例談向量法在求解幾何習題中的應用

朱乃勇

摘 要： 本文通過對一組例題的分析講解，主要探討了如何利用向量法來求解幾何習題的方法和途徑。

關鍵詞： 向量法;求解;幾何習題

在數學教學中，培養學生的解題能力是教學的目的之一。解題教學不僅是幫助學生理解、掌握和鞏固所學知識的手段，而且也是培養學生思維能力的重要途徑。

向量在幾何、代數和分析等眾多領域里有著廣泛的應用，使用向量法解題，構思巧妙，運算簡單。本文僅就向量在求解幾何習題中的應用作一粗淺的探討，不當之處，敬請方家批評指正。

一、利用向量法求解平面幾何習題

平面幾何中的許多習題，盡管我們用其他方法也可以解決，然而，若合理地選擇基本向量，再將所要解決的問題轉化為用基本向量來表示，則運算過程會顯得更為簡捷明了，并且方法新穎。

例1：已知任意平行四邊形，試證：（1）它的兩條對角線的平方和等于各邊的平方和。（2）它的面積等于以兩條對角線為邊的平行四邊形面積的一半。（3）它的對角線互相平分。

通過以上例題的分析求解，我們不難發現向量法的主要思路是：（1）建立適當的坐標系并構造合理的向量;（2）充分利用向量的定義和基本性質;（3）熟練掌握向量的基本運算等。向量自身所具有的數與形的雙重性使得利用向量解題更能充分體現數學中數形結合的思想，如果我們運用靈活，不但可以把比較復雜的幾何思維轉化為較為簡單的代數運算，達到避繁趨簡，化難為易的效果，而且也將有助于激發學生學習數學的興趣及提高他們的解題能力。常常可以給他們帶來“柳暗花明又一村”的感覺，從而體驗到解題中的快樂。

注：為了讓同學們進一步熟悉并掌握這種解題方法，下面留有幾道習題，請同學們自己用向量法解答。

證明：三角形三條高交于一點。

在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是BB1，CD中點，（1）求AE與D1F所成的角。（2）試證平面AED⊥平面A1FD1。

設點A和B為拋物線y2=4x上原點以外的兩個動點，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求點M的軌跡方程，并說明它表示什么曲線。

參考文獻：

[1]吳開朗.《數學題型設計與解法模式》江蘇教育出版社1990.

[2]李廣全、李尚志.《數學（基礎模塊）下冊》（第一版）高等教育出版社2009.

[3]李淑文.《中學數學教學概論》中央廣播電視大學出版社2002.