面向元動作的機械傳動系統(tǒng)可靠性分配方法

陳一凡 張根保,3 冉 琰 李宇龍 庾 輝

1.重慶大學機械工程學院，重慶，400044 2.重慶大學機械傳動國家重點實驗室，重慶，400044 3.重慶文理學院機械工程學院，重慶，402160

0 引言

可靠性分配是產(chǎn)品早期設計和開發(fā)階段的關鍵步驟之一,其目的是將產(chǎn)品整機的可靠性指標分配給每個基本單元，以確保組成整機的各基本單元的可靠性滿足可靠性設計要求[1-3]。目前，傳統(tǒng)的可靠性分配方法主要側重于兩個方面：一是基于模糊理論的可靠性分配[4-5]；二是基于優(yōu)化算法的可靠性優(yōu)化設計[6-8]。雖然這些可靠性分配技術得到了廣泛的應用，但是，前者方法主要依賴專家評分，主觀性較強，而后者方法忽略了機械系統(tǒng)的結構特性，此外，它們有一個共性問題，即它們都沿襲了電子產(chǎn)品的可靠性分配模式，因此，為了提高機械系統(tǒng)的可靠性，研究一種適用于機械系統(tǒng)的可靠性分配方法迫在眉睫。

近幾年來，國內(nèi)外學者對機械系統(tǒng)的可靠性分配工作進行了相關研究。張強等[9]考慮機械系統(tǒng)分配中的多層影響因素，建立了兩層因素的可靠性分配模型。王昊等[10]提出一種考慮子系統(tǒng)故障相關性的多因素可靠性分配方法。張義民等[11]通過引入模糊數(shù)學理論，提出了一種基于用戶反饋的數(shù)控機床故障信息的可靠性模糊分配方法。張根保等[12]引入“任務”概念，提出了一種基于“任務”的數(shù)控機床模糊可靠性分配方法。YU等[13]提出了一種考慮失效影響和可靠性成本的綜合模糊分配方法，隨后，他們在目標可行性(feasibility-of-objectives，F(xiàn)OO)方法的基礎上，提出了一種考慮依賴因子的分配方法[14]。CHENG等[15]將模糊分配與最大熵有序加權平均(ME-OWA)方法相結合并將其應用于數(shù)控機床的子系統(tǒng)，提高了分配的靈活性。ZHANG等[16]提出了一種綜合考慮運動機構的組成和三類失效模式的可靠性分配方法，并成功將其應用于飛機齒輪門鎖機構。LIU等[6]為了找到全局最優(yōu)的可靠性指標，提出了一種基于多學科設計優(yōu)化的可靠性分配建模求解方法。

然而，現(xiàn)階段機械系統(tǒng)的可靠性分配研究還存在以下關鍵問題需要進一步解決：①現(xiàn)有的可靠性分配仍然按照“系統(tǒng)-部件-零件”的路徑分解，而實際的機械系統(tǒng)為由運動單元組成的傳動鏈，傳統(tǒng)的自頂向下的分解會導致分配任務越來越繁瑣，分配效率較低[14,17]；②運動單元的可靠性決定了整機系統(tǒng)的可靠性，在不確定性條件下，各運動單元對系統(tǒng)可靠性的影響存在一定的差異，這一點在傳統(tǒng)的可靠性分配中并未體現(xiàn)。

針對以上問題，本文提出了一種基于元動作及其靈敏度的機械傳動系統(tǒng)可靠性分配方法。從運動和傳動的角度，將機械系統(tǒng)分解為最基本的運動單元(即元動作)，并將其作為可靠性分配的最小粒度，然后，考慮到處于傳動系統(tǒng)結構不同位置的元動作對整個系統(tǒng)可靠性的影響存在很大的差異，本文引入靈敏度指標對其進行不確定性量化。該方法能夠將難以定量評估的問題進行量化，以靈敏度指標作為可靠性分配的有力依據(jù)，從而為可靠性分配工作提供新的思路。

