基于虛擬軸的蝸桿砂輪磨齒機聯動軸誤差等效補償方法*

何 坤 何曉虎

(重慶工商大學制造裝備機構設計與控制重慶市重點實驗室，重慶 400067)

隨著現代機床加工技術的發展，誤差補償技術已成為精密加工技術的重要支撐[1-2]。為了提高機床加工精度，最初使用的是誤差預防技術，通過提高機床硬件的制造精度減少加工誤差，成本高且提升難度大。而誤差補償技術是通過人工制造新的誤差來補償加工誤差，不僅成本低廉，且實施難度較低，因此在現代機床加工中應用廣泛。

齒輪高效加工技術主要是采用嚙合原理進行展成包絡加工，在展成運動過程中必須保證刀具與齒輪具有高精度嚙合關系，構成展成聯動關系。數控制齒機床嚙合關系的實現與普通數控機床不同，普通數控機床各軸按給定的位移-時間函數變化，而數控制齒機床工件軸需要與其他給定了位移-時間函數的軸聯動，即工件軸位移要隨其他軸位移的改變而改變。從控制工程觀點看，普通數控機床屬于程序控制，而數控制齒機床還包含有跟隨控制。數控制齒機床的跟隨控制功能是由電子齒輪箱實現，與復雜、笨重、傳動比固定且精度保持性不高的實體齒輪箱不同，電子齒輪箱實質為一個軟件模塊。啟用電子齒輪箱后，因限于其跟隨控制特點，無法實現某單一運動軸的主動控制。因而，傳統程序控制模式下的軸誤差補償方法——疊加指令法[3-4]，無法用于聯動軸的誤差補償。任永強等[5]基于數控系統坐標系的偏移功能，研制了滿足實際要求的誤差補償系統，但該方法實施條件苛刻，需要提供數控系統最高權限對底層代碼進行更改，操作難度極大。

針對蝸桿砂輪磨齒機的聯動軸誤差補償難題，提出了一種基于虛擬軸的聯動軸誤差等效補償方法，建立等效補償模型，利用虛擬軸的理論運動帶動跟隨軸完成對聯動軸誤差的補償。不需要增加任何外部硬件設施，降低了補償難度及成本。

1 增設虛擬軸的電子齒輪箱模型

1.1 電子齒輪箱虛擬軸的提出

圖1為蝸桿砂輪磨齒機示意圖，該機床為10軸5聯動數控磨齒機，機床的主要運動軸包括3個直線軸(X、Y、Z軸)和3個旋轉軸(A、B、C軸)。其中3個直線軸用于調整砂輪的空間坐標位置，A軸用于調整蝸桿砂輪的安裝角，B軸為蝸桿砂輪旋轉主軸，C軸為工件旋轉軸。各軸能夠獨立驅動，亦能夠根據需要利用電子齒輪箱實現多軸的聯動。蝸桿砂輪磨齒過程中，共需3個嚙合聯動運動：①蝸桿砂輪與齒輪配合旋轉的展成運動，為B軸與C軸的聯動(如圖2所示)；②蝸桿砂輪沿Z軸方向的豎直進給運動與齒輪的附加轉動，為Z軸與C軸的聯動；③蝸桿砂輪沿Y軸方向的移動與齒輪的附加轉動，為Y軸與C軸的聯動。所有的聯動關系都是通過電子齒輪箱實現，電子齒輪箱中的聯動軸根據驅動方式的不同分為主動軸和跟隨軸，跟隨軸有且只能有1個(C軸)，3個主動軸(X、Y、B軸)分別根據各自與跟隨軸的聯動系數驅動跟隨軸進行運動，從而構成聯動關系。通過數控編程設定好C軸與3個主動軸間的聯動系數后，蝸桿砂輪磨削的電子齒輪箱即設定完成，此時不能對電子齒輪箱中的任一主動軸進行單獨控制，且不能對跟隨軸進行主動控制，即聯動軸的誤差不能直接進行補償。

