電液比擬的液壓油缸管路系統動態特性分析

秦 磊，吳仁智

(同濟大學 機械與能源工程學院， 上海 201804)

液壓油缸是液壓傳動中比較常見的負載驅動元件，其管路系統由油缸本身和構成回路的管路組成。外部負載決定了油缸管路系統的壓力大小，在動態過程中，負載沖擊對油缸管路系統壓力造成不同形式的振蕩脈動，振蕩脈動的壓力又使負載具有不同的運動動態響應[1-2]，影響液壓系統的控制性能，降低其響應速度、干擾其控制信號[3-5]。高頻振蕩脈動的壓力還會造成管路或元器件的振動[6-9]，為降低泄露，管路系統密封性能要求就會更高[10-11]。從流固耦合作用考慮，降低壓力振蕩脈動的頻率可以提高管路系統疲勞壽命[12-13]，為抑制共振，還須進行管路系統的模態分析，并避開固有頻率，甚至須避開多個模態振型固有頻率[14-17]。液壓油缸管路系統的動態特性與整個液壓系統的性能息息相關，影響因素眾多。油液的可壓縮性在動態過程中不可忽略，再結合管路容腔和油缸容腔的作用，壓力會因其呈現出不同形式的動態特性[18-21]；油液黏性作用消耗了能量，動態過程中其對振蕩脈動壓力起到阻尼的作用；外負載具有慣性、彈性等機械特性，與液壓油缸管路系統中的壓力振蕩脈動存在耦合作用[22]。在此多重因素的影響下，液壓油缸管路系統的動態性能呈現出復雜的、難以預判的情形，需進行深入的機理研究。

電、液均遵循能量守恒定律，都具有閉合回路的通性，本文嘗試將電路、液壓回路建立關聯用以研究液壓油缸管路系統的動態特性，通過電、液比擬，將液壓油缸管路系統的各相關參數與電路模型建立對應關系，再運用“基爾霍夫電壓/電流定律”類比研究液壓壓力、流量等參數的動態特性，為液壓油缸管路系統中壓力振蕩脈動的研究提供一種新的方法，此外，在液壓系統的控制性能上，從液壓管路層面提供更優的方法。

1 電路與液壓管路的參數對應關系

電容、電阻和電感等元件是電路中的基本元器件，衡量動態特性的變化量為電壓、電流。液壓油缸管路系統的動態特性影響因素可分為3類：液容、液阻和液感，衡量動態特性的變化量為壓力、流量。液容與液壓油的體積模量、管道的彈性模量相關；液阻與液壓油的黏性相關，會造成壓力損失；液感與液壓油的密度相關，會使一定質量的油液具備維持原有運動狀態的能力。液容和液感、電容和電感僅發生能量的轉換、沒有損耗，能量轉換是可逆的；液阻、電阻作用發生了能量損耗，這是不可逆的。電路與液壓管路之間的參數對應關系如表1所示。

表1 電路、液壓管路參數對應關系

電容、液容在動態過程中是電壓、壓差的微分函數，電感和液感在動態過程中分別是電流和流量的微分函數，參數間再進行轉換又需進行積分，積分結果與參數的初始值有關，微分或積分函數的存在使得電路或管路具備一定的動態響應過程。

2 液壓油缸管路系統的電路化模擬

2.1 液壓油缸管路系統電路化建模

將液壓油缸元件及其驅動的負載作為液壓管路系統的一部分，建立圖1所示的液壓油缸管路系統，油缸桿及負載的總質量為m，負載彈性系數為k，負載阻尼系數為c，油缸大腔壓力為p(t)，油缸大腔活塞有效截面積為A，油缸大腔進油體積流量為Q(t)，不計重力影響。

圖1 液壓油缸管路系統示意圖

建立液壓油缸的動力學方程為

(1)

式中：x為油缸桿或負載的運動位移，正方向如圖箭頭所示。

(2)

(3)

建立電路與式(3)的等效回路，得到圖2。

圖2 液壓油缸管路系統的等效回路與電路對應關系示意圖

(4)

對式(4)進行拉普拉斯變換，得

RhcChc[s·Pc(s)-pc(0)]+Pc(s)

(5)

轉換后，可得

(6)

2.2 液壓油缸管路系統的動態特性

為更直觀表現液壓油缸管路系統的動態性能，采用數值仿真的方法進行研究，設定的初始參數值如表2所示。

表2 液壓油缸管路系統仿真初始參數

(7)

