非均勻波導中的最大聲能流透射及魯棒性分析

郭威 楊德森1)2)?

1) (哈爾濱工程大學, 水聲技術國防重點實驗室, 哈爾濱 150001)

2) (哈爾濱工程大學, 海洋信息獲取與安全工業和信息化部重點實驗室, 哈爾濱 150001)

3) (哈爾濱工程大學水聲工程學院, 哈爾濱 150001)

以變截面含可穿透散射體波導為模型, 理論研究聲波在非均勻波導中的最大透射問題.通過耦合簡正波理論構建模態域內透射矩陣和水平波數矩陣, 推導透射波能流的具體表達式, 分析任意入射波的能流透射率隨頻率的變化, 進而討論任意給定頻率下能夠產生最大能流透射率的最佳入射波, 并給出數組全透射聲場算例.最佳入射波僅由可傳播模態決定, 與衰逝模態無關.利用衰逝模態不攜帶能流的特性, 討論衰逝模態對產生能流最大透射聲場的影響, 并分析最大能流透射的魯棒性.在頻率滿足一定條件時, 全透射聲場可能表現出完美魯棒性.文中所述方法可延伸至多種非均勻波導以分析其中的能流最大透射問題.

1 引 言

波在非均勻介質中傳播時會受到多重散射的作用, 影響以波為載體的信息或能量傳遞.研究如何使波克服反向散射作用或提高能量的透射率是波動物理學的研究熱點之一.Dorokhov[1,2]在介觀物理學的研究中率先發現電子波能夠在無序介質內實現全透射.能量(流)的最大透射率為透射矩陣最大奇異值的平方, 全透射時該值為1, 產生最大透射的入射波為最大奇異值對應的右奇異矢量[3,4].當介質內無吸收時, 非均勻介質內部波場對應的解空間僅由全透射波場(open channels)和全反射波場(closed channels)張成, 該現象被稱為雙峰分布(bimodal distribution)[5,6].電子波的全透射決定了介觀尺度上金屬電導率的擾動上界(maximal conductance fluctuations), 并且該上界與金屬樣品的尺寸和無序程度無關[7].然而, 由于在介觀尺度上測量透射矩陣及構建任意電子波包均存在較大難度, 故難以觀測到電子波的全透射現象.在宏觀物理學領域, 隨著空間光調制器和相位控制技術的發展, 人為改變入射波以控制透射波或反射波的相關研究取得了較大的進展.在光學領域的相關研究包括強化光波[8?14]或光激彈性波[15]的透射或反射、強化或克服介質吸收[16?18]、構建無反向散射拓撲態[19,20]以及構造無反射超構材料[21]或超構表面[22,23]等; 而在聲學中, 對于相關問題的探討主要集中于強化波導內的聲波透射研究.例如單一模態在特定頻率下的全透射傳播, 也稱為入射波與波導結構的“共振”[24?27], 利用時間反轉不變性實現聲波在穿過非均勻介質后形成空間聚焦[28?30]或時空同時聚焦[31], 或設計聲超構材料以實現聲隱身[32]、聲聚焦[33]或全吸收[34,35]等.上述的強化聲透射手段中, 單一模態的全透射限制了入射波的波形、聚焦的機理主要基于透射矩陣測量和相位共軛處理、而超構材料的原理在于改變傳播媒介以匹配入射聲場.盡管在聲學領域對非均勻波導強化聲透射問題的相關研究已經取得諸多進展,但是依然存在一些問題需要解決.以大氣或淺海波導為例, 作為典型的天然非均勻介質, 其內部物理參數較難人為改變, 只能通過改變聲源以實現高質量聲通信或強化聲透射.而對于任意給定波導, 如何確定內部聲透射能力的上限和對應的入射波條件仍有待研究.另外, 若考慮工程實現聲波的強化透射作用, 最大透射聲場是否具備抗干擾性能也值得討論.這些問題在聲超構材料結構和參數設計以及復雜介質高效聲通信等領域具有指導意義.

