“平行線被折線所截”問題探究

朱迪

平行線是最簡單、最基本的幾何圖形之一，利用平行線可以得到角之間的相等或互補的關系，幫助我們解答一些求角度的問題.折線問題是兩條平行線不是被第三條直線所截，而是被一條折線所截，此時平行線的性質定理就不能直接應用了.那么如何解決這類折現問題呢？以下分類進行探討.

一、“外凸型”折線問題

“外凸型”折線問題是指兩條平行線之間被向外凸出的折線所截，并有一個或多個折點.解答這類“外凸型”折線問題的一般方法是過折點作已知平行線的平行線，通過形成的多組平行線建立角與角之間的聯系，進而把線的關系轉換成角的關系，然后利用“兩直線平行，同旁內角互補”的性質解答.

基本題型

例1 ?如圖1，已知AB∥CD，∠A=120°，∠C=130°，那么∠APC的度數是（ ）.

A.100° B.110° C.120° D.130°

解析：過P作直線MN∥AB，如圖2所示，

∵MN∥AB，

∴∠A+∠1=180°（兩直線平行，同旁內角互補），

∴∠1=180°﹣∠A=180°﹣120°=60°，

∵MN∥AB，AB∥CD，

∴MN∥CD，

∴∠C+∠2=180°（兩直線平行，同旁內角互補），

∴∠2=180°﹣∠C=180°﹣130°=50°，

∴∠APC=∠1+∠2=60°+50°=110°，

故選：B.

點評：本題考查了平行線的性質，解題的關鍵是作出平行線，根據平行線的性質找出圖中角度之間的關系.

結論1：如圖1，在平行線中“外凸型”折線問題中，中間角加兩個邊角等于360度，即∠A+∠P+∠C=360°.

拓展題型

例2 ?細觀察，找規律.下列圖3①-3④中的MA1與NAn平行.

（1）圖①中的∠A1+∠A2= ? 度，

圖②中的∠A1+∠A2+∠A3= ? 度，

圖③中的∠A1+∠A2+∠A3+∠A4= ? 度，

圖④中的∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5= ? 度，…，

（2）第n個圖中的∠A1+∠A2+∠A3+…+∠An= ? ? ? .

（3）依圖3②為例，寫出證明過程.

分析：（1）根據兩直線平行，同旁內角互補，即可得到結論;（2）根據（1）中的規律，即可得到第n個圖中的∠A1+∠A2+∠A3+…+∠An的度數;（3）先過A2作A2B∥A1M，根據A2B∥A1M∥A3N，可得∠A1+∠1=180°，∠A3+∠2=180°，進而得出∠A1+∠A1A2A3+∠A3=360°.

解：（1）根據平行線的性質，可得圖①中的∠A1+∠A2=180度，根據平行線的性質，可得圖②中的∠A1+∠A2+∠A3=360度，

根據平行線的性質，可得圖③中的∠A1+∠A2+∠A3+∠A4=540度，

根據平行線的性質，可得圖④中的∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5=720度，

故答案為：180，360，540，720;

（2）根據平行線的性質，可得第n個圖中的∠A1+∠A2+∠A3+…+∠An=180°n﹣180°.

故答案為：180°n﹣180°.

（3）如圖4②，過A2作A2B∥A1M，

∵MA1與NAn平行，

∴A2B∥A1M∥A3N，

∴∠A1+∠1=180°，∠A3+∠2=180°，

又∵∠1+∠2=∠A1A2A3，

∴∠A1+∠A1A2A3+∠A3=180°+180°=360°.

點評：本題通過四個特殊的圖形得到了一般性規律，運用了不完全歸納法，體現了由特殊到一般的數學思想，這是解決規律探索題時常用的方法.

結論2：對于平行線中有多個折點的“外凸型”的折線問題，有一般性結論：折線內角的和=（折點數+1）×180°.

