圓周法平面度誤差測量與評定

趙新宇， 趙則祥， 劉如意， 任東旭， 李 彬， 席建普

(1. 中原工學院計算機學院，河南 鄭州 451191; 2. 中原工學院機電學院，河南 鄭州 451191)

0 引 言

平面度公差是高精度零件的形狀公差項目之一。依據ISO 12781：2011，平面輪廓的測量方案主要有矩形柵格法、極坐標法、三角形柵格法、米字形柵格法、平行線柵格法[1]。上述測量方案中，極坐標法適用于圓平面輪廓的測量，其他則是矩形平面輪廓的測量方案。

Balázs Mikó[2]利用坐標測量機研究了不同測量方案對銑削平面平面度誤差測量的影響以及最佳測量點數問題；Nermina Z U等[3]研究了在坐標測量機上采用不同的測頭和不同的采樣方案對平面度誤差測量的影響；Yang Y等[4]研究了基于自適應混合的教育學優化算法在平面度誤差評定中的應用，提高了平面度誤差最小區域法的評定精度；Zhang Yu 等[5]設計了微型零件的平面度精密測量裝置，并進行了平面度誤差的最小二乘評定；Zha C Y 等[6]設計了基于激光點的大平面平面度誤差的測量系統，利用該系統對大平面平面度誤差進行了測量與評定。

對于高精度的圓平面，如回轉工作臺臺面、晶圓平面、回轉件的端面以及作為相關要求的圓平面基準等，可在圓（柱）度儀上用極坐標法對圓平面的輪廓進行測量。極坐標法有圓周法、射線法等測量方案，圓周法測量方案測頭由圓（柱）度儀橫臂移動到所設定的圓周上，工作臺在每個設定的圓周上回轉一周，在該圓周上測得相應的z向輪廓值；射線法測量方案是將工作臺回轉至所設定的角度，工作臺停止轉動，橫梁帶動測頭沿射線徑向移動，在該射線上測得相應z向輪廓值。不管是采用圓周法還是射線法的圓平面輪廓提取方案，均可采用最小二乘法[7]和最小區域法[8-9]進行平面度誤差評定。最小區域法評定平面度誤差，其實質是一個‘minimax’優化問題，可用形狀誤差（如圓柱度誤差、圓度誤差、直線度誤差等）最小區域評定中常用的優化算法[10-12]和最大最小尺寸的優化算法[13]進行評定。本文基于圓周法的5種采樣方案，建立了圓平面的平面度誤差的最小二乘法和最小區域法的評定模型，提出了基于平面包容和輪廓包容的兩種圓平面的平面度誤差評定結果的可視化方法，并通過實驗驗證了所建評定模型的正確性和可視化方法的可行性。

1 圓平面輪廓的圓周法測量方案

圓周法的測量方案如圖1所示，圓周測量方案是極坐標測量方案中的一種方案。

圖1 圓周測量方案示意圖

圓周測量方案可以是等角度采樣，即各圓周上的采樣點數相同，也可以是等弧長采樣，即各圓周上的采樣點數不同，采樣點數隨圓周的直徑增加而增加。圓周間可以是等間隔，也可以隨著圓周直徑的增大采用不等間隔，盡可能使圓平面上的采樣點數相對均勻布置。

根據實際情況，可以是多圓周布置，也可以用一個圓周近似替代。

2 圓平面的平面度誤差評定模型

2.1 圓平面輪廓坐標的確定

假設測量圓周數為m，采用等角度和等圓周間隔測量，每個圓周上的采樣點數為n，兩相鄰圓的間隔為Δr，第一個圓周（最小的圓）的直徑為d，第i圓周上第j個采樣點x和y坐標由下式確定：

對于等弧長和等周圓間隔測量，由于受儀器結構（如編碼器）的限制，實現等弧長測量還是困難的，但可隨著測量圓直徑的增加，適當增加采樣點數較易實現。假定第1個圓周（最小圓周）的采樣點數為n1，第i圓周上的采樣點數ni可按一定的規律設置，但最大采樣點數不能超過測量儀器轉臺一周的最大采樣點數，如Taylor586LT的一周的最大采樣點數為18 000，而圓柱體直徑與形位誤差綜合測量儀的一周的最大采樣點數為1 000。第i圓周上第j采樣點的x和y坐標由下式確定：