本文主要解決兩個問題: 一是分析任意入射波形發生最大聲透射時所需的激發頻率; 二是分析任意頻率下產生最大能流透射時所需的入射波形條件.本文以變截面含可穿透散射體波導為模型,基于透射矩陣提出一個系統地研究波導內最大聲透射問題的方法, 其中透射矩陣通過耦合簡正波理論[36,37]構建.對于本文選取的波導結構, 文獻[36, 37]均無法獨立求解內部的聲傳播問題, 也難以直接構建透射矩陣.但是, 經研究發現, 文獻[37]在處理單層介質參數連續變化波導內聲傳播問題的過程中, 提出了一種普適的化簡方法, 可將Helmholtz方程簡化為忽略邊界矩陣的耦合偏微分方程.本文結合該化簡方法以及不變截面含散射體波導模型中耦合矩陣的形式[36], 推導出一階耦合偏微分方程(文中(6)式)并構建出透射矩陣.利用透射矩陣給出模態域內任意入射波的能流透射率隨頻率變化關系以及任意頻率下實現能流最大透射的入射波表達式, 并在低頻(僅存在1—2階可傳播模態)條件下對全透射聲場及其魯棒性進行分析.上述方法在任意頻段, 對任意形狀散射體、任意形狀邊界或其他類型邊界條件均適用, 亦可對2.5維或3維波導中的能流最大透射問題提供理論借鑒.

2 任意入射波的最大聲透射

本節分析任意給定入射波的最大聲透射問題.首先利用耦合簡正波理論構建模態域透射矩陣, 接著通過透射矩陣給出能流透射率在模態域內的表達式.在固定入射波的條件下, 能流透射率僅為頻率的函數.分析透射率隨頻率的變化可發現能流最大透射時的頻率, 亦可求取對應聲場.本節以平面波即第零階本地簡正波為例分析固定入射波的最大聲透射問題, 文中方法適用于任意入射波的能流最大透射問題, 例如平面波、高階簡正波、點聲源等.

2.1 理 論

對于非均勻波導, 聲波穿過非均勻區域產生的輸出(透射波)或能流透射率由入射波、頻率以及波導結構共同決定.固定波導結構, 僅考慮入射波和頻率對能流最大透射的影響.波導選取為變截面含散射體波導, 結構見圖1.波導所在區域為(x,y)∈(?∞,+∞)×[0,h(x)], 可化分為兩個子區域.子區域1: x ∈[0,L] 為散射區域, 聲波在該區域內可發生聲散射.在子區域1內波導上、下邊界的表達式分別為 y =h(x) , y =0 ; 散射體呈圓形.波導與散射 體 的 密 度和聲速分別為 ρ0,c0和 ρ1,c1, 均為實數.子區域2: x ∈(L,+∞) 和 x ∈(?∞,0) , 分

圖1 變截面含散射體非均勻波導示意圖Fig.1.Configuration of the inhomogeneous waveguide with varying cross-sections and one scatterer.

別為透射區域和反射區域.在子區域2內介質參數和邊界水平不變, 聲波在該區域內不會產生背向散射, 即子區域2內的透射波和反射波不會影響子區域1中的聲場結果.上、下邊界皆為剛硬邊界.任意簡諧入射波 pi從 x =0 處輸入, 與散射區域作用后分別在子區域2中產生反射波 pr和透射波 pt, 入射與散射場疊加后的總聲場滿足如下Helmholtz方程(省略時間因子 e xp(?iωt) ):

其中p為聲壓; ω 為角頻率.在本問題中, 方程可改寫為

聲壓滿足的邊界條件和連續性條件分別為

其 中 ? ? 表 示 散 射 體 邊 界; n 代 表 法 線 方 向,

分析任意入射波的能流透射率需要獲得任意入射波產生的透射波形式, 并分別計算二者的能流表達式, 其中入射波與透射波間的關系可利用透射矩陣表征.本節使用耦合簡正波理論化簡(2)式并構建透射矩陣.選取均勻剛硬波導中的本征函數ψn(y;x)作為局部基函數, 其表達式為:

利用基函數對聲壓進行展開得到:

其中 pn為聲壓在基函數上的展開系數, N為模態的截斷數.要求截斷數一般略大于波導中的可傳播模態數.對(2)式在基函數上作投影, 即利用文獻[37]中的化簡方法結合文獻[36]中耦合矩陣的表達式, 可獲得關于展開系數 pn(x) 和附加量 sn(x) 的一階耦合偏微分方程:

其中向量 p 和 s 中元素分別為 pn(x) 和 sn(x) , 附加量 sn(x) 與 pn(x) 滿足關系:

(7)式中 Amn與 Bmn分別為矩陣 A 與 B 中的元素,假設散射體的上、下邊界參數分別為[y=β(x),y=α(x)], Amn與 Bmn的表達式為[36]

(6)式中矩陣 C 和 D 的元素分別為 Cmn和 Dmn, 其表達式為

其中 k =ω/c0為介質波數.Amn, Bmn, Cmn和Dmn均存在解析表達式.

