等。上述多穩態系統非線性回復力勢能雖由磁力產生，但本質上屬于壓電俘能系統。壓電俘能器的共同局限是壓電材料內阻較大，因而輸出電流小，致使系統的帶載能力弱[18]。

Mann和Owens [19] 提出了一種基于電磁感應原理的可直接為負載供能的雙穩態振動俘能系統。該俘能器由可動磁體及固定磁體陣列組成，磁體間相互作用形成一個雙穩態勢能阱。與壓電式相比，電磁感應式俘能器在低頻時具有較高功率輸出，無特殊材料需求，生產成本較低，能夠滿足機械工程領域大規模應用需求。目前，關于電磁感應式多穩態振動俘能器的研究工作較少，對基于電磁感應原理的多穩態振動俘能系統特性了解不足。此外，無線傳感網絡監測用電子電路或傳感器通常需要10?50 mA的輸入電流，10?200 mW的功耗，較高的電流和功耗使得常規的振動俘能方式面臨較大挑戰，亟需設計研發可提供大電流和較高輸出功率的振動俘能器結構。

因此本文基于電磁感應原理設計了多穩態振動俘能系統，并開展了三穩態系統的實驗研究。本研究的主要貢獻和創新之處在于：1）提出了基于磁浮原理的電磁感應式多穩態振動俘能機制;2）建立并驗證了基于分數階阻尼的電磁感應式三穩態俘能器動力學模型;3）對所設計的三穩態俘能系統的非線性動力學行為開展實驗研究，揭示了分岔、阱間振動和混沌等現象。

1 基本原理

圖1（a）為電磁感應式三穩態振動俘能系統的物理模型。陰影矩形表示管內可動磁體，其具有如圖中兩個虛線和一個實心填充方框所示的三個穩定狀態。圖中實線矩形框表示的是固定磁體陣列。為使俘能系統產生含三穩態勢能阱回復力的勢能函數，外部固定磁體陣列中磁體數量、磁極方向以及排布位置設計為可調結構。線圈位于可動磁體與固定磁體陣列之間。因此，通過一個雙層同心管結構（線圈固定到內管;靜止磁體陣列固定于外管）解決線圈及靜止磁體陣列的固定問題。

圖1（b）為系統的力學模型。電感元件（即線圈）在電流流過時將電能存儲在磁場中，它充當記憶元件并可保持流經的電流。根據楞次定律，感應電流具有這樣的方向，即感應電流的磁場總要阻礙引起感應電流的磁通量的變化，亦即感應電流的效果總是反抗引起感應電流的原因。這就解釋了電磁感應能量收集器中的阻尼力的成因，因此合成的阻尼力可以用分數階微積分來描述。采用基爾霍夫電壓定律可以建立系統的等效電路模型，如圖1（c）所示。

為回復力勢能，， 是穩定平衡點，而為不穩定平衡點。是多項式最大階數項的系數，當時，多穩態勢能函數是實際存在的;而當時，系統是不可實現的。采用KB平均法來求解電磁感應式三穩態振動俘能系統的動力學模型。

圖2是電磁感應式三穩態振動俘能系統在三穩態配置下的回復力和回復力勢能曲線。外部靜止磁體與內部懸浮可動磁體之間的相互作用引起的非線性回復力由Maxwell應力張量法計算得到，這種方法在前期研究工作中已經得到驗證[22]。可以看出，回復力具有明顯的非線性特征，并且三穩態系統在三個穩態之間進行切換。該系統共有5個平衡點（即回復力方程的5個根），包括3個穩定平衡點和2個不穩定平衡點。

2 實驗研究

所設計的電磁感應式三穩態俘能器采用雙層同心管結構，外部靜止磁體陣列通過兩鋁套管與外部聚甲基丙烯酸甲酯管（PMMA管，Ф55 mm×Ф49 mm）連接。可動懸浮磁體被放置在內部PMMA管（Ф35 mm×Ф30 mm）內，通過調整磁極方向使其在兩端部固定磁體磁斥力作用下懸浮于內部PMMA管內。內管中的懸浮磁體與內管壁之間的徑向間隙采用一圈銅珠填充，銅珠的滾動運動可以大幅降低摩擦力，保證可動磁體可沿管的軸向平滑運動。銅珠的尺寸為Φ4 mm。通過調整外部固定磁體與懸浮磁體的相對幾何位置關系，可以改變回復力勢能函數的形狀，并構建三穩態回復力勢能函數。

