基于數學抽象的“函數性質”單元教學設計①

羅德建 劉春艷

(1.北京師范大學附屬中學100052；2.北京教育學院100044)

數學抽象位于數學學科核心素養之首，也是數學基本思想之一，讓高中學生經歷數學抽象的過程，體會數學抽象的方法，對于其理性思維的發展和創新能力的培養起著至關重要的作用．數學抽象主要表現為：獲得數學概念和規則，提出數學命題和模型，形成數學方法與思想，認識數學結構與體系[1]．由此可見，數學概念是發展學生數學抽象素養的重要載體．

函數是現代數學最基本的概念，是高中階段最重要的概念之一，是貫穿高中數學課程的主線．函數性質是函數概念的延伸，對于深入理解函數概念、應用函數模型分析和解決相關問題起著承上啟下的關鍵作用．對于函數性質的學習，一方面學生缺少系統地研究函數性質的經驗，另一方面用數學符號語言表達函數性質，既嚴謹又抽象，所以在學習這部分內容時學生普遍感覺難度很大．在諸多與函數性質教學有關的文章中，大都聚焦于如何對函數的某一種性質開展教學，如文[2]、[3]等．那么，如何幫助學生從整體上認識函數的不同性質、發現不同性質之間的共性，通過函數性質的學習，經歷數學概念的抽象過程，積累研究性質的經驗，進一步提升數學抽象的思維水平？這是值得我們思考的問題．

文[4]從數學教學的視角，建立了“基于數學抽象的概念形成模型”，使得基于數學抽象的概念教學更有抓手．應用該模型，函數性質概念的抽象過程可依據如下模式進行：首先創設情境，從一些熟知的函數及其圖象入手，識別關鍵要素；利用符號語言對函數值y隨自變量x的變化而變化的規律進行定量刻畫，分析與建構關鍵要素之間的邏輯關系，形成函數性質的概念；通過應用實現函數性質的精致化與系統化．在這個過程中，讓學生從直觀感知上升到理性認識，經歷從“簡約”，到“符號”，再到“普適”[5]的數學抽象的全過程，形成自己對函數性質的感悟和理解，提升數學抽象素養．

我們知道，單元教學設計有助于學生實現學習進階、建構數學知識體系，學會用聯系的觀點思考問題，對所學內容進行分析、評價與整合創造．文[6]提出了數學單元教學操作的具體流程．本文嘗試從單元教學角度，將不同函數性質的教學形成整體設計，并應用“基于數學抽象的概念形成模型”幫助學生經歷形成函數性質概念的過程，深入理解性質本質，體會數學抽象的思想與方法．

1 “函數性質”單元教學設計

1.1 教學內容分析

研究函數是出于實際的需要，生活中的變化無處不在，我們需要用函數來刻畫變量之間的相互依賴關系．函數的應用體現在通過建立函數模型解決與運動變化、對應關系、幾何變換等有關的數學問題、現實問題和科學問題中．函數模型的性態就是事物的變化規律，把握了函數的性態就掌握了事物的變化規律[7]．

性質是變化中的不變性或規律性．高中階段學習的函數性質包括單調性、奇偶性、周期性、最值、極值、零點等．不同函數性質的本質都是當自變量變化時，對應的函數值在隨之變化的過程中體現出的不變性或規律性，因此要緊扣函數的三要素來探索和發現函數的性質．變量的變化是指其取值的變化，即從一個值變到另一個值，對于實數集，序關系也就是通常的大小關系，是基本也是重要的關系．因此，我們會關注當自變量x增大時，對應的函數值y的變化是否保持同序(或變為反序)，這就是函數單調性的本質特征，也是所有函數都可以研究的一個性質．單調性決定了函數圖象的走勢，這也是我們在研究函數圖象時應首先考慮的特征．單調性與其他函數性質密切相關，如函數的最值、極值、零點等；由函數單調性還可以解決函數值的大小比較、求解不等式、方程根的分布等問題．從這個意義上講，單調性是函數性質中應首先研究的性質，是函數最重要的性質之一．

當自變量x呈特殊變化，如取相反數，由x變化到-x時，對應的函數值y不變或變為相反數，即為函數的奇偶性；當自變量x變化到x+T時，對應的函數值y不變，即為函數的周期性．對于具有奇偶性和周期性的函數，可以由函數的局部性質得到函數的整體性質，幫助我們簡化研究過程．當自變量x在定義域內變化時，對應的函數值y是否有界及能否取到上界或下界，即為函數的有界性或最值問題．若將自變量x的變化范圍縮小到定義域內某點附近的一個鄰域，則函數在該鄰域內的最值即為該函數的一個極值．若關注自變量x在定義域內取何值時，對應的函數值y為0，即為函數的零點．最值、極值、零點等性質對應了函數圖象上的特殊點．

