圓的一類中考試題解析

何婷

【摘要】本例運用執果索因、由因導果分析方法，結合思維導圖教學模式，抓住常見數學模型，讓學生經歷條件和結論之間的雙向轉化思維訓練，領悟解決這類問題的一般思想方法.

【關鍵詞】試題解析;分析方法;數學模型

【題目原型】

（2018鞍山）如圖1，四邊形ABCD內接于⊙O，AC與BD為對角線，∠BCA=∠BAD，過點A作AE∥BC交CD的延長線于點E.

（1）求證：EC=AC;

（2）若cos∠ADB=，BC=10，求DE的長.

【試題背景】

1.試題出處：本題選自2018年鞍山市中考試題的23題，是一道圓的綜合題，考查的知識點較多，綜合性較強，適合于初三學生在中考綜合復習時使用.

2.涉及知識點：等腰三角形性質和判定、圓內接四邊形的性質、圓周角定理、相似三角形的性質和判定、解直角三角形.

3.涉及思想方法：轉化、模型思想和執果索因、由因導果分析方法.

4.題目難點：涵蓋知識多，如何分析已知條件并將其遷移轉化，建立起與結論之間的內在聯系尋求解題策略.

5.應用的模型：圓內接四邊形、旋轉相似模型.

【學情分析】

學生已經掌握了圓的基本知識，對一些常見基本模型及結論有較好的理解，具備了一定的推理能力，能夠把握“條件—結論”之間的邏輯關系，探索證明思路.但是舉一反三、轉化類比解決綜合性的幾何問題的能力及歸納能力較弱，因此應重點引導學生把握分析幾何綜合題的基本方法和解題策略.

【講題流程】

審題及解題策略分析

如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，AC與BD為對角線，∠BCA=∠BAD，過點A作AE∥BC交CD的延長線于點E

（1）求證：EC=AC;

問題分析：（1）的結論：證明線段的數量關系，通常運用全等三角形性質或等腰三角形的判定，而此題待證的兩條線段同屬△ACE的邊，易聯想到運用等腰三角形的判定，即等角對等邊求解，問題即轉化為證明∠E=∠CAE，接下來要充分分析已知條件.

條件分析：如圖2

根據上述分析過程，得到如下證明方法：

解：（1）證明：∵BC∥AE，

∴∠ACB=∠EAC.

∵∠ACB=∠BAD，

∴∠EAC=∠BAD.

∴∠EAD=∠CAB.

∵∠ADE+∠ADC=180°，∠ADC+∠ABC=180°，

∴∠ADE=∠ABC.

∴△ABC∽△ADE.

∴∠E=∠ACB=∠EAC.

∴CE=CA.

方法點撥：由“四邊形ABCD內接于⊙O”的條件，自然聯想到圓內接四邊形的性質，即圓內接四邊形的對角互補，但應用的模型是根據互補得出的一對角相等即∠ADE=∠ABC，而由平行的條件亦聯想到內錯角相等∠ACB=∠EAC，再結合所給已知條件∠ACB=∠BAD，等量代換得到∠EAC=∠BAD，由等式的基本性質延伸聯想得∠EAD=∠CAB，由此就得到了兩對角對應相等的旋轉相似三角形模型，由相似三角形性質對應角相等，即有∠E=∠ACB，從而∠E=∠EAC得證.

（2）若cos∠ADB=，BC=10，求DE的長.

問題分析：其思維過程如圖3：

根據上述分析過程，得到如下證明方法：

解：如圖4作CM⊥AE于M.

方法點撥：由條件cos∠ADB=，聯想到以下思路：①可找與之相等的角轉化，等角的同名三角函數值相等.②能確定直角三角形中兩邊之比.③可求其他三角函數值（正弦，正切）.由圓周角定理有∠ACB=∠ADB，而由（1）知∠E=∠ACB，因此應用①方法轉化角，即∠ADB=∠E，cos∠E=，可解直角三角形求線段長或得線段的比，具體如何應用要分析結論確定，但無論怎樣用都要有直角三角形，因此需要引輔助線構造直角三角形，而△ACE為等腰三角形，三線合一引垂線，輔助線即為作CM⊥AE于M.結論為求DE的長，求線段長的方法有勾股定理、三角形相似、三角函數，而由第一問已經得到△ABC∽△ADE，對應邊成比例發現只要確定的值，即可求

得DE長，因此由前面cos∠E=，可得，易得，進而求解.

題后反思

1.解題思路與方法解讀

第二問雖然是圓的常規計算，但是綜合性較強，解決問題的關鍵在于將求線段長度的幾種常用方法，即勾股定理、三角形相似、三角函數與圓的相關知識結合起來綜合應用，還要有抓住前后問聯系的意識，往往第（1）問的結論要為第（2）問所用，

2.條件和模型的應用

此問運用執果索因、由因導果分析方法，由每一個條件聯想出第一級結論，不能得到一級結論的條件這里稱為絕對條件，如∠BCA=∠BAD，然后分析各一級結論之間、一級結論和絕對條件之間的聯系，得到二級結論，再分析二級結論之間、二級結論和絕對條件之間的聯系得到三級結論，依次類推找到“條件—結論”之間的邏輯關系.也可從結論入手執果索因，方法同上，但在更多的綜合題中是兩種分析方法結合使用.

變式訓練

1.（2018錦州）如圖5，在△ABC中，∠C=90°，AE平分∠BAC交BC于點E，O是AB上一點，經過A，E兩點的⊙O交AB于點D，連接DE，作∠DEA的平分線EF交⊙O于點F，連接AF.

（1）求證：BC是⊙O的切線.

（2）若sin∠EFA=，AF=5，求線段AC的長.

思路點撥：（1）連接OE，根據同圓的半徑相等和角平分線可得：OE∥AC，則∠BEO=∠C=90°解決問題;（2）過A作AH⊥EF于H，根據三角函數先計算AH=4，證明△AEH是等腰直角三角形，則AE=AH=8，證明△AED∽△ACE，可解決問題.此題屬于圓的綜合題，涉及的知識有：切線的判定與性質，相似三角形的判定與性質，銳角三角函數定義，勾股定理，以及平行線的判定與性質，綜合應用以上知識運用執果索因、由因導果分析方法是解本題的關鍵.

2. （2018錦州二模）如圖6，在△ABC中，以AC邊為直徑作⊙O交BC邊于點D，交AB于點G，且D是BC中點，DE⊥AB，交AB于點E，交AC的延長線交于點F.

（1）求證：直線EF是⊙O的切線.

（2）若CF=3，cos∠CAB=，求⊙O的半徑和線段BD的長.

思路點撥：（1）根據三角形的中位線定理證明OD∥AB，可得OD⊥EF，所以直線EF是⊙O的切線;（2）設⊙O的半徑為r，根據平行線分線段成比例定理得：，可得AE的長，

并計算BE的長，證明△BDE∽△BAD，則，代入可得BD的長.本題是圓的綜合題，考查了切線的性質和判定、三角形的中位線、三角形相似的性質和判定、圓周角定理，第二問設圓的半徑為r，根據三角形三角函數和相似列比例式，列方程解決問題.

選題的意義

1.感受圓類幾何綜合題的基本分析思路，領悟運用執果索因、由因導果分析法幫助解決幾何探究題的重要性.

2.經歷多題一法或一題多變訓練思維、提升解題能力的基本過程.