三穩態俘能器振動測試布置如圖3所示。采用ODV100?400（M&T HORIZON）激光位移計測量可動磁體沿套管的軸向位移。激光位移傳感器固定于三腳架并采用直流穩壓電源供電。為消除重力影響，將三穩態俘能器軸向沿水平方向固定于振動實驗臺上。參照IEC 60068?2?6 [23]振動測試規范，進行了掃頻測試。將靈敏度為9.71 mV/g 的壓電加速度計（IEPE）固定于振動實驗臺，通過反饋信號實現對振動激勵的控制。

圖4為系統的實驗布置示意圖，內部PMMA管中的懸浮可動磁體（紅色虛線框所示）與輕木桿連接，管的左右兩端分別固定有圓環形靜止磁體（藍色虛線框所示），輕木桿從左邊圓環形磁體穿出，激光位移計照射出的光束投在木桿中心，進而探測懸浮磁體的實時運動位移。外部靜止磁體（綠色虛線框所示）固定于外部PMMA管上，與內部靜止磁體一起建立起磁約束勢能，在外部振動激勵下，可動懸浮磁體在勢能的約束下進行非線性振動。三穩態電磁俘能系統的實驗參數如表1所示。

將采樣頻率為20000 樣本/s的示波器（Tektronics DPO4014）的電壓探頭與俘能器輸出端及負載電阻相連，形成閉合回路。示波器采樣數據存儲于本地計算機硬盤中以供后續分析。示波器被用作數據采集設備，并與裝有Labview SignalExpress軟件的便攜電腦相連，以激活觸發/記錄模式，實現數據的連續采集。

3 結果討論

掃頻結果如圖5所示，青色線分別表示為可動磁體位移和電流的時間序列，黑色點表示頻閃采樣點。將可動磁體的位移以及回路中的電流的閃頻采樣點（按照激勵頻率）疊加到相應的時間序列上。激勵頻率可以表示為時間的函數

為掃頻初始頻率，為掃頻速率。初始頻率 Hz， 掃頻速率（即頻率每5 min增加1倍，掃頻頻率從5 Hz到10 Hz需要5 min，從10 Hz到20 Hz同樣也需要5 min）。示波器采樣頻率為200000 樣本/s，即采樣間隔s。時間序列顯示了在不同激勵頻率下磁體的位移幅值及三穩態俘能系統的電流輸出幅值。按照的序列差對基于示波器采樣數據進行頻閃采樣，可以反映在不同激勵頻率下電磁感應式三穩態振動俘能系統響應的周期特性。

所設計的電磁式三穩態振動俘能系統在工作過程中會出現阱內振動、混沌及阱間高能態軌道等多種動力學行為，并隨激勵條件的改變而相互轉化，如圖5所示。電磁感應式三穩態俘能系統在掃頻實驗中經歷一系列的狀態變化：阱內周期運動→混沌運動→阱間運動→混沌運動→阱間運動→阱內周期運動。

在掃頻時隨著激勵頻率增加，振子先在初始平衡點附近運動，系統表現為每個強迫運動周期內的單沖程阱內運動（如截面A?A所示）。在特定的激勵頻率下，短時內系統發生改變，進入混沌狀態（如截面B?B所示），隨后進入阱間運動即高能態軌道狀態，龐加萊截面及相圖如截面C?C中所示。隨著激勵頻率的進一步增加，電磁感應式三穩態俘能系統在一個較長的時間段內表現為混沌狀態，其特點是振子從原有勢能軌道逃逸，在區域界線內不確定地出現。一定頻率下，系統返回阱間運動即高能態軌道狀態，如E?E截面相圖所示。當激勵頻率超過一定范圍后，系統將圍繞一特征平衡點做周期振動，如截面F?F所示。橫截面C?C和E?E所示的高能態軌道運動都表現出了異宿分岔，即兩個不相鄰勢能阱之間的運動，但兩種狀態相圖的形狀具有一定差異。前者具有與局部穩定極限環相交織的高能態軌道運動，表明振子在沿高能態軌道運動時會被局部極限環吸引，隨后擺脫局部吸引子，繼續阱間運動;而后者的特點是啞鈴形軌道，表現為持續阱間振動。掃頻過程中，特定頻率下振子位移幅值以及電流幅值顯著，說明阱間高能態軌道和混沌運動可以顯著增加激勵周期內的振動俘能器的輸出電流和能量。

