“綜合與實(shí)踐”在青島初中學(xué)業(yè)水平考試中的考查分析

張清泉

（青島廣雅中學(xué)，山東青島 266000）

“綜合與實(shí)踐”作為《課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》教學(xué)內(nèi)容中重要的一個(gè)部分，不僅反映數(shù)學(xué)課程和教學(xué)改革的要求，也為學(xué)生提供了一種通過(guò)綜合、實(shí)踐的過(guò)程去做數(shù)學(xué)、學(xué)數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)的機(jī)會(huì)，尤其是作為數(shù)學(xué)課程的重要學(xué)習(xí)領(lǐng)域，它還強(qiáng)調(diào)以問(wèn)題為載體，讓學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中，獲得并積累大量的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，是實(shí)現(xiàn)課程總目標(biāo)“四基”中的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的主要途徑之一[1]。因此，新課改以來(lái)，青島市一直將“綜合與實(shí)踐” 作為學(xué)生學(xué)習(xí)的重要一環(huán)，在青島每年的初中學(xué)業(yè)水平考試中，“綜合與實(shí)踐”也都是考查的重點(diǎn)。

1 考查目的

“綜合與實(shí)踐”部分，既是學(xué)生所學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能、 思想與方法在解決一些數(shù)學(xué)問(wèn)題中的綜合運(yùn)用，即“數(shù)學(xué)探究”；也是這些知識(shí)與技能、思想與方法在解決生活和社會(huì)問(wèn)題中的綜合運(yùn)用，即“數(shù)學(xué)建模”。因此，通過(guò)“綜合與實(shí)踐”內(nèi)容的考查，可以對(duì)以下幾點(diǎn)有一個(gè)較為直觀的評(píng)價(jià)。

（1）學(xué)生是否具備良好的數(shù)學(xué)觀和數(shù)學(xué)運(yùn)用意識(shí)；（2）學(xué)生是否形成了相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的聯(lián)結(jié)，并具備綜合運(yùn)用的能力；（3）學(xué)生是否具備解決“綜合與實(shí)踐”問(wèn)題所需的探索性的、研究性的學(xué)習(xí)能力和研究能力；（4）學(xué)生是否積累了足夠的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。如果我們把通過(guò)“綜合與實(shí)踐”學(xué)習(xí)得到的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的過(guò)程細(xì)化，可以發(fā)現(xiàn)它應(yīng)該包含“學(xué)數(shù)學(xué)”“做數(shù)學(xué)”“用數(shù)學(xué)”“再創(chuàng)造”4 個(gè)層次，對(duì)這部分內(nèi)容的考查，可以很好地反映出學(xué)生目前經(jīng)驗(yàn)積累所達(dá)到的層次[2]。

同時(shí)，通過(guò)“綜合與實(shí)踐”的考查，可以引導(dǎo)教師在日常的教學(xué)中，在重視四基目標(biāo)的基礎(chǔ)上，更關(guān)注教材的研究、 方法的指導(dǎo)和提供數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的實(shí)踐機(jī)會(huì)。

例1：2018年青島初中學(xué)業(yè)水平考試23 題

問(wèn)題提出： 用若干相同的一個(gè)單位長(zhǎng)度的細(xì)直木棒，按照如圖1 方式搭建一個(gè)長(zhǎng)方體框架，探究所用木棒條數(shù)的規(guī)律。

圖1 2018年青島初中學(xué)業(yè)水平考試23 題

問(wèn)題探究：

我們先從簡(jiǎn)單的問(wèn)題開始探究，從中找出解決問(wèn)題的方法。

探究一：

用若干木棒來(lái)搭建橫長(zhǎng)是m，縱長(zhǎng)是n 的矩形框架（m、n 是正整數(shù)），需要木棒的條數(shù)。

如圖①，當(dāng)m=1，n=1 時(shí)，橫放木棒為1×（1+1）條，縱放木棒為（1+1）×1 條，共需4 條；

如圖②，當(dāng)m=2，n=1 時(shí)，橫放木棒為2×（1+1）條，縱放木棒為（2+1）×1 條，共需7 條；

如圖③，當(dāng)m=2，n=2 時(shí)，橫放木棒為2×（2+1））條，縱放木棒為（2+1）×2 條，共需12 條；

如圖④，當(dāng)m=3，n=1 時(shí)，橫放木棒為3×（1+1）條，縱放木棒為（3+1）×1 條，共需10 條；

如圖⑤，當(dāng)m=3，n=2 時(shí)，橫放木棒為3×（2+1）條，縱放木棒為（3+1）×2 條，共需17 條。

問(wèn)題（一）： 當(dāng)m=4，n=2 時(shí)，共 需 木 棒____________條．

問(wèn)題（二）：當(dāng)矩形框架橫長(zhǎng)是m，縱長(zhǎng)是n 時(shí)，橫放的木棒為____________ 條；

縱放的木棒為____________ 條。

探究二：

用若干木棒來(lái)搭建橫長(zhǎng)是m，縱長(zhǎng)是n，高是s的長(zhǎng)方體框架（m、n、s 是正整數(shù)），需要木棒的條數(shù)。

