小側隙薄輻板齒輪的嚙合剛度與準靜態傳遞誤差計算方法

曹學晨 陸鳳霞 吳霞 施蓓蓓

摘要：側隙補償是高精密齒輪傳動領域的研究熱點，側隙變大會導致傳動穩定性變差，而過小的側隙會導致齒輪非工作面發生干涉。結合航空薄輻板齒輪的特點，根據輪系傳動鏈中的小側隙與傳動精度間的幾何關系，提出了考慮側隙的齒輪結構參數計算方法，基于有限元原理建立了小側隙薄輻板齒輪的嚙合剛度計算方法，通過正交試驗法分析了齒輪參數對嚙合剛度的影響并構建了考慮側隙與輻板參數變化的準靜態傳遞誤差計算公式，為小側隙薄輻板齒輪副的剛度及準靜態傳遞誤差計算提供了技術依據。

關鍵詞：側隙；薄輻板；有限元；嚙合剛度；正交試驗；準靜態傳遞誤差

中圖分類號：TH111文獻標識碼：ADOI：10.19452/j.issn1007-5453.2021.07.008

航空作動器是飛機飛行控制的關鍵部件[1-2]，常采用“旋轉電機+機械變換”的傳動形式[3-4]，其長傳動鏈傳動特點對齒輪側隙及輻板參數設計提出了極高的要求，薄輻板結構引起的齒輪剛度下降及齒側間隙導致的傳動誤差問題均需開展深入研究。

圍繞小側隙及薄輻板結構齒輪，有學者應用商用有限元軟件[5]對其進行了分析，陶棟材[6]、江波[7]等研究了薄輻板結構對嚙合剛度的影響。Maruni？[8-9]等通過有限元法進行齒輪網格劃分，研究了輻板厚度對齒根應力及輪緣應力的影響。Br？？ek等[10]分析了齒向鍵槽方向轉動對齒根應力的影響并設計了相關試驗。Li[11-13]對齒面接觸應力、齒根彎曲應力以及輪緣與輻板的接合應力進行了分析。Liu等[14]以含形位誤差的直齒圓柱齒輪為對象，對加入側隙后的齒輪進行了剛度分析。Yu等[15]提出了基于外部平行軸齒輪傳動的雙偏心模型，發現了偏心誤差對傳動誤差的影響規律。張磊磊等[16]發現側隙在穩定旋向齒輪副中產生的影響較小，但卻能直接導致齒輪副回差。Park[17]對齒輪時變嚙合剛度進行了分析，發現側隙增大亦會引起嚙合力增大。

目前尚未見到以小側隙薄腹板齒輪為研究對象，從齒輪嚙合原理與有限元載荷分布原理出發，對其嚙合剛度計算方法的深入研究。本文針對航空作動器精密傳動需求，推導了計入側隙后的齒輪壓力角與重合度的計算方法，依據有限元原理建立了小側隙薄輻板齒輪的嚙合剛度計算方法，分析了側隙量、輻板厚度、輪緣厚度與齒寬等結構參數對嚙合剛度的影響規律并構建了考慮側隙與輻板參數變化的準靜態傳遞誤差計算模型，分析了各結構參數對傳動誤差的影響。

1計入側隙的齒輪結構參數計算

2基于有限元原理的小側隙薄輻板齒輪嚙合剛度計算

本文采用基于有限元原理自主開發的程序[18-19]對小側隙薄輻板齒輪進行了幾何建模與嚙合仿真。構建輻板模型時，輻板厚度C一般取0.2～0.3的齒寬，且通常不小于10mm，輪緣厚度δ通常為2.3～6.8倍法向模數[20]。齒輪剖面圖如圖5所示。

有限元建模中常采用四面體常應變單元、八節點六面體等參單元、二十節點六面體等參單元、非協調單元等，針對小側隙薄輻板的結構形式，本文采用八節點非協調QMM6單元（見圖6），包括8個頂點節點與三個內部節點，在模型產生的畸變較大時，該單元仍可保持較高的計算精度，采用QMM6單元構建的薄輻板齒輪節點模型如圖7所示。

以式（3）的漸開線方程為參照劃分網格，對所有單元的網格節點進行編號，并與相應節點的坐標值對應，將單元剛度矩陣對照單元編號矩陣進行組裝，得到小側隙薄輻板齒輪的總剛度矩陣。

由于總剛度矩陣缺乏邊界約束條件，則為半正定矩陣，若對此剛度方程進行求解將無法得到定解，因此需按實際齒輪約束情況對有限元模型設定合理的邊界條件。圖8為對薄輻板齒輪邊界施加的約束，通過置大數法處理約束，使得總剛度矩陣轉化為正定矩陣，最后通過在嚙合齒面施加單位載荷以計算得到齒面嚙合剛度。

在求得齒面離散節點剛度矩陣后，采用上述方法可獲得齒輪從嚙入到嚙出過程中所有接觸線對應的嚙合剛度。但由于有限元法所獲得的接觸線數目有限，因此要獲得整個嚙合過程中的嚙合剛度變化曲線，還需對離散接觸線對應的嚙合剛度進行擬合。

3側隙及輻板對齒輪嚙合剛度的影響分析

為了避免齒對嚙合干涉以及保證齒面充分潤滑，常通過去除齒面材料的方式預留齒側間隙；而輻板厚度對嚙合剛度影響較小，因此分別討論側隙及輻板厚度對嚙合剛度的影響規律。

3.1側隙對嚙合剛度的影響分析

側隙的加入會導致嚙合位置壓力角以及齒間載荷分布產生變化，本文選取的齒輪副算例參數見表1。

從圖9可以發現，側隙在由0增大至0.5mm時，齒面最大嚙合剛度由1.225×106N/mm逐漸減小至1.192×106N/mm。側隙量對最大剛度的影響系數為側隙每增加1mm，剛度下降6.6×104N/mm。