研究函數性質的一般方法是“圖形直觀—自然語言—形式化定義”[8]，用“函數圖象”和“代數運算”的方法來研究函數性質，這里體現了“形”與“數”的結合，即“通過幾何建立直觀，通過代數予以表達”[9]．

1.2 學情分析

在學習函數性質之前，學生已經學習了函數及其表示方法，知道函數是一種實數集合之間的對應關系，可以用解析式、圖象、表格等方法來表示．對于函數這個數學對象來說，類比在預備知識中對集合、等式、不等式等數學對象的研究過程，還應該研究函數的性質、分類、應用等．這也是研究一個新的數學對象的一般過程．

初中教材沒有對“函數性質”進行嚴格界定，只是從直觀上分別對三類具體函數(一次函數、二次函數、反比例函數)的圖象特征進行觀察，發現圖象的變化規律，再根據這些規律得出數值大小的性質，并用自然語言進行描述．對“函數性質”，沒有明確的數學符號表達，也沒有對三類函數的性質進行歸納．事實上，大多數學生能大致知道什么是“函數性質”，也能通過觀察函數圖象發現函數的一些性質，但還需體會嚴格定義函數性質的必要性，比如我們畫出的函數圖象只是大致圖象，由離散到連續的過程不能僅僅依靠直觀感知，而需通過嚴格定義的函數性質來規范函數圖象．此外，對于初中不涉及的函數性質，如何引導學生觀察，如何引入符號語言對定性描述的函數性質進行定量刻畫，以及如何整合與性質有關的各個要素，歸納出定義等等，都是學生在函數性質學習中會遇到的困難．

1.3 教學目標分析

《普通高中數學課程標準(2017年版)》中，對“函數性質”的內容要求是：①借助函數圖象，會用符號語言表達函數的單調性、最大值、最小值，理解它們的作用和實際意義．②結合具體函數，了解奇偶性的概念和幾何意義．③結合三角函數，了解周期性的概念和幾何意義．

對于上述目標可進一步理解為：借助一次函數、二次函數、反比例函數等學生熟悉的函數，將函數圖象“從左至右看上升或下降”的直觀描述與“函數值y隨自變量x的增大而增大或減小”的性質相對應，會由“自然語言表達”過渡到“符號語言表達”，進而得到函數單調性的定義．符號語言是指集合、邏輯用語、與函數有關的不等式．類似的，可以得到函數最值的定義．能舉例說明單調函數與非單調函數、有最值的函數與無最值的函數；能根據單調性、最值對一些函數進行分類．奇偶性和周期性是初中階段沒有學過的函數新性質，可通過觀察具體函數的圖象“發現”對稱性，由任意角三角函數的定義“體會”周期性，類比單調性的研究過程，用符號語言描述函數圖象的直觀特征，得到奇偶性和周期性的定義．

在函數單調性、奇偶性等概念的形成過程中，經歷由具體直觀到抽象概括，由圖形語言和自然語言到符號語言表達的過程，加深對函數概念的理解，體會數形結合的思想方法，發展數學抽象素養．

1.4 教學過程

將單元教學目標分解到課時，以人教B版高中數學必修教材為例，函數單調性、最值的教學可設定為3課時，其中第1課時是函數單調性的定義與證明，第2課時是函數最值的定義、單調性的簡單應用，第3課時是函數的平均變化率、單調性的綜合應用；函數奇偶性的教學可設定為2課時，其中第1課時是函數奇偶性的定義與證明，第2課時是函數奇偶性的應用．

下面筆者將以函數單調性第1課時、函數奇偶性第1課時的主要過程為例闡釋函數性質教學的一般過程．

課例 1函數的單調性

(一)情境引入

追問1.1：根據對等式“性質”、不等式“性質”的理解，你認為什么是函數的“性質”？

追問1.2：函數的性質包括哪些內容？

追問1.3：如何研究函數的性質？

設計意圖引入環節的設置強化對一個數學對象研究的基本方法：對象—性質—聯系—應用．作為函數性質單元的起始課，承擔著承上啟下的作用，既與前面的函數概念一脈相承，又為后續的聯系與應用奠定基礎．通過回顧三類具體函數的圖象與性質，提出本單元統攝性的問題：什么是函數的性質，函數性質包括哪些內容，以及如何研究函數的性質．引導學生從更一般的角度思考函數性質的研究內容和方法，聚焦函數單調性的相關要素．通過實例，讓學生感受到再次研究函數單調性的必要性，啟發學生從代數角度，嘗試用符號語言嚴格的給出單調性的定義，讓學生感受到對函數單調性的再研究基于初中的直觀認識，是對初中認識的延續與深化，并在這個過程中感悟數學思想，形成基本數學活動經驗．