針對電子齒輪箱中聯動軸的誤差補償問題，在數控系統中定義一根虛擬軸(SIM1軸)，區別于典型的機床運動軸，虛擬軸沒有特定的伺服驅動裝置與之相連，但可通過數控編程控制進行理論運動。利用虛擬軸不需要實際運動軸的特點，將虛擬軸作為理論聯動軸寫入電子齒輪箱中，通過建立等效誤差換算模型將聯動軸的誤差映射至虛擬軸上，利用虛擬軸的理論運動帶動跟隨軸實現誤差的等效補償。

1.2 增設虛擬軸的電子齒輪箱模型

圖3為帶有SIM1軸的電子齒輪箱聯動模型，其中增設的SIM1軸作為主動軸，其跟隨軸亦為C軸。構建聯動模型的重點是計算聯動系數，根據蝸桿砂輪磨齒的連續展成嚙合原理，建立各主動軸與跟隨軸的運動關系，推導出對應的聯動系數。

(1)主動軸Y、Z、B軸與跟隨軸之間的聯動系數

(1)

式中：SYC為Y軸與C軸的聯動系數，β1為刀具螺旋角，td為刀具的分度圓直徑，tz為刀具頭數，gz為被加工齒輪齒數。

(2)

式中：SZC為Z軸與C軸的聯動系數，為齒輪螺旋角，gd為齒輪的分度圓直徑。

(3)

式中：SBC為B軸與C軸的聯動系數。

(2)主動軸SIM1軸與跟隨軸之間的聯動系數

因為虛擬軸不需要特定的伺服驅動裝置與之相連，只可編程控制其進行理論運動。為簡化后續的等效誤差換算模型，直接將SIM1軸增設在跟隨軸C軸上，由SIM1軸帶動C軸旋轉，解決跟隨軸不能直接驅動的問題。

SSC=1

(4)

式中：SSC表示SIM1軸與C軸的聯動系數。

2 聯動軸誤差等效補償方法

根據電子齒輪箱聯動關系，將各聯動軸的誤差補償量等效換算為虛擬軸的運動量，再利用虛擬軸的理論運動帶動跟隨軸實現聯動軸的誤差補償。

2.1 聯動軸補償量換算模型

因增設的SIM1軸為虛擬理論運動軸，不存在運動誤差。有運動誤差的聯動軸包括：兩個直線運動軸(Y、Z軸)和兩個旋轉運動軸(B、C軸)，利用聯動關系將各軸的運動補償量換算為虛擬軸的等效補償量。由于SIM1軸與跟隨軸C軸的聯動系數為1，因此可直接利用式(1)～(3)將主動軸(Y、Z、B軸)的補償量換算為SIM1軸的等效補償量，再與C軸的補償量線性疊加為最終的等效補償量。

δSIM=δYSYC+δZSZC+δBSBC+δC

(5)

式中：δSIM為SIM1軸的等效補償量，δY、δZ、δB、δC分別為Y、Z、B、C軸的誤差補償量。

2.2 補償點規劃及補償實現機理

蝸桿砂輪磨齒機的主要進給運動為砂輪沿Z軸方向的豎直沖程運動(如圖4所示)，磨削常規齒輪時該運動為連續的直線運動，但磨削齒向修形齒輪時該運動軌跡由一系列樣條點構成(如圖5所示)。因此可直接將沖程樣條點作為聯動軸誤差的補償位置，在樣條曲線軌跡的數控程序中，加入SIM1軸的等效誤差補償量實現聯動軸的誤差補償。而針對常規齒輪磨削過程，可將連續直線運動軌跡等距離離散為一系列樣條點進行誤差補償。

數控程序中的樣條曲線運動軌跡均由數控系統計算后自動生成，將聯動軸誤差計算模型及等效補償量換算模型寫入數控系統的人機操作界面中，自動生成帶SIM1軸等效補償量的磨削沖程樣條曲線。磨削齒輪時調用該樣條程序，利用SIM1軸的理論運動帶動C軸完成對聯動軸的誤差補償，其實現原理如圖6所示。