1 可靠性分配模型的建立

針對傳統(tǒng)的機械傳動系統(tǒng)可靠性分配的不足，本文提出一種基于元動作及其靈敏度的機械傳動系統(tǒng)可靠性分配方法，其分配框架如圖1所示。首先，采用“功能-運動-動作(function-motion-action，F(xiàn)MA)”的分解方法[17-19]對機械系統(tǒng)進行分解得到元動作集合，并將其作為分配的最小粒度;然后，利用拉丁超立方體抽樣(Latin hypercube sampling，LHS)方法計算低階逼近(low-rank approximations，LRA)元模型的系數(shù)，并通過后處理LRA的系數(shù)求解各元動作在傳動鏈中的靈敏度；最后，基于獲得的元動作靈敏度計算結果識別出系統(tǒng)的關鍵元動作，并將傳動系統(tǒng)的整機可靠性指標分配到各元動作。雖然基于LRA的Sobol’方法在其他領域已有相關研究[20]，但是將其應用于可靠性分配領域還未見相關報道。

圖1 可靠性分配框架Fig.1 The reliability allocation framework

1.1 基于FMA方法的機械系統(tǒng)分解

注：不帶箭頭的實線連接表示組成關系；帶有箭頭的實線連接表示映射關系；帶有箭頭的虛線連接表示傳動關系圖2 FMA分解示意圖Fig.2 Diagram of FMA decomposition

功能分解是將產(chǎn)品功能分解為相應的子系統(tǒng)或部件的運動。傳統(tǒng)的功能分解方法[21-22]的最后節(jié)點處是針對零件而言的，如果分解對象為復雜的大型機電產(chǎn)品，則不利于產(chǎn)品的性能分析。FMA方法是從運動的角度將產(chǎn)品功能分解到最基本的運動單元，即元動作,FMA分解過程如圖2所示。從圖2中可以看出，元動作層實際上是由一條傳動鏈組成的，只要確保各元動作能夠正常運行，那么就能實現(xiàn)產(chǎn)品所需的功能，這與可靠性分配的目的是一致的。因此，功能分解的目的是明確各元動作的詳細可靠性輸入值，以進一步合理設計各元動作。

由于數(shù)控機床是一個串聯(lián)結構，各功能的正常輸出取決于所有元動作的正常工作，因此，可以將它們視為一個串聯(lián)系統(tǒng)。根據(jù)可靠性理論，元動作的可靠性與系統(tǒng)的可靠性關系表示為

(1)

式中，Ri為元動作Ai的可靠度；RS為傳動系統(tǒng)的可靠度；n為元動作數(shù)目。

隨著時間的推移，系統(tǒng)可靠性呈單調(diào)遞減趨勢，這可以理解為系統(tǒng)中某個或多個元動作出現(xiàn)退化，而在這個退化過程中存在不確定性因素，如應力、磨損和員工的操作方式等，這些不確定性因素造成元動作的性能處于一個區(qū)間范圍，因此，每個元動作可以看成是系統(tǒng)的一個隨機變量，則式(1)可以等效為

Y=f(X1,X2,…,Xn)

(2)

將式(1)轉換成式(2)的目的是為了后續(xù)分析每個隨機變量Xi(i=1,2,…,n)對函數(shù)Y的靈敏度，即元動作對系統(tǒng)可靠性的影響程度。

1.2 基于LRA的全局靈敏度分析方法

1.2.1全局靈敏度分析

全局靈敏度分析(global sensitivity analysis，GSA)定義為響應模型中輸入變量的不確定性對模型輸出響應的不確定性的貢獻程度。Sobol’方法[23]是工程實際應用中最廣泛的GSA方法之一，它可以分析單一輸入變量作用或多個輸入變量之間相互作用對系統(tǒng)輸出的影響。

為不失一般性，設函數(shù)f(X)在單位超立方體Ω(n)中，且輸入為n維，則Ω(n)可以表示為

Ω(n)={X|0≤Xi≤1;i=1,2,…,n}

(3)