(二)分析建構

問題2：函數f(x)=x2的單調性是怎樣得到的？你能用符號語言定量的描述“y隨x增大而增大(或減小)”嗎？

學生在描點、連線繪圖的過程中，感受到從左至右圖象下降或上升的趨勢，同時體會到嚴格解釋“y隨x的變化如何變化”的必要性．

追問2.1：先看y軸右側部分的函數圖象，x在什么范圍增大？

追問2.2：你怎么理解“x增大”？

追問2.3：對于自變量x，為什么是取兩個值，而不是取三個值或者更多？

追問2.4：x1和x2是怎么取的？取兩個特殊的x1和x2可以嗎？為什么？

追問2.5：如何理解對應的函數值y隨自變量x的增大而發生的變化？

追問2.6：如何描述“對應的y增大”了？

追問2.7：圖象可以幫助我們發現結論，但不能作為嚴格證明．你能嚴格證明“對于函數f(x)=x2，當x≥0時，y隨x的增大而增大”嗎？

設計意圖從學生熟悉的二次函數入手，由形到數，逐步實現由自然語言表達到符號語言表達的轉換，圍繞函數概念的三要素，理清單調性定義中涉及的各個要素之間的邏輯關系，初步建構函數單調性的定義，讓學生感受到數學的嚴謹性．

(三)抽象概括

問題3：根據剛才的分析，從特殊到一般，你能用符號語言給出增函數的判斷規則嗎？

追問3.1：增函數的圖象具有什么特征？

追問3.2：類比剛才的研究過程，能否給出減函數的判斷規則？

追問3.3：減函數的圖象具有什么特征？

設計意圖利用 “從特殊到一般”和“類比”的數學思想方法，明確單調性的定義和屬性．在形成函數單調性定義及其對應的圖象特征的過程中，讓學生進一步體會給一個數學對象下定義的一般過程與方法．

(四)應用理解

問題4：兩人一組，每人寫出一個一次函數、二次函數和反比例函數，并請隊友分別寫出它們的單調區間.

設計意圖突出函數單調性是定義域內某一區間上的性質，是函數的局部性質．我們在求函數的單調區間時，一般默認是求出函數的最大單調區間．運用函數單調性的定義解決本節課初始提出的問題，前后呼應．

