問題引領，自然生成

趙丹慧

摘要：函數是現代數學中最基本的概念，函數概念的教學由具體問題出發，通過實例進行抽象概括，并通過有效設問激發認知沖突，引領學生用集合與對應的語言刻畫函數. 在此過程中，體會從“變量說”到“對應關系說”的必要性，感悟問題引領下，函數概念生成的自然合理性.

關鍵詞：問題引領;函數;函數的概念

本文就筆者開設的一節校內公開課的一個片段進行實錄與反思，試圖通過常見的“問題引領”的課堂組織形式進行教學，讓函數這個抽象概念的生成來得更自然些。

一、課堂教學實錄

（一）實例分析，以問促思

實例1：某高速列車加速到350km/h后保持勻速運行半小時. 這段時間內，列車行進的路程S（單位：km）與運行時間t（單位：h）的關系可以表示為S=350t.

師：這個式子是什么？

生（眾）：正比例函數的解析式.

是：解析式中的t、S分別是什么量？

生（眾）：t是自變量，S是因變量.

問題1：既然它是函數的解析式，那么誰是誰的函數？為什么？

生1：S是t的函數，因為S隨著t的變化而變化.

師：很好！也就是說每取一個時間t，就有唯一確定的路程S與它對應.

師：這是個實際問題，運行時間t有范圍的限制嗎？

生（眾）：

師：用集合A1來表示這個范圍就是，則S的范圍用集合B1怎么表示？

生（眾）：

師：所以t的值是取自數集A1，S的值來自于數集B1.

問題2：能否將這種函數關系用集合的語言去描述呢？

生2：在數集A1中每取一個時間t，在數集B1中就有唯一確定的路程S與它對應.

師：非常好，我們還需強調對應關系，可以這樣來描述：

對于數集A1中任一時刻t，按照對應關系S=350t（即解析式），在數集B1中都有唯一確定的路程S與它對應。

設計意圖：該實例給出的是解析式的對應關系，學生容易理解. 所不同的是，該例所提供的函數并非“天然定義域”，而是現實需求限制自變量的取值范圍，這是一種初高中函數概念的銜接性問題驅動，問題1觸發學生對初中函數概念的總體印象，明確誰是誰的函數;問題2讓學生關注到t的變化范圍，并嘗試用集合和對應的語言來描述S和t的函數關系.

實例2：觀察某市某天的氣溫變化圖

師：時間和溫度是函數關系嗎？

生（部分）：不是，沒有解析式.

生（部分）：是吧，圖象也可以表示函數.

問題3：請同學們先回顧一下初中學習的函數的概念是什么？

字條展示初中函數的概念

師：我們再來根據初中的函數概念判斷一下t和T是函數關系嗎？為什么？若是，誰是誰的函數？

生3：是函數關系，因為在圖像上任取一個時間t，都有唯一確定的溫度T與它對應，所以溫度是時間的函數.

師：t的范圍是一個時間段，若把t的范圍記作集合A2，T的范圍記作集合B2，請大家類比實例1用集合與對應的語言來描述這種函數關系.

生4：對于數集A2中任一時刻t，按照圖象，在數集B2中都有唯一確定的溫度T與它對應.

師：很好！看來除了解析式，函數也可以用圖象來表示.

設計意圖：實例2是圖像，學生熟悉的是解析式，以此產生認知沖突，此時通過設置問題3，順勢引導生回顧初中的函數概念，以此來判斷T與t是否是函數關系，進一步體會圖像也能表達變量之間的一種對應關系。

實例3：這是我們班在“創生杯”八字繩比賽中3次跳繩的成績表.

問題4：成績y與次數x是函數關系嗎？誰是誰的函數？

生（眾）：y是x的函數.

師：若把x的范圍記作集合A3，y的范圍記作集合B3，那我們一起用集合與對應的語言來描述這種函數關系就是：

（師生共同活動）對于數集A3中任意一個跳繩次數x，按照表格，在數集B3中都有唯一確定的跳繩成績y與它對應。

設計意圖：實例3是讓學生又一次產生認知沖突的舉措，對教材的實例進行適當處理，選擇貼近生活的例子，既增強了數學與生活的聯系，又一步步深入認識函數的本質，促進教學目標的達成.

（二）觀察歸納，形成概念

問題5：觀察上述3個實例有什么共同特征？

生5：

（1）都有兩個數集A、B;

（2）都有一種對應關系;

（3）對于數集A中的任意一個數，在數集B中都有唯一確定的一個數與它對應.

師：非常棒！大家已經基本認識函數的概念了. 這里的對應關系，除了解析式、圖象和表格外，還有其他形式，如Venn圖等，為了方便，我們引進符號f統一表示對應關系.

把這三個共同點歸納起來給出課本上函數的概念.

設計意圖：在初中已有函數認識基礎上，讓學生歸納三個實例的共同特征，體會數學抽象過程，概括出函數的本質，從而突破難點，突出“用集合與對應的語言建立函數的概念”這一教學重點.

二、基于教學片段的思考

本節課應立足學生的認知基礎進行設計，在初中的學習中已初步滲透“對應說”，但更“深入人心”的是“變量說”. 鑒于本節課內容抽象的特點，筆者做了以下的策略性引導：

（一）順著學生的思維走，不急于對舊知刨根問底.

先承認學生已經理解“變量說”（其實絕大部分學生頭腦中的函數只有解析式），從而在實例1中直接追問“誰是誰的函數”，而沒有急于提問“初中函數的概念是什么”，等學生在實例2的函數關系中碰壁之后，再問“初中函數的概念是什么”，這一設計看似拖沓，實則適逢其時.

（二）通過問題引領，讓概念的形成更加自然.

在每個實例中都問“兩個變量之間是函數關系嗎？”“誰是誰的函數？”“變量的變化范圍是什么？”“如何用集合與對應的語言來描述這種函數關系？”“對應關系是什么？”等，這樣的提問并非重復多余，而是起到了關鍵的輔助作用，這一切都是為學生能夠正確自然形成函數的語義表征服務的.

三、結語

數學概念是數學的細胞和腳手架，是數學的基本單位[2]，一個數學概念的建立一般會經過由特殊到一般，由具體到抽象的過程，這個過程有時既困難又漫長. 這就需要教師在教學設計過程中合理選材，精心設問，在數學現象中提煉數學問題，以“問題”為主線，必要時要在原問題的關聯處進行追問，要及時而不急于求成，問在學生的“認知障礙”處和“思維節點”處，從而形成有效的師生對話，讓概念的定義自然、理解自然.

參考文獻：

[1]李強.高中新教材中函數概念教學思考[J].數學通報，2007（05）：33-35.

[2]方均斌.數學教學設計與案例分析[M].杭州：浙江大學出版社，2012.3.

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