千般武藝——線面垂直

摘要：數學的整體性體現在代數、幾何、三角、概率、統計等各部分內容之間的相互聯系上，也體現在同一部分內容中知識的前后邏輯關系上。在完成立體幾何點線面位置關系的教學任務后，以問題促思考，將線面垂直在各種位置關系中的多重身份和作用體現出來，突出整體性思維在綜合復習課中的指導意義。

1 引言

整體性數學思維定義為：在研究數學問題時，利用全方位的研究視角去思考知識整體及局部的內在結構。這里的全方位指的是對數學內容認識的高度、深度和廣度。具體劃分為系統性思維方式、延拓性思維方式和遷移性思維方式。

2 教學分析

立體幾何是繼平面幾何學習之后，學生第一次正式接觸空間位置關系的探究和基于公理化體系的嚴謹的推理。針對初學熟練度不高，對立體幾何的直觀感受僅建立在常見的長方體模型等基本學情，立足已完成的平行、垂直判定定理和性質定理，以中國傳統文化精華的鱉臑模型為載體，利用其豐富的垂直關系，結合高考熱點難點，設計證明面面垂直、求作與異面垂直的直線、求作二面角的平面角等階梯式問題;力求讓學生從整體上思考問題，感悟到線面垂直可以成為解決上述問題的主要方向和途徑，尋找題目變化時，恰當的思考方向，并得到常規做法，形成模板。在教學的過程中，設置恰當的問題引導學生逐步形成思考方向，或針對既得模型加以利用，輔助嚴謹的邏輯推理，達成目標，既能進一步熟練應用定理，又能系統展現邏輯推理核心素養的培養，從而能整體地理解數學知識間的有機聯系，促進學生核心素養的提升，探索解決問題的思路。

3 教學過程

3.1 夯實基礎，搭建跳板

例：如圖，AB?是⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圓周上不同于A，B?的任意一點。

問題1：求證：平面?PAC⊥平面?PBC.

課本例題引入，既突出了回歸課本、重視基礎的必要性，又充分體現了基本功的重復訓練在復習中的重要性。本例實為鱉臑模型，而塹堵、陽馬、鱉臑模型在中國古代體積求解的相關問題中占據重要地位，劉徽總結出劉徽原理，并指出，任一多面體可分割成若干四面體，而四面體可分割成“陽馬”及“鱉臑”。教材中設置相關例題的意圖，也體現了傳統文化在學生過程性學習中的滲透。鱉臑模型中儲備了極其豐富的垂直關系，是學生掌握垂直關系的重要模型之一。

3.2 似易實深，遷移融合

問題2：（1）請在⊙O所在平面內，過點A作出直線AG垂直于直線PB.

（2）若PA=AC，請作出過點A且垂直于直線PB的平面在三棱錐P-ABC中的截面，并加以說明.

新課改中對學生學習能力的培養滲透在教材的編寫和組織里，不死讀書，會創新，會創造，能實踐，能實現，依然是新時代人才培養的需求。

大部分題目均點出明確的需要求解的問題或需要證明的結論，方向明確的目標證明是定義定理的實踐操作，而由已知結果發散思維，尋找可能的結論或是自行補充部分條件帶出新的結果，則是創新發展。開放性問題既是解題過程中找到思路方向的目標證明的有效訓練，也是發揮學生思考的主觀能動性，不是被動的吸收知識，而是創造性的獲得新知識的體驗，有助于學生體會數學知識體系的發生發展過程，也是培養創新型人才的有效途徑。都說數學是思維的體操，將思維上訓練的成果運用在學生成長和人生的方方面面，不失為數學有用的一種體現。

問題2中第一問的常見答案是：過A點在平面ABC內作直線AB的垂線AG，又因為直線PA垂直于平面ABC，則直線PA垂直于直線AG，且直線PA與直線AB相交于A點，故直線AG垂直于平面PAB則垂直于直線PA。這一做法的思路本質為三垂線定理的應用，抓好學生的內功修養，內化為定義定理性質的有機理解和感悟，生成結論型應用，外顯為解題能力的提高。第一問是異面直線垂直的常見方法之一，即利用線面垂直得到線線垂直。

問題2中第二問大開腦洞，尋找異面直線垂直的第二種可行的解決路徑。問題設置會讓部分定義掌握扎實、思維靈活的學生感覺十分簡單，即該平面只需在平面PAB內作直線AD垂直直線PB交PB于D，在平面PCB內過D點作直線DE垂直于直線PB。該做法在課堂呈現之后，教師繼續發問，添加了直線AD、DE后，三棱錐P-ABC中共有幾個鱉臑模型，從而引發學生發現關鍵點E點的所在位置，讓思考落到實處。從被動的解題到能夠摸出題目的脈搏，探索出題的方向，是更高層次的訓練，降低學生作圖的隨意性，有的放矢的放置輔助線，避免偏離題意，使解題可持續發展，正是本問設置的主要意圖。

兩個設問的延續性，解決尋找直線在某一平面內的垂線的作圖問題，即過直線上一點做直線的垂面，垂面與已知平面的交線即為與該直線垂直的直線。利用線面垂直的判定和性質探尋異面直線垂直幾何形態的擴展，讓解題不枯燥，充滿想象力和創造力。

3.3 迎難而上，總結提煉

問題3：請找出平面ADE與平面ABC的二面角的平面角.

問題2的設置，為問題3尋找二面角的棱奠定了良好的圖形基礎。作出二面角的棱的垂面，垂面與兩個半平面的交線所形成的角即二面角的平面角。這是與二面角平面角的定義有機融合，尋找二面角平面角的有效作圖方法之一。以定義提問題，用問題帶思路，幾番探索，就能找準解決問題的條件，或通過輔助線在題目背景里創設新的條件，推進新的結論，獲得有價值的解題體會，發展學生思維的創造性。高一作為立體幾何的初學階段，二面角平面角的作圖以及相關幾何關系的求解一直是學生的難點，借助了向量強大的計算功能，學生往往回避以幾何作圖尋找二面角平面角，但縱觀高考試題，若能熟練掌握幾何方法尋找平面角，完全可以實現事半功倍，節省大量計算時間，并有效提高結果的準確性，高一學生不應完全放棄幾何法探求平面角的方法學習。

4 教學啟示

立體幾何研究的是空間中點線面的位置關系和數量大小。線面垂直在位置關系判定和數量大小計算中都起到重要的作用。結合線面垂直的定義、判定和性質可以串聯線線垂直、面面垂直、線線平行以及面面平行等關系。除此之外，線面垂直還在線面成角和面面成角中起到引領作用，本文中涉及的相關問題正是為了揭示其引領作用而設。問題2和問題3相輔相成，構成方法整體，問題2中已知直線的垂面與已知平面相交得交線，由此獲得相互垂直的異面直線的一般作法，問題3中，此時已知直線為二面角的棱，同樣是做出或證出該直線的垂面，垂面與兩個半平面的交線所形成的角即二面角的平面角。單元或章節性學習需要一個整合提升，本節課將線面垂直在立體幾何全章中的作用，見微知著，展現在學生面前，既是對整章內容的復習整理，也是對章節難點的突破。整體性數學思維指導下，利用線面垂直以點帶面，輻射創新，引導學生合理遷移、大膽推測，用統一性的思想方法解決（或看待）同一類問題，是筆者在一線教學過程中做出的嘗試，懇切希望得到專家同行的指導和建議。

參考文獻

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福建師大附中 孫舒萌