如圖⑥，當(dāng)m=3，n=2，s=1 時(shí)，橫放與縱放木棒之和為[3×（2+1）+（3+1）×2]×（1+1）=34 條，豎放木棒為（3+1）×（2+1）×1=12 條，共需46 條；

如圖⑦，當(dāng)m=3，n=2，s=2 時(shí)，橫放與縱放木棒之和為[3×（2+1）+（3+1）×2]×（2+1）=51 條，豎放木棒為（3+1）×（2+1）×2=24 條，共需75 條；

如圖⑧，當(dāng)m=3，n=2，s=3 時(shí)，橫放與縱放木棒之和為[3×（2+1）+（3+1）×2]×（3+1）=68 條，豎放木棒為（3+1）×（2+1）×3=36 條，共需104 條。

問(wèn)題（三）：當(dāng)長(zhǎng)方體框架的橫長(zhǎng)是m，縱長(zhǎng)是n，高是s 時(shí)，橫放與縱放木棒條數(shù)之和為___________ 條，豎放木棒條數(shù)為___________ 條。

實(shí)際應(yīng)用： 現(xiàn)在按探究二的搭建方式搭建一個(gè)縱長(zhǎng)是2、高是4 的長(zhǎng)方體框架，總共使用了170 條木棒，則這個(gè)長(zhǎng)方體框架的橫長(zhǎng)是_________。

拓展應(yīng)用：若按照如圖2 方式搭建一個(gè)底面邊長(zhǎng)是10，高是5 的正三棱柱框架，需要木棒_____條。

圖2 拓展應(yīng)用

該題的命題立意包含：（1） 學(xué)生能通過(guò)觀察、試驗(yàn)、歸納、類比等方法進(jìn)行合情推理；（2）理解簡(jiǎn)單的數(shù)形結(jié)合思想等基本數(shù)學(xué)思想；（3）建立初步的幾何直觀，能利用圖形描述和分析問(wèn)題；（4）能夠從具體情境中抽象出數(shù)學(xué)模型，研究其變化規(guī)律，并能用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述；（5）能利用“從特殊到一般”“從一般到特殊”“轉(zhuǎn)化”等策略分析解決簡(jiǎn)單問(wèn)題；（6）結(jié)合實(shí)際情境建立模型解決問(wèn)題。由此可見，該題就是一個(gè)微型的科研過(guò)程，依托“綜合與實(shí)踐”的探究，對(duì)學(xué)生的綜合能力進(jìn)行了考查；同時(shí)，作為學(xué)業(yè)水平測(cè)試中的一道難題，學(xué)生在考試過(guò)程中，能探究的時(shí)間是極為有限的，學(xué)生想在短暫的時(shí)間內(nèi)，完成一系列的思維活動(dòng)，其思維能進(jìn)展到何種程度，取決于有多少數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)作為積累[3]。因此，該題的考查，又反映出學(xué)生基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的多少。

2 命題設(shè)計(jì)原則

2.1 依托知識(shí)，超越知識(shí)

根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)，通過(guò)義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生要獲得適應(yīng)社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。相對(duì)而言，前兩者是有形的，后兩者則是無(wú)形的，所以在學(xué)業(yè)水平測(cè)試中，對(duì)前兩者的考查容易做到，但思想的形成和經(jīng)驗(yàn)的積累卻是不容易考查的。因此，“綜合與實(shí)踐”的考查在設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng)該依托知識(shí)又超越知識(shí)，更多地指向?qū)W生能否提煉出思想方法和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是否豐富上。

2.2 依托教材，超越教材

“綜合與實(shí)踐”考題的背景，可以從學(xué)生熟悉的現(xiàn)實(shí)背景和已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，結(jié)合教材和教學(xué)內(nèi)容，確定命題主題、內(nèi)容，同時(shí)也可以從數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)之美、趣味數(shù)學(xué)等方面選擇主題。

如例1，圍繞基本的擺木棒問(wèn)題展開拓展性研究，然后從二維上升到三維，學(xué)生在探索中，不斷體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法的價(jià)值和精髓。這樣的命題，即依托教材，又超越教材，使學(xué)生的綜合能力得到了考查。

