利用夾逼定理推論研究函數零點問題

楊昌顥

摘 要：研究方程的根的個數問題亦或是研究函數零點個數問題，是近年來高考的熱門問題。除了通過直接求解對應方程、研究函數的性質、分離變量之外，筆者還發現了一種研究函數零點問題的思路，這種思路能很有效地將復雜的函數零點問題簡單化。

關鍵詞：函數;零點問題

研究方程的根的個數問題亦或是研究函數零點個數問題，是近年來高考的熱門問題。這類問題，考察了利用導數研究函數的圖像與性質、零點存在性定理、方程的根的分布等一系列知識，具有較強的綜合性，對學生的思維能力與計算能力有著較高的要求。

研究這類問題，關鍵是要明確思考方向。不同的思路在思維量和運算量上存在著一定的差異，為了能在有限的時間內盡可能快速地解答題目，往往會選擇通過對方程f（x）=0進行分拆變形減少計算量。

解決這類問題有幾種思路：第一種是對于方程D（x）=0，直接求出它的實根，計算實根個數。這個思路是最為直接的，但是對于方程本身有一定的要求，要能夠被因式分解。而對于含有Inx、ex等式子的超越方程，往往是不可直接求解的;第二種是將其轉化為研究對應的函數f（x）的零點個數問題，若是研究函數f（x）的單調性的過程中計算過于復雜，則可以選擇通過將函數f（x）轉換為它的等價形式g（x），研究函數g（x）的零點個數問題;第三種思路是將方程D（x）=0的實根個數問題轉換為函數y=p（x）和函數y=q（x）的交點個數問題。

解題反思：對于含參數求函數零點的問題，一種解題思路是直接求導，利用導函數的零點來對參數進行分類討論，從而得出在不同情況下的函數零點個數;另一種即為數形結合，將函數的零點問題變為兩個函數的交點問題，利用導函數研究函數的相關性質（包括但不限于函數的單調性、極值、最值），從而能對函數的圖像有一個認識。

數形結合一般是將函數y=f（x）的零點轉化為方程f（x）=0的根，再將f（x）=0拆成p（x）=q（x）。其中p（x）與q（x）的函數圖像應該比較簡單，便于分辨，最好是一個函數和一個常函數的組合，從而通過討論函數的圖像和常函數的交點個數，得出原函數的零點個數;直接討論兩個函數的交點個數，若是遇到含有參數或者是無法求出具體值的情況。可以通過適當放縮的方式，利用夾逼定理的推論進行求證。

解題反思：有些函數零點問題比較復雜，尤其是多函數混合的時候，無論是直接求解還是數形結合都不便于學生理解函數的曲線性質。先放縮再研究是一種很好的解題思路，通過讓式子更簡單的方法，讓學生能更直觀地感受函數曲線，讓學生求解的思路更明確、減少學生的計算量。

因此讓學生掌握一些經典的放縮不等式是有必要的，可以讓學生在處理問題的時候更輕松，例如ex≥x+1，ex≥ex，ex>x2，x-1≥Inx≥1-，>Inx等，通過利用代數式的正負性、放縮原理、局部最值放縮法等方法，將“超越函數”縮放為一次或二次函數，或者是能較為簡單地判斷單調性的超越函數。

參考文獻

[1]孟勝奇，古伯純.利用導數研究函數的零點問題[J].中學數學教學參考，2020，（1）：138-141.

[2]胡云浩.再談“利用放縮法解函數零點存在問題”[J].中學數學教學，2020，（2）：43-45.