新背景下二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

閔家軍

生活中我們經(jīng)常需要利用二次函數(shù)的知識(shí)來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題，各地中考試卷中也頻頻出現(xiàn)此類(lèi)試題. 這些題目往往以一個(gè)嶄新的背景為支撐，要求解決諸如最值等問(wèn)題. 為方便同學(xué)們及時(shí)了解中考中此類(lèi)問(wèn)題的發(fā)展態(tài)勢(shì)，現(xiàn)舉例說(shuō)明，供參考.

一、以實(shí)物為背景

例1（2020·浙江·臺(tái)州）用各種盛水容器可以制作精致的家用流水景觀（如圖1）.

科學(xué)原理：如圖2，始終盛滿水的圓柱體水桶水面離地面的高度為H（單位：cm），如果在離水面豎直距離為h（單位：cm）的地方開(kāi)大小合適的小孔，那么從小孔射出的水的射程（水流落地點(diǎn)離小孔的水平距離）s（單位：cm）與h的關(guān)系式為s2 = 4h（H - h）.

應(yīng)用思考：現(xiàn)用高度為20 cm的圓柱體塑料水瓶做相關(guān)研究，水瓶直立地面，通過(guò)連續(xù)注水保證它始終盛滿水，在離水面豎直距離h cm處開(kāi)一個(gè)小孔.

（1）寫(xiě)出s2與h的關(guān)系式，并求出當(dāng)h為何值時(shí)，射程s有最大值，最大射程是多少？

（2）在側(cè)面開(kāi)兩個(gè)小孔，這兩個(gè)小孔離水面的豎直距離分別為a，b，要使兩孔射出水的射程相同，求a，b之間的關(guān)系式.

（3）如果想通過(guò)墊高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加16 cm，求墊高的高度及小孔離水面的豎直距離.

點(diǎn)評(píng)：厘清題目中的數(shù)量關(guān)系并明確二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

二、以運(yùn)動(dòng)場(chǎng)所為背景

例2（2020·浙江·紹興）如圖3，排球場(chǎng)長(zhǎng)為18 m，寬為9 m，網(wǎng)高為2.24 m. 隊(duì)員站在底線O點(diǎn)處發(fā)球，球從點(diǎn)O的正上方1.9 m的C點(diǎn)發(fā)出，運(yùn)動(dòng)路線是拋物線的一部分，當(dāng)球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)A時(shí)，高度為2.88 m，即BA = 2.88 m.這時(shí)水平距離OB = 7 m，以直線OB為x軸，直線OC為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖4.

（1）若球向正前方運(yùn)動(dòng)（即x軸垂直于底線），求球運(yùn)動(dòng)的高度y（m）與水平距離x（m）之間的函數(shù)關(guān)系式（不必寫(xiě)出x的取值范圍）. 這次發(fā)球能否過(guò)網(wǎng)？是否出界？說(shuō)明理由.

點(diǎn)評(píng)：求解本題時(shí)要發(fā)揮圖形和圖象的作用，及時(shí)捕捉題目中的有用信息，體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用.