2.3 依托課堂，超越課堂

“綜合與實(shí)踐”問(wèn)題的考查，其背后是對(duì)學(xué)生是具備多少數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的考查。這些數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)來(lái)源于學(xué)生的日常學(xué)習(xí)，依托課堂活動(dòng)，但“綜合與實(shí)踐” 活動(dòng)的完整過(guò)程，往往不是課堂上能夠完成的，需要課內(nèi)外相結(jié)合。比如，有的活動(dòng)可以采用任務(wù)驅(qū)動(dòng)的形式，課堂上進(jìn)行交流合作完成任務(wù)；有的活動(dòng)則是按照“選題—開題—做題—結(jié)題”的思路，引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷“微科研”過(guò)程學(xué)會(huì)怎樣做研究[4]。這種活動(dòng)的組織實(shí)施顯然是要超越傳統(tǒng)課堂的。

3 考查形式

青島初中學(xué)業(yè)水平考試中，“綜合與實(shí)踐” 題目的編制基本都是以例1、例2 這種形式呈現(xiàn)的，簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，就是給學(xué)生呈現(xiàn)一個(gè)模擬的“微科研”過(guò)程。

3.1 題目選材——重在問(wèn)題導(dǎo)向

“綜合與實(shí)踐”是一類以數(shù)學(xué)問(wèn)題或生活中的問(wèn)題作為載體，以學(xué)生自主參與為主的學(xué)習(xí)活動(dòng)，所以考試命題的核心是問(wèn)題或問(wèn)題串。尋找好的問(wèn)題，把求解問(wèn)題的過(guò)程、 求解問(wèn)題運(yùn)用的思想方法或者拓展問(wèn)題的結(jié)論，設(shè)計(jì)成學(xué)生便于理解和參與的形式，是“綜合與實(shí)踐”命題首先考慮的。

以例1 為例，數(shù)木棒是學(xué)生非常熟悉的一個(gè)問(wèn)題，它來(lái)源于教材，又是平常學(xué)習(xí)中反復(fù)出現(xiàn)的問(wèn)題，在平面上探索木棒擺放規(guī)律還是學(xué)生曾經(jīng)利用數(shù)形結(jié)合思想解決的問(wèn)題。從探究一到探究二，從學(xué)生已經(jīng)解決的二維平面問(wèn)題發(fā)展到三維空間問(wèn)題，再到推導(dǎo)公式解決實(shí)際應(yīng)用，掌握方法解決拓展問(wèn)題，我們可以看出這是一個(gè)以問(wèn)題解決為中心的探究活動(dòng)，學(xué)生可以在解決問(wèn)題的實(shí)踐與探究過(guò)程中聯(lián)想想象、發(fā)散遷移，進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題、創(chuàng)出新策略。以此更好地對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行考查。

3.2 呈現(xiàn)方式——問(wèn)題引領(lǐng)與過(guò)程指導(dǎo)相結(jié)合

“綜合與實(shí)踐”的題目首先呈現(xiàn)給學(xué)生的應(yīng)該是某個(gè)問(wèn)題的探究過(guò)程，以問(wèn)題為紐帶，驅(qū)動(dòng)學(xué)生快速經(jīng)歷，提取信息。然后圍繞探究過(guò)程，提出問(wèn)題或引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，再設(shè)計(jì)有效問(wèn)題串啟發(fā)學(xué)生用已有的數(shù)學(xué)知識(shí)、技能、思想方法和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)去分析、解決問(wèn)題，循環(huán)往復(fù)、不斷深化。

在命題時(shí)所選問(wèn)題呈現(xiàn)出的求解過(guò)程或思想方法要利于學(xué)生理解，利于學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，并能使學(xué)生在短時(shí)間內(nèi)對(duì)問(wèn)題所體現(xiàn)的“微科研”的過(guò)程有體驗(yàn)，喚醒他們積累的類似數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，使接下來(lái)的自主探究有據(jù)可依。

學(xué)生看到問(wèn)題之后，可以通過(guò)觀察接收信息，分析與問(wèn)題相關(guān)的背景知識(shí)、相關(guān)方法、數(shù)學(xué)模型或數(shù)學(xué)工具，最后反饋、 提煉所有信息這一過(guò)程明確題意，并與學(xué)習(xí)過(guò)的相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)或模型進(jìn)行連接，從而合理的運(yùn)用題目呈現(xiàn)的解決問(wèn)題的思路或方案，通過(guò)自主探究、實(shí)驗(yàn)操作、觀察思考、推證演算等實(shí)踐操作環(huán)節(jié)解決問(wèn)題。學(xué)生在根據(jù)題目尋求解題途徑時(shí)，能否有效地獲得信息，能否依托已有知識(shí)點(diǎn)提煉出合適的方法，都反映出以往有多少類似的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，可以說(shuō)，經(jīng)驗(yàn)的多少?zèng)Q定了學(xué)生在本題中的得分多少。

