運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想 提高學(xué)生解決問題能力

張智文

中圖分類號：G4 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚所說：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微。”所謂數(shù)形結(jié)合，是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法。它既具有數(shù)學(xué)學(xué)科的鮮明特點(diǎn)，又是數(shù)學(xué)研究的常用方法。其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖象結(jié)合起來，在“數(shù)”“形”之間互相轉(zhuǎn)化，使數(shù)量關(guān)系和空間形式巧妙、和諧地結(jié)合起來，并充分利用這種“結(jié)合”尋找解題思路，從而巧妙地解決貌似困難、復(fù)雜的問題。而在小學(xué)，學(xué)生正處在形象思維與邏輯思維并肩發(fā)展的階段，思維發(fā)展水平還不夠成熟，理解抽象的內(nèi)容難度較大。應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想方法去觀察、分析問題，有助于學(xué)生理解數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)，有助于拓展學(xué)生數(shù)學(xué)思維，提高解決問題的能力。

一、數(shù)形結(jié)合創(chuàng)設(shè)直觀情境，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的能力

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)，要緊密聯(lián)系學(xué)生的生活實(shí)際，從學(xué)生的生活經(jīng)驗和已有知識出發(fā)，創(chuàng)設(shè)生動有趣的情境。”在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過程中，創(chuàng)設(shè)生動有趣的情境，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和探索欲望，啟發(fā)學(xué)生創(chuàng)新思維。

教學(xué)的藝術(shù)不在于傳授知識的多少，而在于激勵、喚醒、鼓舞。教學(xué)中老師可以根據(jù)兒童的年齡特點(diǎn)、知識經(jīng)驗、能力水平、認(rèn)知規(guī)律等因素，抓住學(xué)生的思維，不斷創(chuàng)設(shè)有意義的與生活聯(lián)系密切的問題情境，創(chuàng)設(shè)一種立足兒童的生活現(xiàn)實(shí)，貼近兒童的知識背景形象直觀的情境，讓學(xué)生身臨其境，感受到數(shù)學(xué)的事實(shí)、實(shí)情，在情境中讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，從而自主地探索，提高學(xué)生解決問題的能力。

從貼近學(xué)生生活中熟悉的直觀圖形入手，在富有開放性的問題情境中，通過數(shù)形結(jié)合，學(xué)生的思維開闊了，思維的火花閃現(xiàn)了，利用原有的知識結(jié)構(gòu)去探究該情境中存在的數(shù)學(xué)問題，并積極地從多角度去思考問題、發(fā)現(xiàn)問題。這樣既培養(yǎng)學(xué)生的提問能力，又讓抽象的數(shù)量關(guān)系、思考思路形象地外顯出來，非常直觀，易于中下學(xué)生理解，達(dá)到了很好的效果，提高了學(xué)生解決問題的能力。

二、數(shù)形結(jié)合展現(xiàn)思維過程，幫助學(xué)生理清數(shù)量關(guān)系

在課堂教學(xué)中，我們經(jīng)常發(fā)現(xiàn)由于年齡、知識、能力等多方面的因素影響，小學(xué)生在解決問題的時候，往往遇到這樣或那樣的困難或障礙。如何突破障礙和困難呢？可以引導(dǎo)小學(xué)生充分利用直觀的“形”，把抽象的數(shù)量關(guān)系形象具體地表示出來。通過一些看得見、摸得著的集合圖、線段圖等，抽取出實(shí)際問題中的數(shù)量，并用簡單圖形表達(dá)這些數(shù)量之間的關(guān)系，幫助小學(xué)生理清數(shù)量關(guān)系，使復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題直觀化，為列式建造了一座“橋”。教師特別要鼓勵學(xué)生用自己創(chuàng)造的圖形方法解釋數(shù)學(xué)，用原汁原味的構(gòu)思、豐富多彩的圖畫、獨(dú)特的視角，展示兒童富有創(chuàng)造的思維過程，發(fā)展學(xué)生的空間觀念。

小學(xué)生的空間想象能力還存在著一定的局限性，僅依靠學(xué)生在腦子中的想象，學(xué)生考慮問題時就會出現(xiàn)這樣那樣的不周密，從而影響解題的正確性。這時，教師可以恰當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)學(xué)生來畫一畫，以畫促思，能更好地幫助學(xué)生理解。

如在教學(xué)這樣一道習(xí)題（老師出示題目）：一個正方形邊長6厘米，如果邊長增加4厘米，則它的周長增加多少？

生1：先求出原正方形的周長，6×4=24（厘米），再求現(xiàn)在正方形的周長 （6+4）×4=40（厘米），最后用現(xiàn)在的周長減原來的周長40-24=16（厘米）

師：誰能用更好的方法把這個題目講得更清楚，讓大家都能聽得更明白？（可以結(jié)合圖進(jìn)行分析）

生2：正方形的特征是四邊相等，邊長增加4厘米，那么每條邊都增加4厘米，那么增加的周長就是4×4=16（厘米）。

學(xué)生獨(dú)立思考后只有兩個學(xué)生能列式解決。在反饋交流中生1用純粹語言解釋，生2結(jié)合畫圖解釋，所有的學(xué)生只聽懂了生2的解釋。然后老師就引導(dǎo)學(xué)生畫圖來理解數(shù)量關(guān)系，解決問題。

