二階可微型線對(duì)渦旋壓縮機(jī)性能的影響

方占萍，許世鵬

(1.酒泉職業(yè)技術(shù)學(xué)院 新能源工程學(xué)院，甘肅 酒泉 735000；2.甘肅省太陽(yáng)能發(fā)電系統(tǒng)工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 甘肅 酒泉 735000)

引言

以腔體容積變化為工作原理的渦旋壓縮機(jī)因具有排量大[1]、性能高、結(jié)構(gòu)緊湊、可靠性高等諸多優(yōu)點(diǎn)被廣泛應(yīng)用在制冷和空調(diào)等領(lǐng)域[2-3]，并隨著研究的深入，其應(yīng)用已拓展到渦旋增壓器、渦旋泵、渦旋膨脹機(jī)等領(lǐng)域[4-6]。渦旋型線作為渦旋壓縮機(jī)設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)，其設(shè)計(jì)方法是決定渦旋壓縮機(jī)整機(jī)性能的根本因素。

目前渦旋型線的設(shè)計(jì)方法主要有等截面設(shè)計(jì)法和變截面設(shè)計(jì)法。等截面設(shè)計(jì)法采用1條解析曲線，因其固有特點(diǎn)，數(shù)學(xué)描述簡(jiǎn)單，加工較為方便，但壓縮比較低且毛坯材料的利用率不高。在等截面型線設(shè)計(jì)中，吳臻等[7]采用基圓漸開線構(gòu)建了動(dòng)靜渦旋盤，并建立了動(dòng)靜渦旋盤相嚙合的三維流場(chǎng)數(shù)值模型；陳玉坤等[8]建立了等截面渦旋壓縮機(jī)工作腔的幾何模型，對(duì)工作腔中的氣體流動(dòng)進(jìn)行了數(shù)值模擬；李超等[9]在多載荷耦合作用下，對(duì)等截面渦旋壓縮機(jī)動(dòng)渦旋盤的應(yīng)力應(yīng)變進(jìn)行了深入分析。相對(duì)于等截面設(shè)計(jì)法，變截面設(shè)計(jì)法采用2條及以上曲線，雖然數(shù)學(xué)表述比較復(fù)雜，但能通過(guò)較少的圈數(shù)實(shí)現(xiàn)高的壓縮比，同時(shí)還能充分利用毛坯材料，因此變截面設(shè)計(jì)法成為了研究的熱點(diǎn)，得到了國(guó)內(nèi)外相關(guān)學(xué)者的廣泛關(guān)注。AHMAD等[10]利用建立的渦旋型線幾何模型，模擬了渦旋盤在壓縮過(guò)程中的運(yùn)動(dòng)變化；郝勝利等[11]建立了電動(dòng)車空調(diào)用變壁厚渦旋壓縮機(jī)的型線方程，并對(duì)其容積性能、動(dòng)力性能和熱力學(xué)性能進(jìn)行了分析計(jì)算；劉國(guó)平等[12]利用有限元分析法對(duì)建立的渦旋型線幾何模型進(jìn)行了動(dòng)態(tài)溫度場(chǎng)分析；彭斌等[13]利用基圓漸開線-高次曲線-圓弧的組合形式建立了變截面渦旋壓縮機(jī)的數(shù)學(xué)模型并對(duì)其開展了試驗(yàn)研究；王君等[14]采用全嚙合渦旋型線的設(shè)計(jì)方法，建立了一種新型的全嚙合變截面渦旋齒；侯才生等[15]利用Frenet標(biāo)架對(duì)變截面渦旋型線進(jìn)行了深入分析。這些研究極大地推動(dòng)了渦旋壓縮機(jī)變截面型線設(shè)計(jì)法的發(fā)展，但研究中均未涉及變截面型線在連接點(diǎn)處是否二階可微的問(wèn)題，而二階可微與渦旋型線的光順密切相關(guān)，從而直接影響渦旋壓縮機(jī)的綜合性能。因此有必要對(duì)變截面型線的二階可微進(jìn)行深入研究，進(jìn)而嘗試改進(jìn)變截面型線的設(shè)計(jì)方法，提高渦旋壓縮機(jī)的整機(jī)性能。