式中：各參數含義同式(6)，其他相關元件參數的動態響應方程為：

液感端壓力響應

(8)

液阻端壓力響應

(9)

流量響應

(10)

對應式(7)～(10)的數值仿真結果如圖3所示。

從圖3可看出：液壓油缸管路系統中液容壓力pc(t)、液感壓力pL(t)、液阻壓力pR(t)、流量Q(t)均呈周期衰減振蕩，t→∞時穩態值均收斂，pc(t)|t→∞=13.5 MPa，pL(t)|t→∞=0 MPa，pR(t)|t→∞=0 MPa，Q(t)|t→∞=0 m3/s，[pc(t)+pL(t)]|t→∞=13.5 MPa。結合圖3(e)，動態過程中，液容和液感單獨作用時振蕩幅值較大，壓力振蕩脈動中起主要作用，而pc(t)+pL(t)綜合作用的振蕩幅值卻較小。因此，液壓油缸管路系統中的壓力振蕩使得液感與液容之間發生較大的能量互換，剩余未參與互換的較少能量在液阻中被損耗掉。由式(2)或(3)、式(10)可知，由于函數間的耦合作用，流量也存在振蕩。

圖3 液壓油缸管路系統各參數動態響應數值仿真曲線

2.3 壓力振蕩脈動的控制方法

圖4 油缸管路動態響應曲線：液感為定值、液容為變量

圖5 油缸管路動態響應曲線：液容為定值、液感為變量

從圖4可以看出：液感為定值，隨著液容的增加，各參數的振蕩脈動頻率都減小，但幅值有差別，圖4(a)、(b)液容和液感獨立作用的幅值外包絡線恒定，最大幅值不變，各參數下的超調量相近，而且，液容和液感的響應始終保持相位相差180°。圖4(c)液容和液感綜合作用的幅值有較大變化，液容越大、綜合作用的最大幅值越大，圖4(d)液阻響應與圖4(c)綜合響應基于穩態值為平衡中心時等值反相(相位差180°，基于穩態值為零點時最大幅值相同)。因此，液壓油缸管路系統中，液容和液感的存在使得油液中的壓力存在振蕩脈動，其幅值受液容和液感的綜合影響，綜合影響的壓力值等值反相作用于液阻上。

從圖5可以看出：液容為定值，隨著液感的增加，各參數的振蕩脈動頻率均減小，圖5(a)、(b)幅值的外包絡線均向外擴大，即最大幅值隨液感增加而增加，而且，液容和液感的響應同樣是始終保持相位相差180°。圖5(c)中，在初始時刻，較大的液感可以降低超調量，但振蕩的衰減卻隨液感的增加而越緩慢(調節時間變長)。圖5(d)液阻響應與圖5(c)綜合響應基于穩態值為平衡中心時也具有等值反相的規律(相位差180°)。

再結合對比圖4(c)和圖5(c)，圖4(c)中隨著液容的減小、綜合響應的振蕩脈動幅值減小，圖5(c)中隨著液感的增加、綜合響應的振蕩脈動幅值卻增大，據此，可推定，可能存在相匹配的液容和液感組合，使得綜合響應的振蕩幅值為零、壓力的振蕩脈動完全被抑制，此時，需要液感響應和液容響應具有相同的頻率、相同的幅值、相差180°的相位角，為驗證這一推定結論并對其求解，從方程的理論推導進行分析。

(11)

將式(11)統一成正弦項的函數，得到

(12)

由式(11)和(12)可見，不同方程間的變換僅存在微分、積分，且冪次數最高為1，對于正弦或余弦項，無論進行多少次的微分或積分，都不會改變圓頻率ω的大小、有變化的僅為初始相位角(如式(12)中的0°、90°、180°等)，這樣，在公式推理中就可不需考慮正弦/余弦量中的圓頻率角度ωt而僅考慮初相位角度，在同一激勵下，液容、液感、液阻和流量等參數的動態響應具有與激勵相同的圓頻率ω，存在區別的是幅值和相位，故在各參數的頻率保持相等的情況下，公式理論推理過程中可先不考慮ω參數項，在最終的計算結果中再直接代入含ω的不變項即可。本文統一采用正弦量進行計算(同式(11)轉換為式(12)，余弦量可變換為正弦量)，這種處理正弦量的方法，便可采用相量用以表達正弦量，采用相量的方式對式(12)中的各個正弦量進行表達，得到

(13)

