條件極值的三種常用解法

王奕閏 張艷維

（西安交通工程學院 公共課部，陜西 西安 710300）

引言

多元函數z=f(x1,x2,…,xn)在m個 附 加 條 件 下?k(x1,x2,x3,…,xk)=0，（k= 1,2,3,…,m，m

多元函數條件極值是微分學的重要應用。在實際生活生產及經濟管理中使用廣泛。我們常遇到的最優化問題，比如圓內接矩形的最大面積；光線行進的最快路徑；企業產品的最小投入、最高效益及最低虧損；市場商戶的最低運營成本、最大利潤等，都是通過建立（目標函數的）數學模型，求條件極值尋找目標函數最優化。

條件極值問題求解復雜，學生對極值是否存在不易理解；難以區分不同解法的適用差異；求解運算過程繁瑣；對區分判定在可能的極值點取何種極值的方法，疑惑重重，諸如此類的問題困擾學生。

本文針對條件極值的三種常用解法：代入消元法，幾何圖形法，拉格朗日乘數法，加以分析探討及示例，幫助學生消除疑慮，理清解題思路，選擇適合解法，提升數學應用能力，樹立數學學習信心，有切實意義。

一、條件極值的三種常用解法

（一）代入消元法

從約束方程中選擇要消去的變量，代入目標函數消元，將條件極值轉化為無條件極值，這種方法稱作代入消元法。它是求解多元函數條件極值最常用的方法。

例如，求目標函數z=f(x,y)在約束方程?(x,y)=0的條件極值，從?(x,y)=0解出變量x=x(y)或y=y(x)，代入z=f(x,y)，把條件極值轉化為無條件極值。

（二）幾何圖形法

運用多元函數的幾何圖形（幾何含義）求解目標函數的條件極值稱作幾何圖形法。

由于高等數學中學生所學的空間解析幾何知識有限，所以幾何圖形法求條件極值，較多涉及那些常用多元函數的條件極值，比如空間平面、空間直線等，形象直觀，運算簡單，學生易于接受。

比如，求空間曲面Σ與空間平面e之間的最近距離。

若空間曲面Σ：f(x,y,z)=0，其一階偏導數連續且不同時為零。

空間平面e：Ax+By+Cz+D=0。曲面Σ 與平面e不相交。由于曲面的切平面 e0一定與平面e平行，曲面Σ 上距離平面最近的點P0一定在平面的某條法線上，這個點P0也是曲面與平面法線的交點。求出點P0坐標，它到平面e的距離就是最近距離。

解得(x0,y0,z0)就是點P0的坐標[4]；

將該坐標代入點到平面距離公式，即得空間曲面Σ 與平面e的最近距離

（三）拉格朗日乘數法

設二元函數z=f(x,y)和?(x,y)存在連續偏導數。用拉格朗日乘數λ將f(x,y)與?(x,y)捆綁，構建拉格朗日函數L(x,y,λ)=f(x,y)+λ?(x,y)，求z=f(x,y)在?(x,y)=0約束下的條件極值。

可以證明，L(x,y,λ)的極值一定是z=f(x,y)在?(x,y)=0約束下的極值。函數z=f(x,y)在?(x,y)=0約束下的可能極值點(x0,y0)，一定在拉格朗日函數L(x,y,λ)的可能極值點(x0,y0,λ0)中[5]。

拉格朗日乘數法可以推廣到兩個以上自變量或一個以上約束條件的情形[6]，是求解多元函數條件極值通用解法，尤其對求解約束條件較多的極值，其解題能力無出其右。

使用拉格朗日乘數法，先構建拉格朗日函數：

求L(x,y,λ)一階偏導數并令其為

零，聯立方程組，

解得(x0,y0,λ0)為可能的極值點。

判斷函數z=f(x,y)在點(x0,y0)取何種極值，多數微積分教材一句帶過：依據問題的實際意義確定[7]。運用經驗判斷最值，極易給人錯覺：唯一駐點處必定都是最值點[8]。因為情況并非總是如此。

事實上，根據隱函數存在定理，判斷函數z=f(x,y)在駐點(x0,y0)取何種極值，應該由拉格朗日函數

L在點(x0,y0,λ0)處的二階微分d2L的正負確定：

若 d2L>0，函數f(x0,y0)取得極小值；反之，d2L<0，函數f(x0,y0)取得極小值[9]。

拉格朗日乘數法適用范圍較廣，對目標函數，條件函數的僅要求偏導數連續的即可。但在具體使用時，

學生對構建拉格朗日函數的數學思路不清晰，對引入拉格朗日乘數λ心生疑慮，加之運算過程較繁瑣，因此在求解是感覺困難。

二、條件極值常用解法示例

（一）代入消元法的應用

例1 用薄鐵皮做成體積為V的無蓋長方體水箱，問長方體的三個棱邊長各為多少時，用料最少？

解 設該長方體的長、寬、高分別為x、y、z（單位為cm），（x>0、y>0、z>0）

根據題意，用料最少是指長方體的表面積最小。

（二）幾何圖形法的應用

根據實際意義，該距離就是空間曲面與空間平面的最短距離。本題中，若對多元函數幾何意義不太清楚，很可能不會靈活使用幾何法。若使用消元代入法和拉格朗日乘數法，運算較繁瑣。

（三）拉格朗日乘數法的應用

根據實際意義（常識判斷），函數L(x,y,z,λ)在點(3a,3a,3a,81a4)處必有極值，所以函數u=xyz極值點必定在唯一駐點處(3a,3a,3a)，因此有u=27a3。

例5 某企業計劃生產甲、乙兩種規格的半導體芯片，產量分別為x和y（單位：萬件），共生產10萬件。

設企業利潤函數為L(x,y)=6x?x2+16y?4y2?2，（單位：萬元），問這兩種芯片各生產多少時利潤最大？

解 根據題意，求利潤函數L(x,y)=6x?x2+16y?4y2?2⑴

在x+y=10下的最大值。

利潤函數L(x,y)=6x?x2+16y?4y2?2和條件函數?(x,y)=x+y?10的偏導數連續。

構建拉格朗日函數F(x,y,λ)=6x?x2+16y?4y2?2+λ(x+y?10)

拉格朗日函數F(x,y,λ)取得極大值。對應地，利潤函數L(x,y)在點(7,3)必定取得最大值，即甲乙兩種芯片各生產7 萬件和3 萬件時，企業利潤最大。

本題采用拉格朗日函數的二階微分論證了最大利潤存在，改變了以往用常識經驗判斷最值的做法。

三、結論

綜上所述，多元函數條件極值在微積分學習和實際生產生活中使用廣泛。三種常用解法各有所長。因為

拉格朗日乘數法由直接極值導出，其適用范圍超出了代入消元法的適用范圍[10]。比如求解函數u=f(x,y,z)在?(x,y,z)=0約束下條件極值，只要u=f(x,y,z)和?=?(x,y,z)有連續偏導數且=0，即可用拉格朗日乘數法。對于代入消元法，若=0，不能使用代入法消去z變量[11]。幾何圖形法多用于常見多元函數圖形，比如空間曲面、平面等內容優化求解。

判斷駐點（可能極值點）取何種極值，雖然多憑直覺經驗，但是拉格朗日乘數法中的二階微分法，代入消元法的二階導數法，都有相應的理論基礎，學生應有所了解，具體問題具體分析，探索選擇最適合的解題辦法，提高解題效率，提升綜合應用數學能力。