巧解有界磁場問題

白江偉

進入磁場之后，首先學習了電流在磁場中受到的安培力，帶電粒子在磁場中運動受到的洛倫茲力。兩種磁場力的學習，為后面研究運動學問題打下了力學基礎。解決這部分的運動學，也就是帶電粒子在磁場中的運動。分為三個方面進行說明。

1、常見的有界磁場

帶電粒子在磁場中的運動，首先建立的模型，磁場是沒有邊界的，如圖1所示我們可以得到 ?= ?r，進而可以獲得半徑 ?周期 ?= ?完成對描述圓周運動基本物理參量的求解。僅僅是對圓周運動的考察，沒有涉及到三角函數，幾何關系。但常常遇到的磁場都是有邊界的。常見到的是有界磁場，如圓形磁場、三角形磁場、矩形磁場、單雙邊界磁場。解決這部分問題的常規方法是，定圓心、畫圓弧、找半徑。有沒有辦法達到事半功倍呢？

2、動圓法解決有界磁場問題

速度為矢量，不論大小和方向任意一個發生變化都會引起速度的改變。洛倫茲力 其中含有速度v，因此將洛倫茲力稱為狀態力。這就意味著，速度的變化會引起洛倫茲力的變化，我們首先改變速度的方向不改變速度的大小，研究帶電粒子在磁場中動態的變化過程。

2.1建立動圓法模型

使用動圓法解決有界磁場問題，只要滿足了速度大小不變，改變速度方向，就可以使用。常見問題是涉及到帶電粒子打到有界磁場邊界的距離問題、在有界場中運動的最大時間問題。下面我們建立兩個模型說明。首先提供一個速度方向可以改變大小不變的粒子源，將粒子源固定在磁場中，射出不同方向的帶電粒子，確定打在右邊界的范圍。

（1）如圖1所示為單邊界模型，粒子源向各個方向發射相同速率的負離子，當打到a點時，恰好不飛出磁場（或剛好飛出磁場）。當直徑與邊界相交于b點時，為帶電負離子飛出磁場最遠點。

（2）如圖2所示為雙邊界模型，當粒子源在左邊界沿不同方向向磁場中發射速率相同的帶負電粒

子。當圓弧與左右邊界相切，會達到右邊界的最遠點，a、b兩點。且 ，對于雙切極值定律在矩形磁場當中也有考察。

2.2 使用動圓法模型解決有界場問題

如圖3示，勻強有界磁場，寬度為L，帶電粒子在磁場中運動半徑為r，粒子從原點o以相同速率沿不

同方向射入磁場，問粒子從左右邊界飛出時的范圍？

解：粒子沿不同方向射入，根據動圓法雙切極值定律做與左右邊界相切的圓弧OCE和OA。

如圖4所示 且 ?，則由圖可得右邊界粒子出磁場AC范圍內，

左邊界出磁場在OE范圍內。

3、放縮法與有界場的綜合問題

不改變帶電粒子進入磁場的入射方向，改變入射速度的大小。根據半徑公式 ，半徑會變大，但由于粒子速度方向沒有改變仍然會與圓弧相切。

3.1放縮法模型的建立

（1）入射速度的方向和有界矩形邊界的一條邊垂直，如圖5所示，速度較小時帶電粒子在磁場

中完成半個圓周從下面邊界進再從下面邊界出。當速度在一定范圍可以從左邊界飛出。當速度再

大時可以從上邊界飛出。

（2）入射速度與矩形邊界成任意夾角，如圖6所示，速度較小時完成部分圓周運動從原邊界飛出，在一定速度范圍從上邊界飛出，速度再大從右邊界飛出。放縮法的使用對于相交和相切是考察的熱點，尤其是考察運動距離范圍及運動的時間范圍。放縮法還有粒子無法到達的地方，稱為“盲區”，做題時要引起注意。

3.2放縮法解決有界場問題

如圖7所示，等腰直角三角形abc區域存在方向垂直紙面向外的勻強磁場，磁感應強度大小為B。三個相同的帶電粒子從b點沿bc方向分別以速度 ， ， 射入磁場，在磁場中運動的時間分別為 且 ∶ ∶ =3∶3∶1。直角邊bc的長度為L，不計粒子的重力，三個粒子速度大小關系是？并求出比荷？

解：如圖8示只要粒子從ab邊飛出弦切角都是角abc，由于 ∶ ∶ =3∶3∶1，作出粒子運動軌跡

圖如圖所示，它們對應的圓心角分別為90°、90°、30°，由幾何關系可知軌道半徑大小分別為 < ， < =2L，由于 、 大小關系未知， 、 大小無法確定，由 = 可知三個速度的大小關系可能是 < < 也可能是 < < ，

由q B= 及 =2L，解得粒子的比荷 = 。

因此，在學習的過程中，記下公式是非常必要的，但不能缺乏必要的方法。對于問題的解決，要搞清問題的

來龍去脈，然后在題干中找到關鍵詞，合理建立物理模型，這樣就可以用最簡單的方法解決問題，同時可以

提高解決問題的能力。

參考文獻：

【1】 王朝銀.創新設計.陜西人民出版社，2021 （168）;

【2】 5年高考3年模擬 ?教育科學出版社2021 A版 ;

【3】 高考資源網《帶電粒子在磁場中的運動》。