綜合考慮水平和豎向地震作用的邊坡穩定數方法

閻飛，靳寶

（北京京能地質工程有限公司，北京 102300）

0 引言

穩定性分析是邊坡工程設計中一項十分重要的工作。目前，按照穩定性計算是否需要進行數值算法求解，邊坡穩定分析方法可以分為解析法和數值法兩大類。其中，極限平衡法即為解析法的代表，邊坡規范中的不平衡推力法即為極限平衡法的一種。數值法主要包括有限元法、邊界元法、光滑粒子法等。

不排水前提下，有限均質邊坡穩定安全系數的確定通常需要采用泰勒穩定圖（Taylor,1937,1948）。根據工況以及假設條件的不同，國內外學者提出并論證了多種邊坡穩定性分析技術方法（Janbu,1954;Bishop,1955;Price and Morgenstern,1965;Spencer,1967;Majumdar,1971;Sarma,1973;Ling et al.,1997;Ling and Leshchinsky,1998;Chowdhury et al.,2009;Cheng and Lau,2014;Duncan et al.,2014）。

一般而言，當作用載荷為靜載荷時，能夠借助泰勒穩定圖輕松實現對穩定數的求解。然而地震作用所帶來的影響卻未能體現在傳統泰勒穩定圖中。由于強度較大的破壞性地震往往會導致邊坡失穩，因此若能將地震作用帶來的影響在傳統泰勒穩定圖中加以體現，就能為邊坡工程抗震設計帶來極大便利。在泰勒穩定圖法完善過程中，國外學者引進土體修正摩擦角指標時考慮了水平地震影響（Majumdar,1971）。水平地震影響通常是邊坡穩定圖分析需要考慮的一個主要因素，但盡管如此，地震力垂直分量同樣應引起高度關注，這已被最新研究成果證實（Chopra,1966;Lew,1991;Ling et al.,1999;Shukha and Baker,2008），其之所以如此，主要是由于動應力分布會在豎向地震影響下而發生顯著改變（Lew,1991）。縱觀美國舊金山大地震（Stewart and Ashford,1994）、北嶺地震（Bardet et al.,1995）以及阪神大地震（Aoi et al.,2008）等世界范圍內曾發生過的大型地震可以發現，豎向地震作用所帶來的影響不容忽略，在某些案例中最大豎向地震作用甚至不小于水平地震作用。例如，阪神大地震的垂直加速度就是水平加速度的130%（Aoi et al.,2008），而巖手-宮城內陸地震的水平加速度僅為垂直加速度的50%（Dawson et al.,1999）。為了更好地分析地震作用下邊坡的穩定性及位移變化，Ling et al.（1999）借助對數螺旋法對相關問題進行了研究，研究結果顯示：當地震過程中同時存在水平及垂直加速度時，邊坡穩定性會發生較為顯著的變化。

本文以前人（Majumdar,1971）工作為基礎，同時將水平和豎向地震作用考慮在內，改進傳統泰勒穩定圖，以期對地震多發區的邊坡穩定性研究提供參考。

1 改進穩定數法

1.1 相關公式推導

根據傳統泰勒穩定圖，當土體內摩擦角φ保持不變時，穩定數c/（F·γ·H）和邊坡傾角i是一一對應的。其中，c、F、γ和H分別表示土體粘聚力、邊坡安全系數、土體重度和邊坡高度。原始泰勒邊坡穩定圖所對應的公式在推導過程中做了假設前提：（1）待研究的邊坡土質是均勻的；（2）不同深度處土體粘聚力c保持恒定；（3）以總應力法加以分析；（4）破壞面為圓形且通過邊坡坡腳；（5）破壞面土體抗剪強度適用摩爾-庫侖準則。

在繼續堅持上述假設的基礎上，Majumdar（1971）考慮水平地震作用，提出了修正的摩擦角的概念，將傳統的邊坡穩定圖拓展到了水平地震作用情況。本文同時考慮水平和豎向地震作用，在此工作的基礎上做進一步的分析。

圖1所示為某一高度為H，邊坡傾角為i的均質黏土坡斷面，圓柱面FE為該邊坡的潛在破壞面，且該圓柱面半徑為R，圓心為O(h,k) 。破壞弦線EF與水平面之間夾角為α0，破壞圓中心角為20β，由以上兩個角度可確定圓心O(h,k) 位置。

圖1 土坡幾何圖

滑動體FGE受力情況：（1）重力W，作用點為重心處；（2）水平地震作用力Fh，以及豎向地震作用力Fv，作用點均為重心處。Fh方向一般取遠離邊坡的水平方向，Fv方向一般取豎直向上（下）；（3）粘聚力C，方向沿破壞面；（4）摩擦抗力，方向沿破壞面切向。