課例2函數的奇偶性

(一)情境引入

設計意圖通過熟悉的函數及其圖象，明確提出研究問題，聚焦奇偶性的本質屬性—對稱性．

(二)分析建構

問題2：上述函數都具有對稱性，具體分為幾種情況？

追問2.1：函數有三要素，其中定義域和對應關系起決定性的作用．要保證函數圖象的對稱性，對于函數的定義域和對應關系有什么特殊要求嗎？

追問2.2：對于f(x)=x2和g(x)=2-|x|這類函數，其圖象關于y軸對稱，類比函數單調性，如何用符號語言描述“函數圖象關于y軸對稱”？

追問2.3：“對定義域內任意自變量x，函數f(x)都滿足f(-x)=f(x)”與“f(x)圖象關于y軸對稱”是否等價？

追問2.4：你還能舉出其他具有這種性質的函數嗎？

設計意圖從函數三要素出發，引導學生關注定義域和對應關系，這也是奇偶性的核心要素，再建構要素之間的邏輯關系．

(三)抽象概括

問題3：我們將具有這種性質的函數叫做偶函數，根據上面的分析，你能給偶函數下個定義嗎？

追問3.1：如果已知偶函數在y軸一側的圖象，你能畫出它在另一側的圖象嗎？為什么？

追問3.2：類比上述研究過程，你能否用符號語言刻畫圖象特征為“關于原點對稱”對應的性質？進而給另一類函數“奇函數”下個定義？

追問3.3：如果已知奇函數在y軸一側的圖象，你能畫出它在另一側的圖象嗎？為什么？

設計意圖明確奇偶性的定義和本質屬性，通過類比的方法下定義，理解數學定義的邏輯結構，提升學生抽象概括的能力．

(四)應用理解

問題4：函數的奇偶性與單調性有什么不同？它們有什么聯系嗎？

問題5：兩人一組，每人寫出一個奇函數、一個偶函數、一個非奇非偶函數，一個既是奇函數又是偶函數的函數，請隊友進行證明．

追問5.1：這些函數是怎樣構造出來的？

2 對“函數性質”單元教學的反思與建議

單元教學最重要的特征就是整體有序性，在“函數性質”的單元設計中，更加明確函數主線的研究方向，更加清晰地建立不同函數性質之間的內在聯系．主要體現在：

(1)重視單元引入和單元小結

如“函數的單調性”一節中，情境引入的問題1及前3個追問，就是單元引入，明確單元學習的主要內容和基本方法：主要內容有單調性、最值、奇偶性(對稱性)等，基本方法是“由形到數”、“從特殊到一般”、“從具體到抽象”等，幫助學生初步建立單元知識體系．限于篇幅，本文沒有呈現單元小結，在實際教學中，單元小結再次復習回顧了函數性質的研究脈絡和研究方法，梳理函數不同性質之間的聯系.

(2)重視函數性質的抽象過程

教學設計從形式上遵循“總—分—總”的結構，首尾呼應，更重要的是內在邏輯關系的一致性．本單元設計在“基于數學抽象的概念形成模型”基礎上，根據函數性質的本質特征，建立了“基于數學抽象的函數性質的概念形成過程”，即情境引入—分析建構—抽象概括—應用理解．在這條主線的引導下，更加突出函數性質的整體性，學生可以舉一反三，逐步獨立去研究更多的函數性質，并遷移至后續的教學中，如讓學生自己去發現和研究圓錐曲線的幾何性質等，促進其數學抽象素養的提升．

(3)重視對函數概念的進一步理解

函數性質刻畫的是函數的要素之間的關系，是函數概念精致化和系統化[4]的一部分．一方面，研究的過程基本一致．函數性質的教學過程設計與函數概念的是一致的，均從熟悉的具體函數入手，學生經歷由直觀描述到符號語言表達的抽象過程；另一方面，對于函數性質的研究始終圍繞函數概念進行，即當自變量x變化時，對應的函數值y隨之變化，這種變化中不變的規律正是函數的性質．在研究的過程中充分利用“數形結合”、“運動變化”、“特殊到一般”、“類比”等思想方法，這些也是函數概念學習中需要重視的．進一步，后續對函數性質的理解和應用也是函數概念和函數性質精致化和系統化的過程．

在學習中還可以聯系或類比其他數學對象的性質，如類比不等式的“性質”體會函數的“性質”，提升對“性質”的理解．需要指出的是，對于每個不同的函數性質的發現過程不一定是真正意義上的歸納，如周期性，在教學中可適當淡化歸納，強調如何由“形”到“數”，抓住性質的本質特征，用符號語言嚴格定義函數性質．

(4)重視對函數性質的進階設計

函數性質的學習是一個學習進階的過程，即學生在一個較大時間跨度內對某一學習主題的認識、理解和實踐從簡單到復雜、從低水平到高水平的發展過程[10]．教師應將各個函數性質的教學進行進階處理，在單調性的教學中由例子到規則，注重問題引導，加強符號語言的指導；在最值、奇偶性、零點、周期性、極值等函數性質的教學中敢于放手，充分利用“類比”的方法，重在追問的設計和師生共同完善定義的過程．讓學生從模仿、類比到遷移、創造，體會研究函數性質的一般方法，熟悉對一般規則的符號和邏輯表達，將對函數性質的認識和學習置于函數主線中，注重聯系，螺旋上升，逐漸深入．

數學重思維、講邏輯，數學教學應通過問題設計和數學活動的開展，讓學生經歷數學概念的形成過程，學會如何去除背景，抓住本質屬性，歸納共同特征，抽象出數學對象，用符號語言合理定義，并研究其相關應用，這樣的數學課才會具有“數學的味道”．體現在函數性質的教學中，應注重培養學生學會觀察和分析，并利用“符號語言”進行表達，有意識地運用函數的概念與性質去認識和表達客觀規律．基于數學抽象的函數及其性質的教學有助于函數思維的形成．學生在這個過程中不僅能體會到研究函數及其性質的普適性方法，還能遷移形成研究一個新的數學對象及其性質的一般方法．授之以魚，不如授之以漁，長此以往，這樣的教學必然能實現落實“四基”、促進“四能”的課程目標，真正提升學生的數學核心素養．