Sobol’法的關鍵步驟是將函數(shù)f(X)進行分解,即

(4)

其中，f0為常數(shù)，fi是Xi的函數(shù)，fij是Xi和Xj的函數(shù)，其余各項對其所包含的每一個因素的積分為0，即

(5)

1≤k≤s

由于函數(shù)分解中的所有項之間都為正交，且式(4)的分解存在唯一性，那么所有展開式的和都可以通過積分以遞歸的方式計算得到，即

(6)

式中,fi表示Xi單獨變化對Y的影響(稱為Xi的主效應)；fij表示除了i、j各自變化的影響之外，Xi和Xj同時變化對Y的影響；E(·)為期望算子。

對于f2(X)可積函數(shù)，可以對函數(shù)分解進行平方和積分，進而得到f(X)的總方差，即

(7)

式(7)等式左邊為Y的方差，右邊為方差項。根據(jù)Xi的集合分解式，方差表達式的分解表示為

(8)

(9)

式中，X～i為去除Xi之外的所有變量的集合，即X～i={X1,…,Xi-1,Xi+1,…,Xn}。

因此，一階Sobol’指標(first-order Sobol’indices，F(xiàn)SI)和總Sobol’指標(total Sobol’indices，TSI)分別表示為

(10)

(11)

FSI反映了單一輸入變量Xi的不確定性對輸出變量的影響，Si越大，說明該輸入變量對系統(tǒng)輸出的影響越顯著。

TSI用于評估單一輸入變量及其與其他輸入變量的相互作用對系統(tǒng)輸出的共同影響。如果輸入變量間相互獨立，則FSI值總是小于TSI值；若兩者相差較大，則說明輸入變量間的相互作用對系統(tǒng)輸出的影響更顯著。

通常，計算Sobol’法指標的常用方法有兩種，即基于蒙特卡羅(Monte Carlo，MC)方法和基于元模型方法。相對來說，元模型(即替代模型)比MC方法計算效率更高，因為它是用統(tǒng)計上的等價模型來代替復雜模型的。常用的元模型有多項式混沌展開(polynomial chaos expansion，PCE)和LRA，鑒于LRA比PCE的計算結果誤差更小[24]，本文提出一種基于LRA的靈敏度后處理方法，該方法具有計算效率高、耗時短等優(yōu)勢。

1.2.2基于LRA的全局靈敏度指標計算方法

LRA是元模型中處理高維模型的一種有效方法，其目的是用少量的秩一張量的和來逼近模型的輸出響應值，并利用多元基的張量積形式減少未知系數(shù)的數(shù)目。因此，Sobol’靈敏度指標可以通過后處理LRA的系數(shù)來計算得到[20]，多項式基的LRA元模型可以表示為

(12)

因此，基于LRA的Sobol’方法的計算分別取決于以下FSI和TSI的表達式：

(13)

(14)

由于式(13)、式(14)都涉及均值和方差，因此，將模型Y代入LRA元模型中，然后基于LRA系數(shù)計算出這些值，則模型輸出的均值和方差分別近似為

(15)

(16)

Si表達式中的E[E(Y|Xi)2]可以近似為

(17)

STi表達式中的E[E(Y|X～i)2]可以近似表示為

(18)

對于更高階指標的表達式也可以根據(jù)LRA系數(shù)獲得。通過利用多項式基的張量積形式可以將未知系數(shù)的數(shù)量減少一個數(shù)量級，進而使用相對較少的秩數(shù)以足夠的精度逼近響應值。因此，基于LRA的Sobol’方法能夠快速計算出靈敏度指標。

1.3 元動作與傳動系統(tǒng)的可靠性映射關系分析

為了使整個傳動系統(tǒng)可靠性保持相對穩(wěn)定，應該降低元動作對系統(tǒng)可靠性的靈敏度。以靈敏度指標作為分配權重，將具有較高靈敏度的元動作分配以更高的可靠性。因此，元動作與傳動系統(tǒng)可靠性的映射關系表示為

