對平面向量教學(xué)的深度思考①

于道洋 寧連華

(南京師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 210079)

平面向量是高中階段重要的必修內(nèi)容，是解決諸多數(shù)學(xué)問題必不可少的有力工具，也是高中知識與大學(xué)知識能夠順利銜接的重要橋梁.當前，平面向量教學(xué)中尚存有部分“疑難雜癥”亟待解決，包括但不限于：某些知識點的導(dǎo)入方式，如何促進對某些概念的深層次理解，這些都有進一步完善的空間.以下根據(jù)教學(xué)實踐，試圖對幾處教學(xué)設(shè)計給出切實可行的優(yōu)化策略.

1 如何減少向量學(xué)習(xí)中的負遷移現(xiàn)象

從小學(xué)階段到高中階段，由于學(xué)生長期與“數(shù)與數(shù)的運算”打交道，實數(shù)系統(tǒng)的種種規(guī)則在學(xué)生心目中的印象根深蒂固，因此，盡管學(xué)生還沒有認知近世代數(shù)當中運算封閉性的嚴格定義，但學(xué)生普遍認為：同類的乘積得到的不應(yīng)該是“異類”，向量作為一個新接觸的體系，它的內(nèi)部乘積應(yīng)當像數(shù)與數(shù)的乘積一樣是封閉的，即向量乘向量得到向量，而并非得到一個實數(shù).顯然，這是學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的一種負遷移現(xiàn)象.此前，已有部分文章對平面向量學(xué)習(xí)的遷移現(xiàn)象進行了研究，但未涉及此問題，因此，有必要進一步予以探討.

事實上，學(xué)生之所以形成這種印象，除了上述原因之外還有一個重要因素，即高中階段只講向量的內(nèi)積而不涉及外積.按照學(xué)生的思維定式，向量乘向量理應(yīng)等于向量，誠然，這樣的情形的確存在，只不過是外積，而不是高考考查的數(shù)量積.學(xué)生從未接觸過外積，自然容易將本應(yīng)是外積的運算結(jié)果錯誤地賦予內(nèi)積.

要減少乃至避免負遷移的發(fā)生，應(yīng)當著力于明晰前后兩個概念或是兩個系統(tǒng)的本質(zhì)區(qū)別.學(xué)生在高中階段認為向量的內(nèi)積就是向量之間的乘法運算，然而，在數(shù)學(xué)的世界中，事實并非如此，向量的外積(向量積)才是向量與向量真正的乘法.因此，盡管高考不做要求，但是拿出短暫的時間向?qū)W生簡單介紹外積的定義，讓學(xué)生意識到這才是他們腦海中所設(shè)想的向量應(yīng)有的乘積，恰恰能夠起到讓學(xué)生深刻理解內(nèi)積的作用，不至于再存有向量的內(nèi)積等于向量的錯誤認知.

這樣的教學(xué)策略不僅能夠有效破除學(xué)生的錯誤認識，與此同時，還能夠拓寬學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，促進學(xué)生對平面向量有更為系統(tǒng)和完整的認識.目前，新高考已經(jīng)凸顯出考查學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的趨勢，在考題中命制具有更高知識背景和更高視角的信息題，測試考生臨場學(xué)習(xí)新概念并且快速應(yīng)用的能力，是順應(yīng)新高考趨勢的必由之路.而平面向量的外積，從知識難度、信息量等方面綜合考量，無疑是命題的熱門備選素材.進而，為應(yīng)對這一高考的新變化，在日常教學(xué)中，適當?shù)亍⑦m時地補充新概念，同時，這些新概念又起到了促進學(xué)生對舊概念深入理解的作用，這也正與新課標的理念、新高考的追求相吻合.

除上述現(xiàn)象之外，在實際學(xué)習(xí)過程中，部分學(xué)生“創(chuàng)造性”地讓平面向量擁有了結(jié)合律，這顯然是錯誤的.究其原因，第一，學(xué)生仍然認為向量系統(tǒng)滿足實數(shù)系統(tǒng)的一切運算法則，實數(shù)運算具有結(jié)合律，向量自然也應(yīng)該有，這仍然是一種負遷移；第二，這源于學(xué)生對平面向量點乘積的認識浮于表層，未能理解其本質(zhì).對此，需引導(dǎo)學(xué)生思考如何舉出反例.通過認真的思考便不難得知，三個向量a，b，c做數(shù)量積，若先算a和b的數(shù)量積再計算與c的數(shù)量積，最終結(jié)果一定和向量c的方向一致，反之，若先算b和c，最終結(jié)果一定和向量a的方向保持一致，因此結(jié)合律自然被推翻.