為了構建透射矩陣, 引入導納矩陣 Y (x) 和傳播算子 Q (x) 分別滿足如下關系: s =Yp 和p(L)=Q(x)p(x).導納矩陣滿足Riccati方程, 初條件為模態域輻射條件 Ymn(L)=iδmnkn(L) , 其中kn(L)=傳播算子滿足一階微分方程,初始條件為 Q (x)=I , 其中 I 為單位陣.導納矩陣和傳播算子的求解可參考文獻[38, 39], 本文不再贅述.反射矩陣 R 和透射矩陣 T 的定義為:pr(0)=Rpi(0), pt(L)=Tpi(0) , 其中 pi(0) , pr(0) 和pt(L)分別為入射波、反射波和透射波的模態展開系數向量.由導納矩陣和傳播算子可推得 R 和 T 的表達式為[40]

式中, Y0為 i kn(0) 組成的對角陣.任意入射波產生的聲場可寫作:

接著給出入射波和透射波的能流模態域表達式.入射波能流的定義為

由于在 x =0?→0 時介質水平不變, 利用(5)式結合水平波導中的模態域輻射條件 ?xpi(0)=Y0pi(0) ,可得

其中上標“H”代表共軛轉置.(13)式可化簡為

式中, K (0) 為 kn(0) 組成的對角陣.由于 kn(0) 代表 x =0?處的水平波數, 所以 kn(0) 為純實數或純虛數, 分別表示可傳播模態或衰逝模態.因而矩陣Re(K(0))為正實數和零構成的對角陣, 其對角線上的零元素代表衰逝模態不傳播能量, 對入射波能流無貢獻.同理可得, 透射波能流的表達式為

因而能流透射率G可寫作:

(16)式中的透射矩陣 T 和水平波數矩陣 K 受波導結構與頻率(或波數k)共同影響.透射矩陣可由耦合簡正波法構建、水平波數矩陣可由輻射條件推得.當波導結構不變時, 二者僅為頻率的函數.所以當給定任意入射波時, 能流透射率G僅與頻率有關.

2.2 數值結果

圖2給出利用(16)式算得的平面波(第零階簡正波)能流透射率隨頻率的變化曲線.波導上邊界表達式為 h (x)=1.25?0.25cos(0.4πx) ; 散射區域最大距離 L =5 , 散射體圓心位于 ( L/2,0.5) , 半徑為 0.4 ; 介質密度為 ρ0=1000kg/m3, 聲速為c0=1500m/s , 散射體密度為 ρ1=1500kg/m3, 聲速為c1=1700m/s ; 頻率的取值范圍為 k ∈[0.005π,3π] ;模態截斷數 N =10.距離和頻率相關參數已經由無量綱化處理.從圖2中可以看出, 在某些特定頻率時, 平面波可以實現近乎全透射.利用上述方法可以觀察任意聲波實現最大透射的頻率, 從而分析任意入射波的最大透射特性.此外, 從圖2中也可以發現, 在某些頻率下, 平面波也可以實現近乎零透射.根據能量守恒定律可知, 當波導中不存在吸收時, 1 ?G 表示能流反射率的變化特性.當聲波實現全透射時, 必然隨之發生零反射, 反之亦然.因而無論是考慮吸聲性能最優化(全透射)還是隔聲性能最優化(全反射)問題, 本方法均適用.值得一提的是, 文獻[41]同樣可研究波導中單階模態的優化透射特性.與之相比, 本文中的方法基于數值上更易實現的耦合簡正波理論, 可以分析任意入射波(不局限于單階模態)的最大透射或反射特性,相當于對文獻[41]的延伸和進一步發展.

圖2 平面波能流透射率隨頻率變化曲線Fig.2.Energy flux transmittance as a function of frequency when injecting a plane wave.

