外磁場中的粲偶素*

龔闖 郭星雨?

1) (華南師范大學量子物質研究院, 廣東省核物質科學與技術重點實驗室, 廣州 510006)

2) (華南師范大學南方核科學計算中心, 粵港量子物質聯合實驗室, 廣州 510006)

在相對論重離子碰撞早期, 會產生一個極強的磁場.初始碰撞產生的粲偶素會受到磁場的影響, 進而攜帶磁場的信息.本文利用磁場下的兩體薛定諤方程研究磁場對粲偶素的影響.利用角動量展開的方法, 數值計算了不同磁場強度下粲夸克偶素的能譜.采取的方案是把三維波函數展開成不同軌道角動量以及自旋態的疊加, 實際計算過程中發現, 當 n ≤2 , l ≤7 時能很好地滿足精確度.進一步, 哈密頓量可以寫成H=H0+(qB)2H1+qBPps,⊥H2 形式, 其中 H 0 , H 1 , H 2 不依賴于B和 P ps,⊥ , 因此只要計算出 H 0 , H 1 , H 2 就能求出任意B和 P ps,⊥ 下的哈密頓量.這樣的數值方法在保證計算精度的同時顯著減少了計算量.計算結果表明隨著磁場和總動量的增加, 粲偶素的質量增大, 在磁場強度為, 總動量為 1.8GeV 時, 質量的增加量為20%.

1 引 言

夸克是目前人類認識到的最深層次, 描述夸克之間的相互作用的是量子色動力學(QCD)理論.QCD解禁閉相變被認為會發生在相對論重離子碰撞系統中[1,2].重離子碰撞中產生的夸克膠子等離子體(QGP)是研究QCD性質的重要媒介.粲偶素是粲夸克和反粲夸克組成的束縛態, 當其處在“夸克禁閉”解除的QGP中時, 粲夸克和反粲夸克之間的相互作用會由于周圍大量色荷的德拜屏蔽效應而減弱, 當QGP的溫度足夠高, 色荷德拜屏蔽半徑小于粲偶素的束縛半徑的時候, 該束縛態將被分解, 其產額會被壓低.因此, 粲偶素在相對論重離子碰撞中產額相對質子-質子碰撞中產額的壓低被認為是QGP產生的重要標志[3].由于重離子都帶有正電荷, 在重離子非對心碰撞過程中會產生強大的磁場.對于 J /ψ 粒子, 其主要來源為初始硬過程產生的粲夸克偶素對.而在碰撞初期, 也正是碰撞產生的磁場最強的時刻.磁場應該會影響J/ψ粒子的產生, 由于磁場有一個特定的方向, 在該磁場影響下產生的 J /ψ 粒子也可能存在各向異性[4].為了定量研究 J /ψ 粒子的演化, 了解磁場對夸克偶素的影響是必不可少的.對于重夸克偶素這樣由兩個較重的粒子構成的束縛態, 利用薛定諤方程進行研究是合理的[5].然而, 在有磁場的情況下, 角動量不再守恒, 數值求解的復雜度大大增加, 我們提出利用真空中的能量本征函數進行展開, 來實現計算的簡化.雖然碰撞產生的粲夸克偶素的整體動量可以很大, 但是由于粲夸克的質量較大, 在束縛態中正反粲夸克的相對運動速度并不會很大.文獻[6]中研究了粲夸克偶素束縛態的相對論修正, 其對介子能量的修正大約在10%左右.

2 薛定諤方程的簡化

真空中的夸克偶素的薛定諤方程可以寫作[7]:

這里的能量本征值E不僅包含夸克偶素的動能,也包含夸克偶素的靜止質量, 動量Pkin=pa+pb是守恒量.考慮薛定諤方程處于穩恒磁場中的時候, 利用最小耦合有[8]:

這里 μ =q/mq(Sa?Sb) 是自旋磁矩.此時, 很明顯總機械動量 Pkin=pa+pb?qaAa?qbAb在該系統下不守恒.考慮在真空條件下的靜止質量利用動能的期望值, 重新定義該系統下的靜止質量

為了簡化形式, 做如下坐標變換:

相應的動量表達形式如下:

在相對論重離子碰撞中, 電磁場的變化是非?？焖俚? 但是其定量的衰減速度, 不同的模型給出的結果相差數個量級, 對應的電場強度也是如此,根據文獻[9]的計算結果, 電場強度相比于磁場強度仍較小; 粲夸克偶素的產生也是一個時間尺度非常短的強相互作用過程[10].在本文的研究中, 假設后者的時間尺度短于前者, 因此在計算束縛態時可以將磁場近似看成是恒定磁場.現在規定矢量勢兩個夸克的帶電量為 qa=?qb=q.在這個情況下, 可以得出:

最后, 穩恒磁場中的薛定諤方程可以簡化為[11]:

此時能量E對應哈密頓算符的本征態, mq包含兩體相互作用能和磁場中的塞曼能, 以及其他磁場的貢獻.磁場的影響包括以下三項: 第一項是它是由夸克的自旋和磁場的相互作用引起的, 因此稱為自旋磁場相互作用項; 第二項是它是由Lorentz力引起的, 因此稱為Lorentz項; 第三項是該項在垂直于磁場方向附加了一個額外的勢的約束, 稱為約束項.這里, Pps,⊥表示 Pps的投影垂直于磁場B, 即x-y平面.為了簡化, 選取 Pps,⊥的方向作為x軸, 有〈Pkin〉=Pps+qB〈y〉ex[12].這樣定義了一個新的守恒動量 Pps, 化簡后的兩體薛定諤方程只與兩個粒子的相對坐標r有關, 而與它們的整體運動無關.