于是滑動體的體積力WE可表示為：

（1）式中，V為潛在滑動土體的體積，γE為綜合考慮W、Fh以及Fv后的等效重度，又

上述（2）、（3）、（4）各式中，W為滑動土體自重，kh和kv分別為水平地震系數和豎向地震系數。

將體積力WE對圓心O 求矩，力矩可表示為

（5）式中，d和l分別表示豎向、水平地震作用的力臂。綜合上述5式并作必要簡化，即可得

如圖1，對單位厚度且重量為Wj的第j片豎向土條，其寬度取Δx，y1和y2分別表示土條底部和頂部距水平軸的實際距離。不考慮粘聚力引起的抗力作用，則總抗力可表示為

式（7b）中，θj為第j片豎向土條底部中心切線和水平線之間所形成的夾角，b為滑動體在水平面形成的投影長度

式（9）中，β0表示滑動弧所對應圓心角的一半，α0表示滑動弧頂點連線和水平線之間的夾角。

除粘聚力引起的抗力作用外的總抗力可表示為

式（10）中，φm為抗震修正后的內摩擦角。由式（7b）及式（10）可以得到

式（11a）中，m表示將水平和豎向地震作用內摩擦角考慮在內后的折減系數。特別的，如果此時忽略豎向地震作用，也即kv=0，則簡化為Majumdar（1971）的研究結果；如果水平和豎向地震作用都不加以考慮，即kv=kh=0，則簡化為Taylor（1937）的研究結果。令

則，式（11a）可簡寫為

當Δx→0 時，根據數學積分有

其中，a表示坡頂邊緣到坡腳距離的水平投影長度，具體為

根據如圖1所示的幾何關系，易得

潛在破壞面對應的圓心為O(h,k)，則如圖1所示的x-y坐標下滿足

對式（16）微分后易得

綜合式（9）和式（14）～式（19c），式（12b）和（13b）可以表示為

如需借助式（11b）計算m值，需已知l/d。由圖1可得

綜上，對于同時考慮水平地震與豎向地震的均質粘性土坡的穩定安全系數可以表示為

其中，由圖1所示的幾何關系易得潛在滑動體的體積

1.2 相關公式推導

本文引入抗震修正的內摩擦角φm、綜合重度Eγ代替γ，而根據傳統泰勒穩定圖，當土體內摩擦角φ保持不變時，穩定數c/FγH和邊坡傾角i是一一對應的。因此在改進后的泰勒穩定圖中，φm一定時，穩定數c/FγEH和邊坡傾角i也是一一對應的。在實際應用過程中可將φm、γE分別代替φ和γ，再根據傳統穩定圖確定即可。

圖2所示為均勻黏質土坡穩定安全系數的求解過程。首先，借助圖1可求解出潛在圓弧滑動面對應圓柱的半徑R，然后由式（17）以及式（18）求解出潛在圓弧滑動面的圓心O(h,k) ；式（20）以及式（21）求解出潛在滑動體水平力臂d以及豎向力臂l；式（12c）、式（13c）以及式（22）求解出相關的過程參數P、Q、l/d；再由式（11b）以及式（6）求解出抗震修正內摩擦角φm以及綜合重度γE；最后可由式（23）或查泰勒穩定圖來最終求解邊坡穩定安全系數。

圖2 計算穩定安全系數流程

2 有限元驗證

國外很多邊坡解析法研究工作均是建立在圖3所示的邊坡基礎上的，考慮到該邊坡的驗證工作比較充分，因此本文也采用該邊坡。均質的土坡，為粘性土，坡高為H=10 m，坡角I=45°，土體的重度γ=20 kN/m3，內摩擦角φ=20°，粘聚力c=12.38 kPa。

圖3 驗證模型及參數

針對圖3中的邊坡數值，借助強度折減法（鄭穎人和趙尚毅,2004；王冬勇等,2019）對其進行模擬及分析，以此來對本文所提出的改進方法的有效性進行驗證。強度折減法總的思想是對土體的強度粘聚力和內摩擦角進行不斷折減，直至計算不穩定為止。考慮到綜合研究水平與豎向地震作用是具備普適性的，而其他情況僅為特殊條件下的特例，所以只需考慮對該情況進行數值模擬分析即可。模擬時本文采用的是C2D8平面應變單元。本構模型采用的是線彈性和Mohr-Coulomb模型。模型參數的取值具體為，彈模E為105kPa，泊松比ν為0.35，重度γ為20 kN/m3，內摩擦角φ=20°，粘聚力c=12.38 kPa。借助擬靜力法施加水平及豎向地震作用，其中，水平及豎直地震作用方向分別選為遠離邊坡方向及豎直向下，水平及豎直地震系數分別取kh=0.25，kv=0.125。數值模擬時，持續折減粘聚力與內摩擦角到計算出現不收斂，具體的折減規則φ′=arctan(tanφ/Fs)和c′=c/Fs，F s為折減系數，且計算不收斂時Fs取得最大值，該最大值即為穩定安全系數。實際計算中，通過將穩定安全系數取值從0.5增大至2.0，即可得到如圖4所示的塑性應變圖。相應的，此時穩定安全系統取值為0.69。