圖3 (a)和圖3(b)依次給出平面波發生能流全透射和零透射時對應的聲壓幅值分布, 聲波頻率分別為 k =0.95π 和 k =0.735π , 聲場由(11)式計算得到.從圖3(a)中可以看出, 當波導結構表現出空間對稱的特點時, 產生全透射的聲場亦會隨之呈現空間對稱特性, 即總聲場關于 x =L/2 對稱.該對稱性是一種普遍性質, 即使對一個無序的對稱非均勻波導, 發生全透射時的聲場也將表現出相同的對稱特性[42].從圖3(b)中可以看出明顯的平面波全反射現象.需要強調的是, 本文中全反射和全透射針對的對象是能流, 并非聲壓, 能流的全透射(全反射)并不代表聲壓的全透射(全反射).從圖3(a)中可以看出明顯的聲反射現象( x =0 附近聲場并非平面波), 其原因在于發生全透射時的反射波僅由衰逝模態決定, 而衰逝模態并不傳播能量, 故而聲場中存在反射波與能流的全透射之間并不矛盾.但是, 在 x ?0 處觀察時將難以發現反射波.與圖3(a)中結果類似, 圖3(b)中聲場雖然實現了能流的零透射, 但是在 x ≥L 區域仍能觀察到透射波的存在, 而且可以觀察到透射波以衰逝波形式進行傳播, 透射波并不攜帶能流, 此時聲波實現了能流的全反射.

為了驗證圖3中全透射和零透射的有效性, 利用有限元數值商用軟件COMSOL重構圖3中的聲場.平面波產生全透射時的波數 k =0.95π 對應頻率 f =712.5 Hz, 零透射時波數 k =0.735π 對應頻率 f =551.25 Hz.使用相同波導結構, 在x≥6區域設置完美匹配層, 對頻率取整并利用COMSOL軟件計算頻率分別為 7 12 和 5 51 Hz時平面波產生的聲場, 結果分別如圖4(a)和圖4(b)所示.通過與圖3對比可以看出, COMSOL計算獲得的聲場與本文提出方法所獲得的聲場高度一致, 證明了全透射和零透射的有效性.

圖3 (a) 平面波能流全透射聲場( k =0.95π ); (b) 平面波能流零透射聲場( k =0.735π )Fig.3.(a) Wave field with unity energy flux transmittance generated by a plane wave ( k =0.95π ); (b) wave field with zero energy flux transmittance generated by a plane wave( k =0.735π ).

圖4 (a) Comsol計算平面波能流全透射聲場( f =712 Hz);(b) Comsol計算平面波能流零透射聲場( f =551 Hz)Fig.4.(a) Wave field calculated by Comsol with unity energy flux transmittance generated by a plane wave (f=712Hz); (b) wave field calculated by Comsol with zero energy flux transmittance generated by a plane wave (f=551Hz).

對于任意其他類型的入射波, 利用文中所述方法, 首先獲得入射波的模態展開系數向量, 接著利用構建獲得的透射矩陣和水平波數矩陣結合(16)式獲得能流隨頻率的變化關系, 重復上述相同步驟即可發現該入射波產生能流最大透射的頻率并給出對應的聲場結果.

3 任意頻率下的最大聲透射

根據前述分析可知, 在波導結構不變時, 能流透射率由頻率和入射波決定(見(16)式).第2節中已經分析了以平面波為例任意入射波能流透射率隨頻率的變化, 并討論了產生最大聲透射時的頻率和對應聲場.本節將研究任意頻率下, 產生能流最大透射的入射波表達式及對應聲場.

3.1 理 論

根據(16)式可知, 不同的入射波將產生不同的能流透射率.但由于散射特性和能流守恒規律的限制, 能流的透射率應存在上界.能流透射率的上界 Gmax的定義為

當波導結構不變時, Gmax只由頻率決定.能夠產生能流最大透射的入射波被稱為最佳入射波, 最佳入射波的模態展開系數由符號表示.能流最大透射率的計算以及最佳入射波的選取相當于對所有可能入射波產生的能流透射率的優化.通過對(17)式進行化簡, 可求取 Gmax與的表達式, 具體過程如下.