式(13)對應的相量圖如圖6所示，其中逆時針旋轉方向的角度為正。

圖6 液容、液感、液阻和流量的相量圖

(14)

PC=LhcChcω2PC

(15)

PC明顯非零，進一步變換，得到

(16)

XhL=XhC

(17)

因此，要消除液感和液容的綜合影響，所需的必要條件為滿足方程(17)即可。

(18)

返回到式(17)可知，要使得液容和液感的綜合影響得以相互抵消消除，需要滿足液感抗XhL與液容抗XhC相等的條件?，F在來推導使XhL=XhC實現的方法及具備的條件。

(19)

基于表3的數據，可得液感Lhc=2.66×107H；液容Chc=1.50×10-9F；液阻Rhc={2.66×107，1.33×108，2.66×108，5.32×108}；油缸大腔壓力p(t)=13.5 MPa以階躍形式加載；系統具有零初始條件，基于式(6)～(10)得到液壓油缸管路系統的動態響應如圖7所示。

表3 液壓油缸管路系統仿真初始參數

圖7 不同阻尼比液壓油缸管路系統動態響應曲線

由圖7(a)～(d)可知，負載阻尼比的變化改變了外負載共振固有頻率的同時，也改變了油缸管路系統中液容、液感、流量、液阻等參數動態響應的頻率，前述推論得到證實。在阻尼比0<ζ<1的欠阻尼情形中，油缸管路系統各參數具有衰減振蕩的特性；ζ≥1為臨界阻尼(ζ=1)和過阻尼(ζ>1)情形，液容的壓力響應無振蕩性、超調量為零，液感、液阻和流量等參數的動態響應仍呈現振蕩性、且超調量與ζ近似反比。在整個動態過程中，負載作用產生的階躍壓力使管路系統流量初始時負向流動，液容從負向流量中吸收并儲存壓力能量，液感使管路中壓力出現脈動振蕩、并與液容能量互換。

結合圖7(e)，液容和液感綜合作用的動態響應中，初始時壓力從平衡點(13.5 MPa)瞬時驟降、隨后在波谷瞬時上升，最終穩定于平衡點(13.5 MPa)，阻尼比越大、波谷的位置越低，波谷并未越過零值，因此波谷降低了管路中的壓力。在ζ≥1時，液容和液感的綜合響應不再有周期振蕩特性，最大壓力值不超過平衡點壓力(13.5 MPa)，這種情形即存在液容和液感相互抵消消除的綜合作用，壓力振蕩脈動得到抑制。從控制性能上考慮，為消除壓力振蕩脈動，需使ζ≥1、超調量始終保持為零，但ζ越大，調節時間、上升時間就會增大，不利于控制的快速性、精確性，因此ζ≈1即可滿足綜合要求，這時外負載系統處于臨界阻尼狀態、沒有周期振蕩，也使液壓油缸管路系統的動態響應沒有振蕩脈動，同時又使整個液壓油缸系統具備調節時間和上升時間較適宜的控制性能。

需要說明的是，流量的流動是有方向的，液感產生的壓力響應可為正、可為負，對應于油液壓力能和動能的轉換關系，在圖7(a)中出現的較大的負壓反映的是液感的壓力回收，將動能轉換為壓力能，而正壓表示壓力能轉換為油液動能，液感的正、負壓不是實際管路中的壓力測量值；考慮流量方向后，液阻的壓力響應也可為正、可為負，如圖7(d)所示，為正時說明流量與原參考設定的方向一致、為負時說明流量與原參考設定的方向相反，類似于電路中的參考電壓、參考電流方向的設定。

3 結論

1) 液壓油缸管路系統中的壓力振蕩脈動由液容、液感引起，液容和液感之間發生液壓能量的相互轉換，兩者間的能量轉換是可逆的。

2) 液容抗XhC=液感抗XhL時，液容和液感之間產生的壓力振蕩脈動可以相互抵消，此時液容和液感綜合作用的壓力脈動幅值最小。壓力振蕩脈動的頻率與油缸驅動的外負載無阻尼固有頻率相等，即發生共振時，可以獲得XhC=XhL。

3) 為得到最優控制性能，使外負載阻尼比ζ≈1處于臨界阻尼狀態時，與之相匹配的液壓油缸管路系統的壓力動態響應頻率接近零、不具有振蕩脈動特性、油缸管路系統與外負載的共振被抑制，控制性能上的調節時間和上升時間綜合性能較優、超調量接近零。