3 誤差補償實驗

3.1 誤差補償實驗方案

為驗證該補償方法的有效性，在YW7232數控蝸桿砂輪磨齒機(圖1所示)上進行了機床聯動軸誤差的補償實驗。被加工齒輪參數為：模數2.25 mm，齒數71，齒面壓力角20°，螺旋角21.8°，齒寬24 mm。

主要實驗步驟包括：

(1)根據實驗需求，采用現有的數控機床誤差建模理論[6-8]，建立蝸桿砂輪磨齒機的綜合誤差模型，并進行相應的誤差參數辨識[9-10]。

(2)在數控系統中增設SIM1軸，并完成軸的系統參數設定，建立圖3所示的電子齒輪箱聯動模型。

(3)利用電子齒輪箱中的聯動系數，建立聯動軸補償量換算模型。

(4)將所建立的綜合誤差模型及聯動軸補償量換算模型寫入數控系統人機界面程序中，自動生成帶SIM1軸等效補償量的磨削沖程樣條曲線。圖7為帶聯動軸誤差等效補償功能的人機界面程序。

(5)在齒輪磨削過程中調用帶誤差補償的磨削沖程樣條曲線數控程序，完成對齒輪的磨削加工。

3.2 補償結果分析

為確保補償結果的準確性而并非偶然性，分別從兩個方面對補償結果進行分析。一是通過對加工后的齒輪進行測量，直接反映出補償效果；二是通過對機床軸聯動誤差的測量間接反映出補償效果。

使用Klingenberg P65齒輪檢測中心對誤差補償前后加工的齒輪分別進行測量。在齒輪圓周上選取序號為1、20、40、60號齒槽進行測量，并分別測量同一齒槽的左右齒面，測量項目包括：齒廓偏差、齒向偏差、齒距累積誤差，檢測結果如圖8所示。分析誤差補償前后齒輪檢測的各項數值，求出其平均值，并估算其精度等級(如表1所示)。通過對比補償前后的齒輪測量結果可知，采用虛擬軸的等效誤差補償方法效果明顯。

使用RENISHAW型號為QC10的球桿儀對誤差補償前后的磨齒機床進行誤差測量，其分辨率可達0.1 μm，測量范圍為±1 mm，精度可達±0.5 μm。試驗時在機床工作臺上進行ZY平面誤差測量，測量參數為：

表1 齒輪檢測結果分析

測量半徑100 mm，進給率1 000 mm/min，采樣速率41.667 Hz。其測量結果如圖9所示，其中圖9a和b是補償前機床的測量結果，每格為10 μm；圖9c和d是補償后機床測量結果，每格為2 μm。圖9a和c是運行值；圖9b和d是擬合值。

根據運行數據檢測及擬合分析，得到補償前后機床圓度和位置誤差的變化量(如表2所示)。對比補償前后的機床檢測結果可以看出，基于虛擬軸的蝸桿砂輪磨齒機聯動軸誤差等效補償方法效果明顯，可有效地提高機床的加工精度。

表2 機床檢測結果分析

4 結語

(1)本文提出了一種基于虛擬軸的蝸桿砂輪磨齒機聯動軸誤差等效補償方法。在機床的數控系統中增設一根虛擬軸(SIM1軸)為主動軸，根據電子齒輪箱中的聯動關系建立聯動軸誤差的等效補償模型，利用虛擬軸的理論運動實現對聯動軸誤差的補償。

(2)在YW7232數控蝸桿砂輪磨齒機上進行了誤差補償實驗，通過對加工后齒輪精度的測量，顯示誤差補償后齒輪的加工精度提升了1級；通過對機床聯動軸運動精度的檢測，顯示誤差補償后機床的圓度及位置誤差分別由50.2 μm、196.5 μm減小至14.1 μm、98.2 μm，驗證了該方法對聯動軸誤差的補償效果。

(3)本文的等效補償換算模型可根據機床結構及加工工藝的變化而改變，具有很強的擴展性，因此本方法也適用于其他機床的聯動軸誤差補償。