由于矩陣 R e(K(L)) 為對角陣, 且各元素均為非負實數, 因而可利用Cholesky分解將矩陣Re(K(L)) 表示成 R e(K(L))=MH(L)M(L) , 其中 M (L) 為對角陣, 各元素為同理可得, R e(K(0))= MH(0)M(0).此時可將(17)式簡化為向量 L2范數形式:

假設波導中任意位置可傳播模態的數目為 Np(x) ,對于非零入射波能流, 只有可傳播模態起作用, 因而 M (0) 可 降維至 Np(0)×Np(0) 矩陣而不改變(18)式的結果.假設 pi的前 Np(0) 個元素對應傳播模態, 則 pi中僅前 Np(0) 個元素對入射波能流有貢獻.對于(18)式中的分子項, M (L) 可同理降維至Np(L)×Np(L) 矩陣.另外, 若 pi中只包含衰逝模態分量, 透射波 pt=Tpi中的結果依然只包含x=L處的衰逝模態分量, 原因在于能流不可能“無中生有”, 所以透射矩陣 T 可降維至Np(L)×Np(0)而不改變(18)式的結果.此時(18)式可化簡為[43]

其中 σ(M(L)TM?1(0))表示矩陣M(L)TM?1(0)的奇異值.值得強調的是, 降維后的矩陣 M (0) 可逆.具體地說, M?1(0) 為 x =0 處可傳播模態對應水平波數開根式后取倒數構成的對角陣.在矩陣分析中, 不考慮衰逝模態的作用時, 矩陣 M (0) 在可傳播模態張成的解空間中可逆.(19)式的推導利用了矩陣誘導2范數的定義, 即矩陣的誘導2范數等于其最大奇異值.

其中 U 和 V 分別為左、右奇異向量組成的矩陣, 二者分別為 Np(L)×Np(L) 和 Np(0)×Np(0) 酉 陣;Λ為 Np(L)×Np(0) 對 角陣, 各元素為 σm, m的取值范圍為 m =1,2,···min(Np(0),Np(L)) , 且由大至小降序排列.根據矩陣相乘的性質, 存在如下關系:

其中 vm和 um分別為矩陣 U 和 V 的第m個列向量, M?1(L) 與 M?1(0) 類似.由(21)式可知, 實現能流最大透射的最佳入射波模態展開系數為

對應 x =L 處的輸出為 pt=σ1M?1(L)u1, 將輸出和輸入代入(16)式可得能流的最大透射率為Gmax=.因此, 通過奇異值分解, 可以同時獲得能流最大透射率和對應的最佳入射波, 能流最大透射率為矩陣 M (L)TM?1(0) 最大奇異值的平方, 最佳入射波的模態展開系數由最大奇異值對應的右奇異矢量決定.最終 x =0 處聲場的展開系數表達式為代表入射和反射的疊加場.對于聲波導, 介質內不存在可對聲波能量產生增益的因素, 背向散射和吸收成為阻礙聲波透射的主要因素, 因而對于矩陣 M (L)TM?1(0) , 其奇異值σm≤1恒成立.至此, 基于耦合簡正波理論(構建透射矩陣)和模態域輻射條件(構建水平波數矩陣), 可以獲得非均勻波導在任意頻率下可實現的能流最大透射率及對應所需的最佳入射波, 進而分析其產生的聲場以及對應的傳播現象.

3.2 數值結果

使用相同的波導結構, 本文選取圖2中平面波能流透射率較小的頻率 k =1.45π , 研究能流的最大透射率、對應的最佳入射波以及對應聲場.結果如圖5所示.圖5(a)給出選定頻率時, 矩陣M(L)TM?1(0)的奇異值平方分布.在當前頻率下, Np(0)=Np(L)=2 , 只存在兩階可傳播模態,圖5(a)表現出了典型的雙峰分布[5,6], 即奇異值平方非零即1.根據前述分析可知, 奇異值為1代表對應入射波可實現能流的全透射, 奇異值為0代表實現能流的零透射(這里等價于全反射).圖5(a)表明, 與光學或介觀物理中的高頻情況條件對比,即使對于僅有兩階可傳播模態的低頻條件, 波在非均勻波導中依然有存在全透射的可能性.需要注意的是, 對于不同的波導結構, 奇異值可能表現出多種的分布特性, 不局限于雙峰分布現象.圖5(b)畫出產生能流最大透射的最佳入射波幅值分布,圖5(c)給出最佳入射波的模態展開系數, 其中vT1n為 M?1(0)v1的前 Np(0) 個元素.可以看出,最佳入射波由可傳播的第零階模態(平面波)和第一階模態共同決定.圖5(d)畫出最佳入射波產生的聲場, 此時聲波近乎實現能流的全透射, 聲場亦近似表現出關于 x =L/2 的軸對稱分布.另外,對于本文中所使用的波導結構, 當頻率選取在k∈(0,π)范圍時, 波導內僅存在一階可傳播模態,即平面波.此時最大聲透射問題與平面波透射問題等價, 平面波的能流透射率即為能流最大透射率,因此 Gmax(k) 曲線與圖2中的 G (k) 在 k ∈(0,π) 區間內完全重合.