本研究基于渦旋型線設(shè)計(jì)理論，建立二階可微變截面渦旋型線的容積模型和動(dòng)力學(xué)模型，并在實(shí)際工況參數(shù)下，對(duì)渦旋型線的容積性能和作用在動(dòng)渦旋上的氣體力進(jìn)行模擬分析，且與傳統(tǒng)一階可微型線進(jìn)行對(duì)比，為渦旋壓縮機(jī)變截面型線設(shè)計(jì)與方法研究拓寬了思路。

1 幾何模型的建立

1.1 基線方程

圖1為變截面渦旋壓縮機(jī)型線的基線圖。該基線由2段基圓漸開線和1段高次曲線構(gòu)成，并且是按照基圓漸開線、高次曲線、基圓漸開線的順序依次將3段曲線在連接點(diǎn)φ1和φ2(φ3)處連接，各段曲線的基線方程表示為：

圖1 渦旋型線的基線

第1段基圓漸開線方程:

(1)

式中,a—— 基圓半徑

φ—— 型線的切向角

第2段高次曲線方程:

(2)

式中,Rg—— 高次曲線的基圓半徑

Rs—— 展弦

可表示為Rs=B0+B1φ+B2φ2+B3φ3，B0,B1,B2,B3為待定系數(shù)，可由連續(xù)性條件確定。Rg與Rs兩者之間存在如下的關(guān)系:

(3)

第3段基圓漸開線方程:

(4)

式中,φmax為型線的最大切向角。

1.2 型線的連續(xù)性條件

要使各段型線在連接點(diǎn)處能夠光滑連接，需滿足一定的連續(xù)性條件，為便于說(shuō)明該連續(xù)條件，此處將型線方程表示為向量函數(shù)r(φ)的形式。

1) 點(diǎn)連續(xù)

第2段高次曲線r2(φ2)的末端與第3段基圓漸開線r3(φ3)的首端達(dá)到點(diǎn)連續(xù)，需滿足:

r2(φ2)=r3(φ3)

(5)

2) 一階可微

在連接點(diǎn)處斜率要相同，并且切矢方向相同。設(shè)α2和α3分別為型線r2(φ2)和r3(φ3)在連接點(diǎn)處切矢的模長(zhǎng)，則兩型線一階可微的條件為:

(6)

3) 二階可微

兩渦旋型線r2(φ2)和r3(φ3)曲率相等，且法矢方向要一致，要滿足如下條件:

(7)

同理，第1段基圓漸開線與第2段高次曲線在連接點(diǎn)處也需滿足上述連續(xù)性條件。若滿足上述條件中的前2個(gè)條件，則為一階可微；若同時(shí)滿足上述3個(gè)條件，則為二階可微。

綜合上述基線方程并對(duì)渦旋型線的齒頭進(jìn)行雙圓弧修正后，運(yùn)用法向等距法得到動(dòng)、靜渦旋的嚙合圖，如圖2所示。

圖2 動(dòng)靜渦旋的嚙合

2 型線的容積性能

2.1 腔體容積計(jì)算

動(dòng)、靜渦旋嚙合構(gòu)成了一系列封閉的月牙形腔體，由外到內(nèi)依次稱為吸氣腔(第一壓縮腔)、壓縮腔(第二壓縮腔)和排氣腔(第三壓縮腔)。

1) 吸氣腔容積

當(dāng)主軸轉(zhuǎn)角θ∈[0,φ2-φ1)時(shí)，吸氣腔由第3段基圓漸開線和第2段高次曲線構(gòu)成，此時(shí)腔體的容積為:

V11(θ)=2hRor[Rg(φ2)-a+L2+L3]

(8)

式中,Ror—— 回轉(zhuǎn)半徑

h—— 渦旋齒高

L2—— 第2段高次曲線對(duì)應(yīng)基線的弧長(zhǎng)

L3—— 第3段基圓漸開線對(duì)應(yīng)基線的弧長(zhǎng)

按下式進(jìn)行計(jì)算:

(9)

(10)

當(dāng)主軸轉(zhuǎn)角θ∈[φ2-φ1，2π]時(shí)，吸氣腔由2段基圓漸開線和1段高次曲線共同構(gòu)成，此時(shí)其容積為:

V12(θ)=2hRor(L1+L2+L3)

(11)

其中:

(12)

(13)

(14)

式中,L1為第1段基圓漸開線對(duì)應(yīng)基線的弧長(zhǎng)。

綜上所述，當(dāng)θ∈[0,2π]時(shí)，吸氣腔容積為:

V1(θ)=V11(θ)+V12(θ)

(15)

當(dāng)主軸轉(zhuǎn)角θ=0時(shí)壓縮腔閉合，此時(shí)第一壓縮腔容積V1(0)即為行程容積，該容積能夠反映渦旋壓縮機(jī)的壓縮性能，對(duì)整機(jī)容積效率的影響較大。

2) 壓縮腔容積

第1段基圓漸開線和第2段高次曲線構(gòu)成了壓縮腔，故第二壓縮腔容積為:

V2(θ)=2hRor{L1+L2+[Rg(φ3-4π)-

Rg(φ3-2π)]}

(16)

其中：

(17)

(18)

3) 排氣腔容積

如圖3所示為雙圓弧修正渦旋齒的示意圖，圖中φ為修正展角；?為漸開線發(fā)生角；λ為修正圓弧中心角；Rd為修正大圓弧半徑；Rx為修正小圓弧半徑；γ為修正角。通過(guò)計(jì)算該渦旋齒，可得修正齒頭的軸向投影面積為：

圖3 雙圓弧修正渦旋齒的示意圖

(19)

θ*為開始排氣角，大小為θ*=2π-γ。當(dāng)θ>θ*時(shí)，第二壓縮腔與排氣腔連通，并合并為最大的中心排氣腔，此時(shí)該腔體由第1段基圓漸開線和修正雙圓弧構(gòu)成，其腔體容積為：

(20)

2.2 壓縮比

壓縮比是衡量渦旋壓縮機(jī)性能的一個(gè)重要指標(biāo)，定義為:

(21)

式中,κ為絕熱指數(shù)，通常取κ=1.3。

3 型線的動(dòng)力學(xué)性能

渦旋壓縮機(jī)在運(yùn)行時(shí)，多個(gè)壓縮腔會(huì)同時(shí)進(jìn)行氣體壓縮，但由于壓縮腔內(nèi)的壓力不同，會(huì)使氣體對(duì)動(dòng)、靜渦旋產(chǎn)生氣體作用力[16]。相對(duì)于靜渦旋，作用于動(dòng)渦旋上的氣體力對(duì)渦旋壓縮機(jī)的整機(jī)性能影響較大，因此本研究著重對(duì)作用在動(dòng)渦旋上的氣體力進(jìn)行討論。為便于分析計(jì)算，將氣體作用力劃分為軸向氣體力、切向氣體力和徑向氣體力3類。

3.1 軸向氣體力

軸向氣體力是沿主軸軸線方向作用在動(dòng)渦旋上的力，該氣體力會(huì)使動(dòng)、靜渦旋相互脫離，導(dǎo)致徑向氣體泄漏量增加，計(jì)算公式為:

(22)

式中,pi為第i個(gè)壓縮腔的氣體壓力。

根據(jù)各壓縮腔容積隨主軸轉(zhuǎn)角θ的變化規(guī)律，并假設(shè)壓縮過(guò)程按絕熱進(jìn)行，則第i個(gè)壓縮腔對(duì)應(yīng)的氣體壓力為:

(23)

式中,p0為吸氣壓力，一般取p0=0.1013 MPa。

3.2 切向氣體力

沿主軸切線方向作用在動(dòng)渦旋上的氣體作用力，稱為切向力。該作用力會(huì)使動(dòng)渦旋發(fā)生自轉(zhuǎn)并產(chǎn)生傾覆力矩，其計(jì)算公式為：

(24)

式中，Lti為切向氣體力作用線長(zhǎng)度，具體可表示為：

(25)

(26)

(27)

3.3 徑向氣體力

徑向氣體力是沿動(dòng)、靜渦旋基圓中線方向作用在動(dòng)渦旋上的氣體力，該作用力會(huì)使動(dòng)、靜渦旋的徑向間隙增大，導(dǎo)致切向氣體的泄漏量加劇。計(jì)算公式為：

(28)

式中,Lri為徑向氣體力作用線長(zhǎng)度，具體可表示為:

(29)

(30)

(31)

4 算例分析

以渦旋制冷壓縮機(jī)為例，已知設(shè)計(jì)參數(shù)為：a=2.069 mm，h=35 mm，Ror=3 mm，連接點(diǎn)φ1=2.5 π，φ2=3.5 π，φ3=5.5 π。對(duì)渦旋型線的壓力性能、容積性能和作用在動(dòng)渦旋上的氣體作用力進(jìn)行數(shù)值模擬，結(jié)果如表1和圖4～圖8所示。