2 問題驅(qū)動下的教學(xué)設(shè)計——巧借疑題教點乘

目前，大量學(xué)生對于平面向量數(shù)量積的坐標表示這一知識點認識不夠深刻，其具體表現(xiàn)是計算公式記憶有誤以及不能主動地在解題過程中運用這一方法處理相關(guān)問題.在課堂教學(xué)中，教師通常按照教材寫法推導(dǎo)向量內(nèi)積的坐標運算，即將任意兩個向量分解為水平方向、豎直方向單位向量i和j的線性組合，再通過向量點乘計算得到結(jié)果.

這種教學(xué)設(shè)計是典型的接受型教學(xué)，多年沿襲，無可厚非.但綜合知識內(nèi)容和學(xué)情狀況，此處的教學(xué)引入不妨在接受的基礎(chǔ)上增加一些探究.正如顧繼玲教授的觀點：“設(shè)計相應(yīng)的數(shù)學(xué)活動可以增進學(xué)生對知識的理解和方法的領(lǐng)悟，其中蘊含著豐富的策略性知識，但這些策略性知識學(xué)生難以自發(fā)產(chǎn)生，需要老師通過適當?shù)膯栴}啟發(fā)引導(dǎo).”[1]對于該知識點，筆者嘗試給出一種“探究+接受”的引入方式，首先，請看以下習(xí)題：

此題使用絕對值三角不等式最為簡潔，該年湖南卷的參考答案給出的也正是這一方法.然而，在實際教學(xué)過程中，部分學(xué)生未能獨立想到參考答案的解法，而是給出了如下解題步驟：

這道題目本身也許平淡無奇，但學(xué)生給出的上述解法引發(fā)了筆者新的思考.何不用此題作為向量數(shù)量積坐標表示的課前引入？在講授過平面向量的坐標表示后，拋出上述習(xí)題.此時的極限情況是全體學(xué)生中無人給出教師期待的解法，那么，教師需現(xiàn)身說法，請學(xué)生思考這一解法能否奏效.若班級學(xué)生中有人給出了類似解法，則教師可以因勢利導(dǎo)，抓住學(xué)生解題中遇到的這一障礙，適時地提出如下問題：是否有一種方法，能求出x和y的線性組合的最大值？

隨后，教師不妨?xí)呵覕R置本題，詳細推導(dǎo)向量數(shù)量積等于橫坐標相乘加縱坐標相乘的由來，在此過程中，學(xué)生始終帶著如何創(chuàng)造解題新工具的好奇跟隨教師的思路前行，這節(jié)新授課的教學(xué)效果自然得到了提升.同時，在完成此題求解的過程中，學(xué)生無形之中又溫習(xí)了用模長和夾角計算向量點乘積的舊知，一舉多得.

縱觀數(shù)學(xué)發(fā)展史，在數(shù)學(xué)研究過程中，好奇心和解決問題過程中遇到的障礙往往是催生新方法和新數(shù)學(xué)工具的催化劑.對于這樣的輔助元素，波利亞曾說：“要通過適當?shù)恼f明，使得最引人注目的步驟的動機和目的可以被理解.”[2]對于學(xué)生而言，在解決問題的過程中遇到的瓶頸，以及對此所做的嘗試正是學(xué)生學(xué)習(xí)的起點.此時引入能夠帶領(lǐng)學(xué)生突破瓶頸的新知識，能夠讓學(xué)生更真切地感受到學(xué)習(xí)該內(nèi)容的必要性，對知識的理解也自然加深了幾分.

3 結(jié)束語

平面向量是高中階段十分重要的數(shù)學(xué)工具，毋庸置疑，本章的教學(xué)效果和教學(xué)方式直接影響著學(xué)生對數(shù)學(xué)的系統(tǒng)性理解水平和解題能力.盡管當下已不乏針對平面向量教學(xué)設(shè)計、解題訓(xùn)練方法等方面的研究論述，但學(xué)生和課堂教學(xué)都是處于不斷發(fā)展變化中的復(fù)雜綜合體，始終有新的疑難和新的障礙產(chǎn)生.因此，平面向量的教學(xué)，值得教學(xué)研究者和數(shù)學(xué)教育工作者進一步深入思考和探討.