圖5 (a) 奇異值平方分布; (b) 最佳入射波幅值分布; (c) 最佳入射波的模態展開系數; (d) 產生能流最大透射的聲場.波導參數與圖2中使用的一致, 頻率k=1.45πFig.5.(a) Distribution of squares of singular values; (b) modulus of the optimal incident wave; (c) expansion coefficients of the optimal incident wave; (d) wave field with the maximum energy flux transmittance.The geometry of the waveguide is same as that in Fig.2, and the frequency is k=1.45π.

4 衰逝模態的影響及最大聲透射的魯棒性

根據(14)式可知, 衰逝模態不傳播能量, 所以不影響能流的大小.但是衰逝模態會影響波導中的聲場結果, 尤其是水平變化區域的近場結果[44].本節將考慮衰逝模態對最大聲透射的影響并分析最大聲透射的魯棒性.圖6(a)給出當圖3(a)中入射平面波疊加衰逝模態時產生的聲場, 圖6(b)給出當最佳入射波(圖5(b))疊加衰逝模態時產生的聲場.圖6(a)中的入射波為

與圖3(a)和圖5(d)對比可知, 聲場發生了明顯的改變, 但是能流的透射率保持不變.由該現象可推得兩點結論: 一是在波導結構和頻率參數固定的條件下, 能夠產生能流全透射的聲場解并不唯一.圖6(a)和圖6(b)中的聲場雖然與圖3(a)和圖5(d)相差甚遠, 但兩圖中的能流依然為全透射.二是波導結構對于能流最大透射具有較強的魯棒性, 其原因在于波導結構天然地限制了垂直方向振蕩快于波長的波成分傳播, 因為振蕩速度快于波長的波的模態成分僅對應衰逝模態, 不攜帶能流, 無法改變能流透射率.當入射聲波存在一定的隨機干擾時,大部分干擾對能流的透射率并無影響, 因此波導結構對于能流的優化透射天然具有較強的魯棒性.

圖6 (a) 圖3(a)情況下平面波疊加衰逝模態后的聲場;(b) 圖5(d)情況下最佳入射波疊加衰逝模態后的聲場Fig.6.(a) Wave field generated by a plane wave mixed by evanescent modes in the case of Fig.3(a); (b) wave field generated by the optimal incident wave mixed by evanescent modes in the case of Fig.5(d).

事實上, 從圖6(a)中可以發現具有完美魯棒性的平面波最大聲透射現象.在圖6(a)或圖3(a)對應的參數條件下, 有且僅有第零階簡正波, 即平面波可以傳播, 其余各階簡正波皆為衰逝模態.此時無論入射平面波上疊加何種形式干擾, 干擾后的入射波一定會被分解成可傳播的平面波和其他高階簡正波成分, 其中平面波實現能流的全透射, 而高階簡正波不傳播能量.最終無論干擾后的聲場形式如何改變, 在該頻率下能流永遠為全透射.因此當波導中僅存在一階可傳播模態且在滿足要求的頻帶內存在使該模態實現能流全透射的頻率時, 對應的全透射現象呈現出完美魯棒性, 無視任何干擾的影響.

圖5(d)中的全透射聲場無法表現出完美魯棒性, 這里對其魯棒性進行分析.當最佳入射波存在隨機干擾時, 干擾后的入射波表達式可寫作:

式中, α (y) 與 β (y) 均 為 [ ?0.5,0.5] 區間內均勻分布的隨機函數.(25)式相當于在最佳入射波poipt(0,y)上疊加了 ± 50% 的隨機幅度起伏以及 [ ?π/2,π/2] 的隨機相位起伏, 將該干擾入射波輸入至波導內可經由(16)式計算對應的能流透射率.經過 2 ×105次蒙特卡羅分析后, 算得能流透射率的相對標準差為?3.01%, 能流透射率的期望為0.974.從統計數據上看波導中的能流最大透射呈現出了較高的魯棒性.圖7中給出一組最佳入射波存在隨機起伏時產生的聲場, 聲場結果與圖5(d)相似, 聲場亦呈現出一定的空間對稱特性, 此時的能流透射率為0.985.聲場在一定程度上可認為實現了能流的全透射.