基于電磁感應原理的三穩態俘能系統的分數階阻尼模型仿真計算結果如圖6（a），7（a），8（a）所示。其中每幅圖均包括兩個子圖：位移?速度相圖和時域響應圖。模型參數在表1中列出，其中阻尼Cdamping=0.2 N·s/m，電磁耦合系數?=3.5 A·s/m，阻尼系數，為系統的臨界阻尼。為動力學模型的關鍵參數，本文借鑒文獻[12]中的遺傳算法，基于實驗測試數據進行阻尼系數的參數辨識。

圖6為電磁式三穩態振動俘能系統阱內運動的結果，可動磁體在平衡點附近運動，三穩態俘能系統表現為平衡點附近的阱內運動。利用分數階阻尼模擬換能器工作時的電磁阻尼力，建立磁浮式三穩態俘能器數學模型，并進行數學仿真。取分數階導數的階數為q=0.95時仿真結果（圖6（a））與實驗結果（圖6（b））吻合較好，因此認為利用所建立的基于分數階阻尼所建立的數學模型可以對速度幅值、平衡點位置、相圖以及時域響應作出較好估計。從相圖中可以看出系統圍繞著一個穩定平衡點進行穩定極限環運動。

圖7是三穩態俘能系統在混沌運動下的結果。由于磁相互作用引起的跳躍現象，三穩態俘能系統在三個穩態之間不斷地切換。將龐加萊截面繪制于相圖上，可看到阱間的非周期運動。從仿真結果（圖7（a））和實驗測試結果（圖7（b））可以看出混沌狀態下振子運動軌道表現為一系列離散的點。這里取分數階導數的階數為q=0.95。

圖8是三穩態俘能系統的阱間運動結果。振子從勢能阱中逃逸，形成阱間振動。相圖具有啞鈴形軌道特征，表明系統保持持續阱間振動。仿真結果（圖8（a））與實驗測試結果（圖8（b））匹配較好，速度幅值、平衡點位置、相圖、龐加萊截面以及時間響應都可以用計算模型得到很好的估計。同樣這里取分數階導數的階數為q=0.95。

圖9顯示的是電磁式三穩態振動俘能系統在掃頻測試過程中的功率輸出。對于所設計的電磁感應式三穩態振動俘能系統，相比于阱內周期運動，阱間運動具有更大機械運動沖程，功率輸出明顯提高。因此通過系統設計，實現三穩態振動俘能系統高能態阱間運動，可顯著提高振動俘能系統的輸出電流。與傳統的線性系統相比，電磁感應式非線性三穩態振動俘能系統可在更寬的頻帶范圍內實現能量捕獲。

4 結 論

本文提出了基于電磁感應原理的三穩態振動俘能系統，建立了基于分數階阻尼的電磁感應式三穩態振動俘能系統的動力學模型，開展了非線性振動特性的實驗研究，主要結論如下：

（1）三穩態電磁式振動俘能系統展現出混沌、分岔及高能態軌道運動等復雜的非線性動力學行為。實驗研究揭示了動態分岔、勢能阱逃逸、高能態軌道、異宿分岔和混沌運動現象，且各種狀態之間存在相互轉化。

（2）分數階微積分可用于描述電磁感應式俘能器的阻尼力機制，KB平均法可用于求解三穩態振動俘能系統的動力學模型。采用相圖、龐加萊截面及分岔圖可有效刻畫三穩態電磁俘能系統的非線性振動特性。

（3）可利用多穩態電磁俘能系統的非線性振動特性有效拓寬能量收集頻帶。與基于壓電材料的非線性俘能系統相比，電磁感應式多穩態俘能系統可以實現較大的電流和功率輸出，具有廣闊應用前景。

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