(19)

式中，S′i為元動作的相對權重，記為ωi。

然后，將ωi取反(即1-ωi)，且對其進行歸一化處理，從而得到元動作的最終分配權重ω′為

(20)

最后，各元動作分配得到的可靠度為

(21)

2 案例分析

數(shù)控機床作為復雜機電產(chǎn)品的經(jīng)典類型之一，在制造業(yè)加工領域扮演著重要的角色，例如汽車、航空工業(yè)和船舶工業(yè)等。特別是早期的產(chǎn)品設計，將整機或系統(tǒng)的可靠性目標值合理地分配給各運動單元是非常關鍵的，合理的可靠性分配能提高產(chǎn)品的質量，并進一步提高產(chǎn)品的生產(chǎn)效率。鑒于數(shù)控轉臺是加工中心的一個關鍵功能部件[17,25]，本文將其作為實際應用案例來驗證提出方法的可行性和有效性，數(shù)控轉臺的結構示意圖請掃描本文首頁二維碼查看。根據(jù)產(chǎn)品可靠性要求，數(shù)控轉臺的分度回轉運動可靠度RS=0.89。

根據(jù)數(shù)控轉臺運動特性，利用FMA分解方法將數(shù)控轉臺的分度運動分解為6個元動作[26]，共組成4條傳動鏈，如圖3所示。

圖3 數(shù)控轉臺FMA分解Fig.3 FMA decomposition of CNC turntable

運用Sobol’法計算全局靈敏度時，需要先給定參數(shù)的變化區(qū)間及概率分布函數(shù)。數(shù)控機床常見的可靠性指標主要有可靠度、失效率和平均故障間隔時間(mean time between failure，MTBF)，它們之間往往是同一概念的不同表達形式。為了便于分析，這里使用MTBF作為統(tǒng)計的指標。分析現(xiàn)有少量的數(shù)控轉臺元動作的故障數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)元動作的分布類型服從均勻分布。由文獻[27]可知，在不確定性因素條件下，如果隨機變量的分布不是特別明確，使用均勻分布計算得到的靈敏度結果不會發(fā)生顯著性影響。此外，均勻分布能夠避免工程實際工程中數(shù)據(jù)量少、無法確定分布的問題，只需要確定各元動作MTBF的最小值和最大值便可進行靈敏度分析。因此，本文選擇均勻分布作為元動作的假設分布類型。具體取值情況如表1所示。

表1 數(shù)控轉臺的元動作分布和取值情況Tab.1 Distribution and value of the meta-actions of the CNC turntable

本文利用UQLab軟件[28]建立了基于LRA的Sobol’法的元動作靈敏度模型，其概率輸入模型由6個獨立的隨機變量組成。利用LHS方法對元模型進行隨機抽樣，并基于200個樣本的實驗設計創(chuàng)建數(shù)控轉臺可靠性模型的LRA元模型。通過LRA系數(shù)快速求解元動作的FSI值和TSI值，并計算出總靈敏度貢獻率(TSR)。各元動作對系統(tǒng)可靠性的靈敏度結果如表2所示。

表2 元動作對數(shù)控轉臺可靠性靈敏度結果Tab.2 Reliability sensitivity results of meta-actions to the CNC turntable

由表2可知，靈敏度大小排序依次為SA4、SA1、SA5、SA2、SA3、SA6，其中A4對數(shù)控轉臺的可靠性影響起決定性作用，即是數(shù)控轉臺可靠性的薄弱環(huán)節(jié)。其原因可解釋為：由圖3可知，數(shù)控轉臺由4條傳動鏈組成，其中M342是最長的傳動鏈，即由三級元動作組成，從而增大了不確定性因素的影響，這正是在復雜機電產(chǎn)品設計中縮短傳動鏈的主要原因之一。另外，A4位于傳動鏈M342的末端，則上游元動作的性能穩(wěn)定性輸出會對下游造成某種程度的影響[18]，而A4的性能穩(wěn)定性又直接決定M342是否能夠完成指定的運動。因此，為了提高數(shù)控轉臺的可靠性，將A4分配更高的可靠性是有必要的。A1、A4、A5的靈敏度指標為正，且TSR明顯比較大，這表明它們的影響很大程度上會降低數(shù)控轉臺的可靠性，在設計環(huán)節(jié)必須采取適當措施提高其可靠性。另外，可以觀察到各個元動作的TSI值與FSI值的差值小于0.1，這說明元動作之間存在較弱的相互作用。為了簡化計算過程，這里不考慮相互作用。