表1 不同連續(xù)條件下的型線性能

在由2條及以上曲線組合而成的變截面型線中，確保兩曲線在連接點(diǎn)處能夠光順連接，是提升渦旋壓縮機(jī)綜合性能的關(guān)鍵。以往對(duì)組合型線在連接點(diǎn)處的研究，僅僅只是考慮將兩曲線拼接，即只保證了2曲線在連接點(diǎn)處一階可微，而并未將曲線的光順性考慮在內(nèi)，這樣會(huì)使渦旋型線的性能降低，同時(shí)也不利于渦旋齒的加工。二階可微能夠使兩曲線在連接點(diǎn)處的曲率相等，確保了曲線的光順性。如表1中數(shù)據(jù)所示，是一階可微和二階可微條件下，得出的型線性能，可明顯看出，二階可微型線的各個(gè)性能均優(yōu)于一階可微型線的性能，即光順的型線性能更好。

圖4是根據(jù)渦旋型線的幾何理論，模擬計(jì)算得出的不同連續(xù)條件下渦旋壓縮機(jī)工作腔容積的變化規(guī)律。可以看出，雖然一階可微和二階可微型線的工作容積變化規(guī)律相似，但二階可微型線的行程容積較大。與一階可微型線相比，二階可微型線的行程容積提高了19.20%，壓縮比提高了17.13%。

圖4 工作腔容積變化規(guī)律

如圖5所示，為渦旋壓縮機(jī)壓縮腔內(nèi)氣體壓力的變化曲線圖，當(dāng)主軸轉(zhuǎn)角θ在0～2π時(shí)，吸氣腔尚未完全閉合，此時(shí)外界與吸氣腔是相通的，工作腔內(nèi)壓力即為外界的氣體壓力；當(dāng)θ≥2π時(shí)，工作腔內(nèi)的氣體開始被壓縮，此時(shí)氣體的壓力值不斷增大；當(dāng)θ>θ*時(shí)，進(jìn)入排氣階段，排氣腔與外界相通，此時(shí)雖然腔體內(nèi)的容積在不斷減小，但氣體壓力值無(wú)變化，即為等壓壓縮。

圖5 氣體壓力變化曲線

圖6～圖8中，F(xiàn)a1,Ft1和Fr1分別表示一階可微條件下的軸向、切向和徑向氣體力，F(xiàn)a2,Ft2和Fr2則分別表示二階可微條件下的軸向、切向和徑向氣體力。

圖6 軸向氣體力

圖7 切向氣體力

圖8 徑向氣體力

由圖6和圖7可知，軸向力Fa和切向力Ft都隨著主軸轉(zhuǎn)角θ的增大而先減小再增大最后變小，并且在二階可微條件下受到的氣體作用力均明顯小于一階可微條件下所受的力，而較小的氣體力對(duì)于渦旋壓縮機(jī)性能的提升是有益的。

由圖8可知，徑向氣體力Fr的變化較復(fù)雜，二階可微條件下所受的氣體力較小，有利于減小切向氣體的泄漏量。

5 結(jié)論

(1) 構(gòu)建了二階可微變截面渦旋型線，分析了封閉月牙形腔體的容積特性，并建立了渦旋型線的動(dòng)力學(xué)隨主軸轉(zhuǎn)角的動(dòng)態(tài)變化歷程；

(2) 將二階可微應(yīng)用在組合型線設(shè)計(jì)中，不但解決了傳統(tǒng)型線設(shè)計(jì)中只考慮將兩段型線連接在一起而忽視型線光順性的問(wèn)題，而且也明顯提升了渦旋型線的性能；

(3) 對(duì)渦旋型線的壓力、容積性能和作用在動(dòng)渦旋上的氣體作用力進(jìn)行了模擬分析，結(jié)果表明，與傳統(tǒng)的一階可微渦旋型線相比，二階可微型線具有更大的壓力、行程容積和壓縮比，且3種氣體作用力均明顯較小，這為設(shè)計(jì)高效率和全性能要求的渦旋壓縮機(jī)奠定了良好的基礎(chǔ)，同時(shí)也為渦旋型線的設(shè)計(jì)提供了一種新的方法。