二、“內凹型”折線問題

與平行線中的“外凸型”折線問題相對，平行線中也有“內凹型”折線問題.“內凹型”折線問題是指兩條平行線之間被向內凹進去的折線所截，并有一個或多個折點.解答“內凹型”折線問題，通用的方法仍是過折點作原平行線的平行線，形成多組平行線，然后利用“兩直線平行，內錯角相等”的性質解答.

基本題型

例3 ?如圖5：已知AB∥CD，∠B=38°，∠D=72°，則∠BED= ? °.

解析：過E作EF∥AB，如圖6，

∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，

∴∠B=∠BEF，∠D=∠DEF，

∵∠B=38°，∠D=72°，

∴∠BEF=38°，∠DEF=72°，

∴∠BED=38°+72°=110°.

故答案為：110.

點評：此題主要考查了平行線的性質與判定，關鍵是掌握兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也平行;兩直線平行內錯角相等.

結論3：如圖5，在平行線中“內凹型”折線問題中，中間角等于兩個邊角的和，即∠E=∠B+∠D.

拓展題型

例4 ?（1）如圖7，AB∥CD，∠BEC與∠1+∠3的關系是什么？并寫出推理過程;

（2）如圖8，AB∥CD，直接寫出∠2+∠4與∠1+∠3+∠5的數量關系 ? ;

（3）如圖9，AB∥CD，直接寫出∠2+∠4+∠6與∠1+∠3+∠5+∠7的數量關系 ? ? ? .

分析：（1）首先過點E作EF∥AB，由AB∥CD，可得AB∥CD∥EF，根據平行線的性質，易得∠BEC=∠BEF+∠CEF=∠1+∠3;（2）首先分別過點E，G，M，作EF∥AB，GH∥AB，MN∥AB，由AB∥CD，可得AB∥CD∥EF∥GH∥MN，由平行線的性質，可得∠2+∠4=∠1+∠3+∠5.（3）首先分別過點E，G，M，K，P，作EF∥AB，GH∥AB，MN∥AB，KL∥AB，PQ∥AB，由AB∥CD，可得AB∥CD∥EF∥GH∥MN∥KL∥PQ，然后利用平行線的性質，即可證得∠2+∠4+∠6=∠1+∠3+∠5+∠7.

解：（1）∠BEC=∠1+∠3.

證明：過點E作EF∥AB，如圖10，

∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，

∴∠BEF=∠1，∠CEF=∠3，

∴∠BEC=∠BEF+∠CEF=∠1+∠3;

（2）∠2+∠4=∠1+∠3+∠5.

理由：分別過點E，G，M，作EF∥AB，GH∥AB，MN∥AB，如圖11，

∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF∥GH∥MN，

∴∠1=∠BEF，∠FEG=∠EGH，∠HGM=∠GMN，∠CMN=∠5，

∴∠2+∠4=∠BEF+∠FEG+∠GMN+∠CMN=∠1+∠EGH+∠MGH+∠5=∠1+∠3+∠5;

（3）∠2+∠4+∠6=∠1+∠3+∠5+∠7.

理由：分別過點E，G，M，K，P，作EF∥AB，GH∥AB，MN∥AB，KL∥AB，PQ∥AB，如圖12，

∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF∥GH∥MN∥KL∥PQ，

∴∠1=∠BEF，∠FEG=∠EGH，∠HGM=∠GMN，∠KMN=∠LKM，∠LKP=∠KPQ，∠QPC=∠7，

∴∠2+∠4+∠6=∠1+∠3+∠5+∠7.

點評：本題主要考查平行線的性質，解題的關鍵是根據所求問題需要的條件，作出平行線，利用兩直線平行，內錯角相等的性質和等量代換來解題.

結論4：對于平行線中有多個折點的“內凹型”折線問題，有一般性結論：所有的凸角之和=所有的凹角之和.

關于平行線中的折線問題，還有一些其他類型，這里只是列舉了其中比較常見且重要的兩種類型，解答這類問題的通用方法就是過折點作輔助線，將線的關系轉換成角的關系后，此類復雜模型就變得簡單了.此外，同學們還可以記住這兩類問題中的四個結論，將其直接應用于填空題、選擇題的解答中.