移動靜止圖形妙求陰影面積

于嘉帥

對于求復合圖形的陰影面積問題，在無法直接應用公式進行計算時，可采用運動的觀點，將圖形的某個部位進行平移、旋轉、翻折，就有可能將陰影圖形轉化為可求解的規則圖形的組合，使解題過程簡單明了.

一、平移

例1 如圖1，矩形內有兩個相鄰的正方形，面積分別為4和2，那么陰影部分的面積為多少？

解析：將圖1中下部分陰影圖形向上平移，得到圖2，則所求陰影面積為矩形面積減去兩個正方形的面積.

易知[AE=2，EB=BC=2]，所以[S陰影=（2+2）×2-2-4=22-2].

反思：本題巧妙之處在于通過平移得到[S陰影=S矩形-S大正方形-S小正方形].

二、旋轉

例2 已知：如圖3，矩形[ABCD]中，[AB=CD=a，AD=BC=2a]，以[O]為圓心的半圓分別與矩形的[AB，AD，CD]邊交于[B，E，C]三點.求陰影部分的面積.

解析：將圖3中的[△DFE]繞點[F]按順時針（或逆時針）方向旋轉[180°]，得到圖4.很顯然，[S陰影=S四分之一圓=πa24].

反思：本題利用旋轉變換將圖形進行補形，使陰影部分的面積化為四分之一圓的面積. 這種利用旋轉變換求解的方法可以使問題迎刃而解.

三、翻折

例3 如圖5，正方形[OCDE]內接于扇形，過點[A]作[AF⊥EF]，交[ED]的延長線于[F]，垂足為[F]，如果正方形的邊長為1，那么陰影部分的面積為多少？

解析：如圖6，連接[OD]，觀察發現區域Ⅰ與區域Ⅱ關于直線[OD]成軸對稱，所以只要把區域Ⅰ沿直線[OD]翻折到區域Ⅱ，求陰影部分的面積就轉化為求矩形[ACDF]的面積.

[∵OC=1，∴OD=OA=2]，

[∴S陰影=S矩形ACDF=AC·DC] [=（2-1）×1=2-1].

反思：求組合圖形的面積，要注意觀察圖形的結構，通常應用割補法將其化歸為幾個規則圖形面積的和差.本題借助軸對稱，利用翻折變換將不規則圖形化為矩形求解.

上述三種常用圖形變換求解不規則圖形陰影面積的關鍵是通過平移、旋轉、翻折變換，將不規則圖形轉化為基本圖形后求解. 只要我們熟悉并掌握了上述三種移動靜止圖形的方法，就能化繁為簡，輕松獲解.

如圖7，在矩形[ABCD]中，橫向陰影部分是矩形，另一陰影部分是平行四邊形.根據圖中標注的數據，計算圖中空白部分的面積為 .

提示：將圖7中陰影部分向左或向上平移至圖8所示位置.由于移動前后陰影部分對應的底、高均未變化，故面積未變，而陰影面積卻變為大矩形去掉兩個小矩形了，空白部分也為矩形，其面積為[S空白部分=（a-c）·（b-c）=ab-ac-bc+c2].