羅茨轉子輪廓的雙對稱圖解構造法

李玉龍，秦運棟，張安民，趙 巖，李光宇

(宿遷學院 機電工程學院，江蘇 宿遷 223800)

引言

羅茨泵的核心部件為2個完全相同的非接觸轉子，其旋轉動力由同軸上另一對齒輪副提供[1]。由于轉子輪廓是構成泵內多個容積單元的邊界基礎，因此其構造質量直接決定了如輕量化[2-3]、容積利用[4-5]、流場特性[6-7]、內泄漏[8]等的性能指標。目前，在充分降低徑向泄漏和提高容積利用系數的輪廓方面，提出了以包絡法和法線法為主的各種共軛輪廓構造方法[9]，以及由一對共軛段和若干過渡段組成的進一步提高形狀系數的輪廓構造方法[2,10]。不過包絡法需涉及2個轉子輪廓間的共軛幾何關系；法線法需涉及瞬徑和瞬角的計算，其中將會涉及共軛輪廓曲線的二階導數求解，甚至根本無法獲得直接的函數表達式，這遠非一般工程技術人員所能理解的[2]。另外在實物測繪后的輪廓構造中，由于不知道實物輪廓的具體曲線類型，所以必須全段測繪，而全段測繪中各分段誤差又難以保證輪廓的構造精度[2,10]。有鑒于此，旨在將2個轉子輪廓間的共軛關系，轉化成單一轉子輪廓上的雙對稱幾何關系，以期實現便捷又高效地圖解出待定分輪廓段的擬合曲線，并就此作進一步深入研究。

1 羅茨轉子的半葉輪廓構造

羅茨轉子的半葉輪廓如圖1所示，由外同心圓弧段01、外過渡段12、外共軛段23、內共軛段34、內過渡段45、內同心圓弧段56共6部分首尾相連組成，相應的端點和連接點依序為位于(葉)頂(對稱)軸O0上的頂點0、峰點1、外(共軛)起點2、位于中軸O3上的中節點3、內(共軛)起點4、根點5、位于(葉)谷(對稱)軸O6上的谷點6，如圖1所示。其中，轉子上段12與配對轉子上的峰點存在共軛關系，即段12為配對轉子上的峰點在轉子上的共軛軌跡線，轉子上段45與配對轉子上的內(共軛)起點存在共軛關系，即段45為配對轉子上的內(共軛)起點在轉子上的共軛軌跡線。

圖1 羅茨轉子的半葉輪廓構造

外同心圓弧段O1的設置，一方面因其等縫隙的密封方式能有效降低徑向泄漏，另一方面也能充分緩解排氣側壓縮反沖現象的影響[11]；O為轉子中心，頂軸、中軸、谷軸及轉子中心為確定半葉輪廓的端面軸系且由轉子葉數N唯一確定，軸間角φ=π/(2N)，頂軸與節圓的交點為頂節點a，a2連線為外共軛段點2處法線，谷軸與節圓的交點為谷節點b，b4連線為內共軛段點4處法線。

以ε0表示共軛輪廓23的形狀系數，即普通轉子的形狀系數，其值等于圖1中O0p連線的長度除以節圓半徑，設節圓半徑為r，其中，0p2段為以a為圓心、a2為半徑的圓弧；ε表示轉子輪廓的形狀系數，其值等于圖1中O0連線的長度除以節圓半徑；τ表示段01的圓弧角。則，段01為以O為圓心、εr為半徑、τ為圓心角的圓弧；段56為以O為圓心、(2-ε)r為半徑、τ為圓心角的圓弧。

研究表明，ε0越大和τ越小，ε及其容積利用系數就越大，容積效率就越高，且ε僅取決于ε0和τ的實際大小，與共軛輪廓的具體曲線類型及其連接形式無關[2,9-10]。其中，文獻[12]給出了不同共軛曲線類型下ε0的不同上限取值及計算方法。

2 內外共軛段的雙對稱關系

2個完全相同羅茨轉子在某一轉角θ下共軛幾何關系，如圖2所示。其中，配對轉子上各輪廓點及中心的標識以轉子上對應標識后加“′”以示區別。設對應于轉角θ的共軛點在轉子、配對轉子上的輪廓點分別為f，e′；c′e′為3′2′段的點e′處法線，且c′位于配對轉子節圓上；fd為32段的點f處法線，且d位于轉子節圓上。此時，c′和d重合且均為節點，c′e′的長度等于fd的長度設為ρ，c′e′與O′c′相交的銳角設為α。

圖2 共軛段間的雙對稱關系

由于轉子與配對轉子完全相同，則配對轉子半葉輪廓上的c′e′，O′c′即轉子半葉輪廓上ce，Oc，并作出點c處的節圓切線cc*。此時，ec與Oc相交的銳角等于α，ec的長度等于ρ。

在轉子的半葉輪廓上，作出34，df段關于中軸O3對稱的37，d*g段，此時d*與c重合，gc與Oc相交的銳角也等于α，gc的長度也等于ρ。

由ec與Oc相交的銳角等于gc與Oc相交的銳角，ec的長度等于gc的長度，得ec和gc關于cc*對稱，即e和f間存在著“e?cc*?g?O3?f”的雙對稱幾何關系，則：

(1)

式中，(xf，yf)和(xe，ye)為輪廓點f和輪廓點e在圖2XOY坐標系下的坐標。

由給定的外共軛段23或內共軛段34，如果ρ(θ)，α(θ)一旦確定，那么待定的內共軛段34或外共軛段12由式(1)是極易構造的。但常見給定的共軛段多為圖2中X′OY′坐標系下y′(x′)的函數表達形式，例如圓弧、橢圓弧、拋物線等，各自ρ(θ)，α(θ)的推導過程繁瑣及結果表達復雜。如果在X′OY′坐標系下先依據已知共扼段的函數表達形式y′(x′)作出相應的輪廓曲線，然后利用雙對稱關系求出待定共軛段的輪廓曲線，則非常容易。