4 學(xué)生解答情況

“綜合與實(shí)踐”題目在青島中考中的分值是10分，每年平均分都基本在5～6 分之間，從閱卷情況看，很少有學(xué)生會(huì)空題，這就反映了青島學(xué)生在日常學(xué)習(xí)中，都得到了參與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的機(jī)會(huì)，也通過(guò)這些活動(dòng)具備了自主探究的能力，積累了基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。同時(shí)，這道題目的區(qū)分度也非常明顯，不同層次的學(xué)生分?jǐn)?shù)差異明顯，很好地反映出對(duì)學(xué)生基本數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)多少的考查結(jié)果，正好對(duì)應(yīng)了“學(xué)數(shù)學(xué)”“做數(shù)學(xué)”“用數(shù)學(xué)”“再創(chuàng)造”4 個(gè)層次[5]。

例1 中，問(wèn)題（一）（二）正確率很高，說(shuō)明絕大部分學(xué)生探究問(wèn)題和類比歸納的能力較強(qiáng)，對(duì)于“學(xué)數(shù)學(xué)” 這個(gè)層次的經(jīng)驗(yàn)是豐富的，從學(xué)生答題情況來(lái)看，主要存在的問(wèn)題是書寫不規(guī)范。問(wèn)題（三）是在探究一的基礎(chǔ)上層次遞進(jìn)，由平面圖形過(guò)渡到立體空間，從二維上升到三維，難度增大，部分學(xué)生得分相對(duì)比較理想，通過(guò)規(guī)范的書寫，反映出這部分學(xué)生數(shù)學(xué)觀、數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)的能力較強(qiáng)，積累了足夠的“做數(shù)學(xué)”的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。但是也有不少學(xué)生或限于個(gè)人的理解能力，不能從特殊中抽象出一般的規(guī)律，部分學(xué)生即使得到一般性的規(guī)律，但在答題規(guī)范、 計(jì)算等方面出現(xiàn)問(wèn)題，如出現(xiàn)運(yùn)算符號(hào)混亂，整式乘法結(jié)果錯(cuò)誤等，反映出這部分學(xué)生“做數(shù)學(xué)”的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)相對(duì)有所欠缺，不完整[6]。

實(shí)際應(yīng)用是對(duì)問(wèn)題（三）結(jié)論的應(yīng)用，學(xué)生需要通過(guò)經(jīng)歷觀察、猜想、類比、歸納得到結(jié)論，轉(zhuǎn)化為方程，通過(guò)解方程獲得答案，雖然解方程不是這一問(wèn)的難點(diǎn)，但是在中考這樣短時(shí)間、高壓力下，不具備豐富的“微科研”全過(guò)程數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，在“用數(shù)學(xué)”這個(gè)層次就難以將探究的完整結(jié)果呈現(xiàn)出來(lái)，很多學(xué)生在此處出現(xiàn)了錯(cuò)誤。

最后的拓展應(yīng)用，得分率最低，因?yàn)樾枰^強(qiáng)的綜合運(yùn)用能力、方法遷移能力，以前沒(méi)有過(guò)類似活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，就更難突破，所以這一問(wèn)也是對(duì)學(xué)生初中三年學(xué)習(xí)中，是否曾經(jīng)有過(guò)自主探究、設(shè)問(wèn)質(zhì)疑，創(chuàng)新體驗(yàn)等數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的最好檢驗(yàn)，反映出“再創(chuàng)造”能力依然是我們今后教學(xué)要重點(diǎn)關(guān)注的一項(xiàng)能力。

5 反思

有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不能單純地依靠模仿和記憶，教師們應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生從事觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、驗(yàn)證、推理與交流、再創(chuàng)造等數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的形成與應(yīng)用的過(guò)程，從而更好地理解數(shù)學(xué)知識(shí)，發(fā)展應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的意識(shí)與能力，積累寶貴的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。在學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程中，“經(jīng)歷了過(guò)程”的“做中學(xué)”往往比“直接得知結(jié)果”的“灌輸”印象更深刻，而這種“經(jīng)歷”的經(jīng)驗(yàn)是任何講解都替代不了的。數(shù)學(xué)觀、數(shù)學(xué)運(yùn)用意識(shí)和能力、 研究能力等這些綜合素質(zhì)必須依靠平日教與學(xué)的積淀，因此在教學(xué)中，教師要為學(xué)生搭建數(shù)學(xué)活動(dòng)的平臺(tái)，提供充足的時(shí)間和空間，讓學(xué)生去經(jīng)歷活動(dòng)過(guò)程，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，不斷發(fā)現(xiàn)、提出、分析并創(chuàng)造性地解決問(wèn)題，避免出現(xiàn)為了所謂的“省時(shí)間”，用過(guò)多的講解替代學(xué)生獨(dú)立的探究，或?yàn)榱怂^的“多做練習(xí)”，用直接告知結(jié)果代替學(xué)生對(duì)定理公式產(chǎn)生過(guò)程的理解等一些舍本逐末、功利主義的做法。