根據(jù)式(19)～式(21)計算出各元動作的可靠度，如表3所示。

表3 元動作可靠性映射結果Tab.3 Result of reliability mapping of meta-actions

此外，以MC方法模擬計算結果作為基準檢驗LRA元模型計算結果的準確性和收斂性。圖4給出了3個元動作的FSI值和TSI值隨MC方法采樣次數(shù)增加的收斂過程，可以發(fā)現(xiàn)采樣規(guī)模N=100 000時MC方法的計算結果具有較高的準確性。

(a)FSI收斂過程

在上述實例基礎上，本文將提出的方法與MC方法和PCE方法作對比分析，仿真結果如圖5所示。由仿真結果可知，基于LRA的Sobol’法的靈敏度結果與其他兩種方法的結果基本是一致的，這說明抽樣規(guī)模取200時滿足收斂條件。由圖5可知，基于MC的Sobol’方法的樣本規(guī)模為100 000，而本文提出的方法在較少的抽樣規(guī)模(N=200)條件下保證了計算結果的精度，且計算效率更高。

(a)FSI計算結果

由上述分析結果可知，A4、A1和A5是數(shù)控轉臺的關鍵元動作，根據(jù)“木桶效應”，為了提高數(shù)控轉臺的可靠性，應盡可能使靈敏度較大的元動作的可靠性不發(fā)生顯著變化。因此，提高它們的MTBF，即A4的平均故障間隔時間tMTBFA4=[658,1363]、tMTBFA1=[837,1821]和tMTBFA5=[889,1682]，然后再次對它們的可靠性靈敏度進行分析，其結果如圖6所示。

圖6 優(yōu)化前后元動作的靈敏度結果Fig.6 Sensitivity results of meta-actions before and after optimization

由圖6可以看出，優(yōu)化后A4的靈敏度明顯比優(yōu)化前下降了，A1和A5優(yōu)化前后的靈敏度差異不大。此外，為了檢驗優(yōu)化效果，以靈敏度標準差作為波動程度的評價標準，通過計算得到優(yōu)化前后的標準差分別為0.160和0.096，這就說明優(yōu)化后的整體靈敏度對系統(tǒng)的影響要小于優(yōu)化前整體靈敏度對系統(tǒng)的影響。

3 結語

本文利用Sobol’方法分析了元動作對整個傳動系統(tǒng)可靠性的影響程度，利用“功能-運動-動作”(FMA)分解得到的元動作作為機械傳動系統(tǒng)可靠性分配的最小粒度，這有利于減小可靠性分配的工作量，提高分配效率。同時，以元動作對系統(tǒng)的輸出影響作為分配的依據(jù)，避免了影響較小的單元分配較高的可靠性設計值，從而使得系統(tǒng)可靠性達到最優(yōu)。基于低階逼近(LRA)的Sobol’方法在較少樣本條件下能夠準確得到元動作對系統(tǒng)可靠性的不確定性輸出響應。在此基礎上，為提高數(shù)控轉臺的運行穩(wěn)定性，對關鍵元動作的可靠性進行了優(yōu)化，從而為可靠性設計工作提供了指導。

本文從元動作的角度建立了可靠性分配模型，在今后的研究中，為了獲取組成機械系統(tǒng)所有零件的可靠性設計值，組成元動作的其他零件(如支撐件、緊固件和傳動件等)的可靠性設計值也有待進一步研究。