在xij和yij坐標點測得的輪廓值為zij。

當m=1時，用一個圓周上的輪廓值作為該被測圓平面的輪廓。

2.2 圓平面的平面度誤差的評定模型

在xoyz坐標系中建立一平面方程，如下式所示：

由式 (3)，假設C≠0，有，

以等角度采樣為例，依據所有采樣點的坐標(xij,yij,zij)，i=1～m，j=1～n，建立平面度誤差最小二乘擬合方程為：

由式(6)，可得三元一次方程組，即

最小二乘平面度參數確定后，可得到第i圓周上第j采樣點Pij到該理想平面的垂直距離sij，如圖2所示。

圖2 點到理想平面的垂直距離示意圖

由最小二乘法得到的平面度誤差

用最小區域法評定圓平面的平面度誤差，可表示為：

當m=1時，也可以嘗試用圓度誤差評定的方法進行處理。首先進行數據轉換，將測得的z1j作為徑向微小變動量，則第j采樣點的徑向值可表示為

其中d的含義見式(1)或式(2)。

當m=1時，平面度誤差的評定結果可近似由圖3所示的圓度誤差的評定結果替代，即

圖3 平面輪廓轉化為圓周輪廓的示意圖

關于最小二乘法和最小區域法確定圓心坐標x0和y0的算法見文獻[7-8]。

3 程序編制

最小區域法圓平面的平面度誤差通過對式(10)和式(12)的優化問題采用Matlab中的‘fminimax’函數獲得，最小區域平面參數的優化初始值均是最小二乘平面參數值。將Matlab中的plot3三維繪圖函數與hold on語句組合使用，把m個圓周上的輪廓、相關理想平面呈現在一張圖上。對于圓周輪廓的理想包容面（或最小二乘平面）的顯示，可利用各圓周對應的理想圓周表示，也可用Matlab中的surf或mesh函數生成的理想平面顯示。對于用一個圓周表示圓平面輪廓的測量，當用圖3所示的圓周輪廓表示圓平面輪廓時，為使評定結果的可視化，將測得的輪廓值（z1j，j=1～ni）適當放大，可得到放大后的輪廓，用最小二乘圓表征最小二乘平面，用兩個同心圓包容圓周輪廓代替用兩個平面包容圓平面輪廓。

4 實 驗

在Talyround585LT圓柱度儀對其工作臺圓平面進行了輪廓提取，并將輪廓數據以‘.CVS’格式導出。采用等間隔等角度、等間隔不等角度和單圓周等三種輪廓測量方案，測量方案參數如表1所示。表2給出該工作臺圓平面的平面度誤差評定結果。

表1 輪廓測量方案參數

圖4為采用等間隔等角度測量方案（方案1）的平面度誤差的可視化評定結果；圖5為采用等間隔不等角度測量方案（方案2）的平面度誤差的可視化評定結果；圖6為單圓周測量方案（方案3）的平面度誤差的可視化評定結果；圖7為采用單圓周測量方案（方案3）和圓周法的平面度誤差的可視化評定結果。圖4(a)和圖5(b)為圓輪廓對實際輪廓包容；圖4(b)和圖5(a)為圓平面對實際輪廓包容。由表2和圖4～ 圖6可以看出，測量方案對平面度誤差評定結果具有一定的影響，方案3對測量結果的影響較大，在測量儀器和被測結構允許的情況下，建議不采用方案3對圓平面的平面度誤差進行測量。由圖6和圖7可以看出，兩種評定方法的評定結果相同，圓周法可用于圓平面的單圓周測量方案的平面度誤差的評定。

表2 平面度誤差評定結果

圖4 平面度誤差評定結果可視化（方案1）

圖5 平面度誤差評定結果可視化（方案2）

圖6 平面度誤差評定結果可視化（方案3）

圖7 平面度誤差評定結果可視化（方案3圓周法）

5 結束語

基于圓周法的三種測量方案，研究了圓平面的平面度誤差的測量與評定中的數據處理問題，建立了圓平面的最小二乘法和最小區域法的平面度誤差評定模型。對于圓平面的單圓周的輪廓測量方案，提出了基于圓度誤差評定模型的圓平面的平面度誤差的評定方法。依據上述圓平面輪廓的圓周法測量方案和平面度誤差評定模型，編制了圓平面的平面度誤差評定及其結果的可視化程序。對一圓平面按三種測量方案進行了輪廓測量，并用所編制的程序進行了平面度誤差評定和結果的可視化，程序運行結果驗證了所建評定模型的正確性，并驗證了單圓周測量方案情形下兩種平面度評定方法的一致性。