“數(shù)形結(jié)合”體現(xiàn)在課堂上，更多表現(xiàn)在動手操作實(shí)物，以及用各種圖形說明、說理、分析解題上。依靠圖形的直觀性分析和解決問題較容易，就在于抽象的數(shù)量關(guān)系形象化了，無疑為課堂教學(xué)帶來了可喜的收獲——學(xué)生理解了數(shù)量關(guān)系，提高了解題的正確性、靈活性。

三、數(shù)形結(jié)合呈現(xiàn)內(nèi)在關(guān)系，展現(xiàn)內(nèi)在聯(lián)系

數(shù)學(xué)是一門硏究客觀世界數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，數(shù)學(xué)知識一般都具有比較抽象的形式，但小學(xué)生的思維特點(diǎn)是由具體形象思維為主要形式逐步發(fā)展到抽象邏輯思維為主要形式，而且這種抽象邏輯思維在很大程度上，仍然是與直接的感性經(jīng)驗相聯(lián)系的，因此數(shù)與形的有機(jī)結(jié)合，是培養(yǎng)學(xué)生形象思維能力的一個有效過程。數(shù)形結(jié)合解題，實(shí)際上是一個“數(shù)”與“形”互譯的過程，即把題目中的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)譯成圖形，把抽象的數(shù)量關(guān)系形象化，再根據(jù)對圖形的觀察、分析、聯(lián)想，逐步譯成算式，以達(dá)到問題的解決。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，重視數(shù)形結(jié)合有利于分析題中的數(shù)量關(guān)系，豐富表象，引發(fā)聯(lián)想，啟發(fā)思維，拓展思路，化難為易，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)形象思維能力和邏輯思維能力，提高解決問題的能力。

而線段圖就是其中一種重要的數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，它具有半抽象、半具體的特點(diǎn)。它既能舍棄應(yīng)用題的具體情節(jié)，又能形象地揭示條件與條件、條件與問題之間的關(guān)系，把數(shù)轉(zhuǎn)化成形，明確顯示出已知和未知的內(nèi)在聯(lián)系，激活解題思路。恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用線段圖是幫助學(xué)生由形象思維過渡到抽象思維的橋梁。所以，我們在教學(xué)中要盡量地“滲透”畫線段圖，讓學(xué)生有“不會做就畫線段圖”的思維習(xí)慣，久而久之，學(xué)生就能逐步掌握。

如：《植樹問題》課例

課前教師和同學(xué)們一起回憶了數(shù)學(xué)王子高斯小時候算1加到100的故事。讓學(xué)生看到“找規(guī)律”進(jìn)行簡算的好處，讓學(xué)生也有了“找規(guī)律”解決問題的心理準(zhǔn)備。

情境引入后，出示例題：

“同學(xué)們要在全長100米的小路一邊植樹，每隔5米栽一棵（兩端要栽）。一共需要多少棵樹苗？”

讓學(xué)生根據(jù)自己的理解列式解答，并嘗試想辦法驗證。

匯報時，同學(xué)們列出了幾個不同的式子，質(zhì)疑：究竟哪個是正確的呢？

大多數(shù)學(xué)生都想到要畫圖，但要畫（100÷5=）20個間隔太麻煩了……引導(dǎo)學(xué)生想到，遇到大的數(shù)目不好把握，可以從小的數(shù)目入手，找出規(guī)律，然后再用規(guī)律來解決大數(shù)目的問題。

在此基礎(chǔ)上，學(xué)生們從10米、15米、20米……長的路上入手研究，每隔5米種一棵，找出棵數(shù)和間隔數(shù)之間的關(guān)系（棵數(shù)-1=間隔數(shù)），最后解決問題。

從以上兩例不難看出：在“數(shù)”、“形”互譯的過程中，既是解題過程，又是學(xué)生的形象思維與抽象思維協(xié)同應(yīng)用、互相促進(jìn)、共同發(fā)展的過程。由于抽象思維有形象思維作支持，從而使解法變得十分簡明扼要而巧妙。

心理學(xué)研究表明，兒童接受具體性圖表中的信息比學(xué)習(xí)的抽象性文字中的信息容易得多。而新課程教材編者就借助了大量的感性材料，使學(xué)生置身于具體的情境中，以“形”輔“數(shù)”，使學(xué)生更易于理解概念、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、獲得解題思路，更好地使學(xué)生能夠科學(xué)地提煉、應(yīng)用數(shù)學(xué)語言等等。

總之，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合能不失時機(jī)地為學(xué)生提供恰當(dāng)?shù)男蜗蟛牧希梢詫⒊橄蟮臄?shù)量關(guān)系具體化，把無形的解題思路形象化，不僅有利于學(xué)生順利地、高效率地解決數(shù)學(xué)問題，有利于學(xué)生智力的開發(fā)、思維能力的增強(qiáng)，解決問題的能力得到提高，能使抽象枯燥的數(shù)學(xué)知識，形象化具體化，使得數(shù)學(xué)教學(xué)充滿樂趣，相信巧妙地應(yīng)用數(shù)形結(jié)合，一定會引導(dǎo)學(xué)生由怕數(shù)學(xué)變成愛數(shù)學(xué)。