圖7 最佳入射波存在隨機擾動時的聲場Fig.7.Wave field generated by a disturbed optimal incident wave.

接著考慮高頻條件下, 即可傳播模態較多時,能流最大透射的魯棒性.圖8給出不同頻率下, 最佳入射波存在(25)式形式的隨機干擾時, 能流透射率的期望和相對標準差的變化曲線.其中任意頻率下的最佳入射波均按照(20)式—(22)式獨立求取, 求取后對其疊加隨機干擾再經過 2 ×105次蒙特卡羅分析后求得能流透射率的期望和相對標準差.圖8中頻率選取范圍為 k ∈[1.2π,9.95π].由圖8可以明顯地看出, 在選取頻率范圍內, 能流透射率的期望均在0.95以上, 近乎為全透射; 而相對標準差的絕對值均在5%以內, 可認為具有較高的抗干擾能力.因而非均勻波導中的全透射具有高魯棒性, 能夠更易于工程實現.

圖8 最佳入射波存在隨機干擾時能流透射率的 (a)期望和(b)相對標準差隨頻率的變化Fig.8.(a) Expectation and (b) relative standard deviation of the flux-transmittance when the optimal incident wave is randomly perturbed.

5 討 論

文中方法所基于的耦合簡正波理論可用于求解多種非均勻波導內的聲傳播問題, 求取過程不含任何近似處理, 能夠給出穩定準確的聲場解, 適用于深入分析波導中的各種聲傳播問題.

1)文中分析最大聲透射的方法同樣適用于含吸收散射體波導, 散射體是否含吸收并不改變透射矩陣及水平波數矩陣的構建方式, 方法仍然適用.但透射率曲線, 最佳入射波以及對應聲場會受到影響.

2)對于含聲速剖面或介質參數變化問題, 透射矩陣的構建可參考文獻[37], 水平波數矩陣的構建可參考文獻[45].分析最大聲透射問題的步驟仍可參照(17)式—(22)式.故該方法可對部分淺海波導中的最大聲傳播問題提供參考.

3)文中所使用的耦合簡正波法已被證明適用于分析彈性非均勻板中的蘭姆波傳播問題[46], 故結合文中分析最大聲透射的方法可分析彈性聲超構材料中的蘭姆波最大透射特性.

4)文中方法對分析最大聲反射問題同樣適用.

此外, 考慮實驗構建最佳入射波時, 文獻[47]已證明以半波長為間隔稀疏輸入最佳入射波可重構原入射波的傳播特性, 因此通過合理地選取各采樣點處聲源的源級和初相, 結合能流最大透射對最佳入射波的幅度和相位擾動具有強魯棒性的特點,能夠構建出滿足要求的入射波, 為工程實現提供一定的可行性.

6 結 論

本文提出了一種分析非均勻波導中能流最大透射問題的方法, 理論推導出入射波與任意位置聲場的映射關系并給出透射波能流的表達式, 進而分析發生最大聲透射時聲波需要滿足的頻率條件或波形條件.能流表達式主要由透射矩陣、水平波數矩陣及入射波決定, 其中透射矩陣和水平波數矩陣均可利用耦合簡正波法構建.本文討論了任意聲波入射時能夠實現最大聲能流透射的頻率及對應聲場解, 以及任意頻率下能夠實現最大聲能流透射的入射波及對應聲場解.結果表明, 即使在頻率較低的情況下, 聲能流也可能存在全透射現象.值得注意的是, 聲能流的零反射不代表聲壓的零反射, 聲場中存在反射波與能流的全透射之間并不矛盾, 原因在于反射波中可以存在不傳播能流的衰逝模態成分.此外, 波導中的最大能流透射具有較強的魯棒性, 尤其是當波導中僅存在一階可傳播模態時,該模態的能流全透射能夠表現出完美魯棒性.本文提出的方法在復雜介質聲通信或超構材料設計分析中具有一定的應用價值.