為驗證本文小側隙薄輻板齒輪有限元計算程序的精確性，采用商用軟件對小側隙薄輻板齒輪嚙合剛度進行計算。表2為自主開發的有限元程序與Romax計算結果的對比，由于本文采用基于有限元原理的方法計算齒面剛度，相對于部分商用軟件在考慮輻板等結構參數計算剛度方面更具有準確性，尤其當輻板厚度、側隙等參數較小時。

3.2輻板對嚙合剛度的影響分析

設計正交試驗以獲得輻板厚度、齒寬與輪緣厚度對齒輪嚙合剛度的影響。表3為正交試驗數據，試驗有三個因子，8個試驗。為得到精確的分析結果，試驗中設置了兩個仿行，總試驗數為22次。其中輻板厚度的試驗范圍為5～ 50mm，齒寬試驗范圍為5～30mm，并且認為算例的實際齒寬為輻板厚度與齒寬之和，輪緣厚度試驗范圍為5～50mm。從圖10的分析可知，對齒面嚙合剛度影響程度由大至小的單因素結構參數分別為輻板厚度、齒寬與輪緣厚度，對應的每單位厚度變化對最大嚙合剛度的影響分別為0.0213×106，0.0199×106，0.0036×106。

從圖11的分析可發現，齒寬越大，輪緣厚度對齒面最大嚙合剛度的增益效果最為顯著；輪緣厚度越大，輻板厚度的增加對齒面最大剛度呈現微小的增加趨勢；輪緣厚度越大，齒寬的增加對齒面最大嚙合剛度幾乎不產生影響。

綜上，對齒面最大嚙合剛度影響最顯著的是輻板厚度，齒寬次之，輪緣最小。

3.3側隙對齒間載荷分配的影響分析

由于側隙的加入，重合度εj減小，單齒嚙合區域增大，齒間載荷分配也會發生變化，如圖12所示。載荷分配發生變化的幾何原因是側隙增加而導致齒輪需要比無側隙多轉過一個角度，從而造成嚙合角的變化。

采用表1的齒輪參數作為算例，由于載荷分配與齒面綜合嚙合剛度以及齒輪幾何結構有關，這里可以直接推導出對于漸開線直齒輪較為通用的齒面載荷分配受側隙變化影響大小，即側隙量每增加1mm，齒間載荷分配中的單齒嚙合段即載荷分配為100%的部分增加了26%。

3.4多參數影響的薄輻板齒輪準靜態傳遞誤差分析

側隙量的增加導致QSTE峰值以及重合度的增加，由圖13可以直觀看出QSTE最大值變大的同時，誤差峰值時間變長。齒寬大小對齒面剛度的影響與輻板厚度相近，但是齒寬的減小會使得在總嚙合力不變的情況下，單位齒寬上的載荷變大，齒根彎曲與齒面變形相應變大，導致QSTE增大。

QSTE的產生源于齒面彈性變形與齒根彎曲應力等，由于側隙與齒輪結構參數的影響，齒面剛度下降，齒面接觸變形與齒根彎曲程度增加。尤其當主動輪接觸位置在齒頂位置時，齒根彎曲程度變大，QSTE峰值變大，嚙出時間延后。這就解釋了QSTE曲線在側隙加入后，右側QSTE增量增大，峰值時間延長。

4結束語

本文從齒輪嚙合原理與有限元理論出發，建立了小側隙薄輻板齒輪嚙合剛度與準靜態傳遞誤差的計算方法，主要結論包括：

（1）推導了計入側隙的齒輪嚙合剛度計算方法，計算并分析了側隙參數對剛度的影響規律，隨著側隙的增加，嚙合點向齒根偏移，重合度下降，齒輪剛度逐漸減小。

（2）依據有限元原理建立了小側隙薄輻板齒輪嚙合剛度計算方法并進行了驗證，通過正交試驗發現對齒面嚙合剛度影響程度由大至小的結構參數分別為側隙、輻板厚度、齒寬與輪緣厚度。

（3）構建了考慮側隙與輻板參數的準靜態傳遞誤差計算公式，比較了各參數對準靜態傳遞誤差的影響，影響程度由大至小為齒寬、側隙、輻板厚度與輪緣厚度，為進一步的動力學分析奠定了基礎。

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Calculation Method of Meshing Stiffness and Quasi-static Transmission Error of Small Backlash and Thin-Spoke Gear

Cao Xuechen1，Lu Fengxia1，Wu Xia2，Shi Beibei2

1. National Key Laboratory of Science and Technology on Helicopter Transmission，Nanjing University of Aeronautics and Astronautics，Nanjing 210016，China

2. Aviation Key Laboratory of Science and Technology on Aero Electromechanical System Integration，Nanjing 210001，China

Abstract： Backlash compensation is a research hotspot in the field of high precision gear transmission. Large backlash would lead to poor transmission stability， while small backlash would result in non-working face interference of the gear. Combined with the characteristics of the thin-spoke aviation gear， structure parameter calculation method is proposed according to geometric relation of small backlash and transmission accuracy of chain. Based on finite element theory， the meshing stiffness model of small backlash and thin-spoke gear is established. The effects of parameters on meshing stiffness are analyzed through orthogonal experiment， furthermore meshing stiffness calculation model is obtained using radial basis function neural network which would provide technical support for rapid perdiction of small backlash and thin-spoke gear.

Key Words： backlash； thin-spoke； finite element； meshing stiffness； orthogonal experiment； quasi-static transfer error