由于轉子上外、內過渡段12，45分別為配對轉子上的峰點、內(共軛)起點在轉子上的共軛軌跡線，所以上述雙對稱關系同樣適用于同一轉子上過渡段12，45的求解。此時，已知的共扼段則變成為已知的峰點和內(共軛)起點。

3 雙對稱構造圖解

3.1 待定共軛段

圖2中，由給定共軛段的函數表達式及其ε0，在X′OY′坐標系中，作出共軛輪廓曲線。

如給定共軛段為外共軛段23。首先，在3a間的節圓弧上作出若干等分點c及在段23上的若干垂足點e和節圓切線cc*。其次，依據e→cc*→g→O3→f的雙對稱順序得若干的點f。最后，由這若干的點f生成內共軛段34的擬合曲線。

如給定共軛段為內共軛段34。首先，作出內共軛段34關于中軸的對稱曲線37，其次在3a間的節圓弧上作出若干等分點c及在37上的垂足點g和節圓切線cc*。其次，由這若干垂足點g關于各自對應的cc*對稱后得若干對稱點e。最后，由這若干對稱點e生成外共軛段23的擬合曲線。

3.2 待定外過渡段

無論給定段為外共軛段還是內共軛段，通過前述待定共軛段的雙對稱構造后，內起點4及其關于中軸的對稱點7的位置是已知的。

首先，在圖3中ap間的節圓弧上作出若干等分點i及其節圓切線ii′，和中軸對稱點7關于ii′對稱后的若干對稱點j。

圖3 內起點和外過渡段間的雙對稱關系

其次，由此若干的點j生成外過渡段28的擬合曲線，其與圓心角為τ的半徑線O1的交點即為峰點1，并由此量測出O0的長度和計算出相應的形狀系數ε，及截取出對應于圓心角為τ的外過渡段21的擬合曲線。

最后，作出過O且和71連線平行的直線段Oh，由其與節圓的交點得峰節點h和量測出峰點避讓角β，該值在文獻[2,10]中是由數值方法計算得到的。

3.3 待定內過渡段

在前述峰節點h確定后，設O1連線與節圓的交點為k。首先，在kh間的節圓弧上作出若干等分點m及其節圓切線mm′。其次，作出峰點1關于mm′對稱后的若干點n。最后，由這若干的點n生成擬合曲線79，并由中軸對稱出內過渡輪廓段45，如圖4所示。

圖4 峰點和內過渡段間的雙對稱關系

4 拋物線外共軛段雙對稱例

取外共軛段為N=3，φ=π/6，r=100 mm，τ=3°，ε0=1.3865下的拋物線：

(2)

其中，ρ(θ)，α(θ)難于求解[2]。

第一步，在圖5X′OY′的坐標系下，先由式(2)作出該拋物線的規律曲線t3，并截取出對應于圓心角為3°的外共軛段23。后取5等分點c，由前述的雙對稱構造法，得內共扼段34的擬合曲線，且與其規律曲線[2]非常一致。事實上，拋物線為二次曲線，6點的擬合精度已非常高。

圖5 拋物線例的峰點和外過渡輪廓段確定

第二步，圖5中先取5等分點i，由前述待定外過渡段的雙對稱構造法，得峰點1、峰節點h及截取出外過渡輪廓段12擬合曲線段；然后測量和計算出ε=1.4807，β=49.71°，與數值方法的計算值完全相同[2]，如圖6所示。

圖6 拋物線例的峰節點和內過渡輪廓段確定

第三步，圖6中取5等分點j，由前述待定內過渡段的雙對稱構造法，得內過渡段45的擬合曲線，與其對應的規律曲線非常一致[2]。

5 轉子副共軛區多密封點位

當轉子副以圖7a所示為起始位置的旋轉過程中，各分輪廓段均全程共軛參與，為此當旋轉角在[0，τ)內時有5個，在旋轉角為τ時有4個，在(τ，β-φ)內時有3個，如圖7b所示，在旋轉角為(β-φ)時有2個，在(β-φ，φ)內有1個密封點位。其中，圖7a所示為轉子谷軸與配對轉子頂軸重合時的起始位置，圖7b所示為由起始位置按轉子逆時針、配對轉子順時針方向旋轉10°后的位置。

圖7 轉子副共軛區內的多密封點位

相對于全程僅有1個密封點位的普通轉子[1]，多點位密封區間比為β/φ-1=65.7%，為此將取得更小的共軛泄漏，加上2τ徑向等縫隙密封，內泄漏更小，容積效率更高。

由于非高速氣體介質和非接觸間隙的存在，所以共軛區多密封點位不會形成像齒輪泵那樣的困油現象。

6 結論

(1) 羅茨泵/風機用轉子的半葉輪廓由外同心圓弧、外過渡、外共軛、內共軛、內過渡、內同心圓弧共6段，首尾相連構成；

(2) 轉子全輪廓關于中軸和節圓切線的雙對稱關系，實現了所有待定分輪廓段便捷又高效的擬合圖解，擬合精度高，圖解質量好；

(3) 轉子全輪廓段的共軛參與將形成2～5個多密封點位和案例65.7%的密封區間，共軛泄漏更少，加上轉子頂部的等縫隙密封構造，徑向泄漏更小，容積效率更高。