圖4 計算不收斂時的塑性區

將水平和豎向地震作用同時考慮在內時，按照本文所提出的改進方法所得到的邊坡穩定安全系數是0.66，而按照有限元數值計算所得到的為0.69，兩者差距僅為4.35%。這不僅說明本文提出的改進方法有效，且能說明其是偏安全的。

3 應用實例

仍以圖3所示的邊坡為例，考慮4種情況下的邊坡穩定性：（1）不考慮地震作用，退化為傳統泰勒穩定分析，取kh=kv=0；（2）只考慮水平地震作用，退化為Majumdar的改進穩定分析，取kh=0.25，k=0.0；（3）僅考慮地震豎向作用，取kh=0.00，kv=0.125；（4）水平和豎向地震作用，取kh=2kv=0.25。

按照圖2所示的流程，結合相關參數容易得出4種情況對應的邊坡穩定安全系數如表1所示。從表中可以明顯的看出，當豎向地震作用豎直向下時相應的安全系數比豎直向上時相應的安全系數要小，這對設計工作而言是偏安全的，因此建議豎向地震作用取豎直向下。相對于只考慮水平地震作用，同時考慮水平及豎向地震作用時邊坡穩定性更低，因此為了最大限度保證安全性，應適當考慮豎向地震作用。

表1 簡化方法計算結果對比表

為獨立探究邊坡穩定性受豎向地震作用的影響，如圖3，借助前文提出的簡化算法并將水平及方向豎直向下的豎向地震作用同時考慮在內，研究6度、7度、8度和9度時邊坡穩定性（《建筑邊坡工程技術規范》GB 50330-2013①；《建筑抗震設計規范（2016年版）》GB 50011-2010②,《公路橋梁抗震設計細則》JTG/TB 02-01-2008③），相關計算結果如表2所示。獨立計算豎向地震作用是本研究的重點內容。因此在實際計算過程中，將水平地震作用考慮在內的同時保持抗震等級不同，并借助強度折減法使邊坡處于臨界失穩狀態，安全系數為1.0。再保持土體強度一定，將水平及豎向地震作用同時考慮在內，重新對邊坡穩定安全系數進行求解。于是，邊坡穩定性所受豎向地震作用的影響就可由該安全系數與1.0之間的差值加以呈現。

表2 各不同抗震等級下邊坡安全系數表

如表2所示，表中各種情況下所得安全系數和1的差的絕對值就表示豎向地震作用對相應的邊坡穩定性的影響。抗震等級與豎向地震作用對邊坡穩定性的影響呈現出正相關關系。當對6度、7度設防時，豎向地震作用的影響在5%以內；當對8度設防時，影響在5%～10%之間；當對9度設防時，影響則最為顯著，此時大于15%。綜合以上論述，建議6度、7度時可忽略豎向地震作用影響，8度時則應加以考慮，9度時必須加以考慮。

4 結語

為同時將水平和豎向地震作用對邊坡穩定性所產生的影響考慮在內，本文結合前人工作成果及必要理論推導最終給出改進邊坡穩定計算方法，并進一步給出了改進邊坡穩定圖。同時，在對比分析了采用改進方法得出的計算結果和采用有限元數值計算方法得出的計算結果之后，形成以下4點結論：

（1）采用本文提出的改進方法，并結合擬靜力法、泰勒邊坡穩定性圖以及水平、豎向地震系數等，能夠實現對邊坡穩定安全系數的簡便求解。

（2）水平、垂直地震系數的數值越大，地震影響折減后內摩擦角越小，邊坡穩定性越弱。

（3）相對于只考慮水平地震作用，同時考慮水平及豎向地震作用時穩定安全系數會更低，因此應適當考慮豎向地震作用。

（4）豎向地震作用取豎直向下對相應的設計工程而言更加安全，8度需考慮豎向地震作用影響，9度時必須考慮其影響。

注 釋

①中華人民共和國住房和城鄉建設部,中華人民共和國國家質量監督檢驗檢疫總局.2016.建筑抗震設計規范（2016年版）:GB 50011-2010[S].北京:中國建筑工業出版社.

② 中華人民共和國住房和城鄉建設部,中華人民共和國國家質量監督檢驗檢疫總局.2014.建筑邊坡工程技術規范:GB 50330-2013[S].北京:中國建筑工業出版社.

③中華人民共和國交通運輸部.2008.公路橋梁抗震設計細則:JTG/TB 02-01-2008[S].北京:人民交通出版社.