3 將波函數在角動量本征態上展開

將波函數在軌道角動量和自旋角動量的共同本征態上展開, 一方面能將三維的數值計算進行簡化, 另一方面能使不同軌道角動量的波函數的物理意義更加清晰.將中心勢與自旋-自旋相互作用勢一起考慮[13,14]:

自旋-自旋相互作用使得三重態和自旋三重態相互分離; 三重態中 T0和 S0相互耦合不再是H的本征態, T+和 T?仍是H的本征態, 產生了不同自旋成分的混合, 例如 ηc和 J /ψ , 定義自旋態:

這樣就能得到如下結果:

從上面的結果可以看出, Sz=±1 的三重態仍然是H的本征態, 而 Sz=0 的三重態是自旋單態和三重態的混合態, 因此它不再是H的本征態.此外, 其他的兩項還會打破空間的旋轉對稱性, 并且能量的本征態不再是軌道角動量的本征態, 可以用球諧函數來描述[15].此外, 波函數 ψ (r) 還包含了軌道角動量分量.于是, 我們在自旋和球諧波函數的共同本征態上將波函數展開.

通過應用微擾法找出磁場的勢能導致的所有作用.為了方便, 把薛定諤方程寫成如下形式:

選擇Cornell勢和格點理論中的自旋-自旋相互作用勢作為中心勢[16],

對于粲夸克參數, mc= 1.29 GeV, σ = 0.174 GeV2,α = 0.312, β = 1.982 GeV, γ = 2.06 GeV.

對于不同的l和m, 薛定諤方程在該表象中的矩陣元可以通過下面的方式得到.球諧函數的表達形式為:

利用Legendre多項式的正交關系和遞推關系[17,18]:

可以得到

這里只給出矩陣 l ,m 的非對角項, 對角項 l =l′,m=m′可以通過上式非常容易得到.最終, 薛定諤方程可以化簡為如下形式:

這里, 矩陣U, V, W分別被定義為:

這樣, 就將一個三維薛定諤方程轉化為一維的薛定諤方程, 能夠求解它的本征函數和本征值.在計算過程中要注意軌道角量子數l的截斷, l要選取得足夠大, 以至于 al,m的影響能夠忽略[19,20].此時的問題已經可以直接數值求解, 然而為了較為精確地求解徑向微分方程, 離散化之后的格點數需要在 1 03— 1 04之間, 由于我們需要計算不同磁場強度以及 Pps下的方程, 這樣的計算仍顯得較為繁瑣.為了進一步簡化, 我們將徑向波函數用無磁場的能量本征函數進行展開,

此處s指代自旋指標.注意到在無磁場時, 哈密頓量對m量子數是簡并的, 因此徑向本征函數不依賴于m.由此, 最終可以將哈密頓量化為如下矩陣形式:

此時哈密頓矩陣的維度視求解的自旋態不同, 為n(l+1)2或 2 n(l+1)2.在實際計算中發現, 取 n ≤2 ,l≤7已經能夠很好地滿足計算精度.因此矩陣維度在102量級.進一步, 注意到

其中 H0, H1, H2均不依賴于B和 Pps,⊥.因此, 只要計算出 H0, H1和 H2就可以得到任意B和Pps,⊥下的哈密頓量.

4 數值方法

最終的數值計算流程可以總結如下:

1) 在無磁場的情況下使用有限差分方法計算能量本征值 En,l和本征函數 ?n,l[21];

2) 利用 En,l和 ?n,l, 計算 H0, H1和 H2的矩陣表示;

3) 選定不同的B和 Pps,⊥, 利用(6)式給出完整哈密頓量的矩陣形式, 并數值求解本征值和本征函數.

因此, 具體的數值任務就是求解矩陣的本征值問題, 由于我們只關注最低的幾個本征能量和本征態, 利用逆冪方法可以很好地實現這個目標, 對于任意一個非簡并的本征態有

這里 ψk構成一組正交歸一完備集, λk則是每一個波函數對應的本征值.在等式兩邊分別減去一個特征值并對其取逆次冪, 則有

對于任意一個波函數ψ, 均可以在 ψk的完備集上將其展開:代入(43)式有

通過這個方法不僅可以得到H的基態波函數,也可以通過改變的值, 得到其不同激發態的波函數, 以及不同態對應的本征值.對于薛定諤方程(34)式—(36)式, 在離散坐標空間中, 微分能夠寫成的形式, 其他的項也可以寫成矩陣的形式.因此哈密頓算符能夠寫成矩陣的形式, 它的逆矩陣也很好得出, 可以使用逆冪算法.

5 結 果

本文首先驗證了對于角量子數的階段是否合理, 選取了 l ≤7 , 圖1分別給出了Pkin=1GeV , 在 l =7 和 l =6 兩種情況下求解基態本征波函數.圖中紅色曲線是 l =6 的波函數, 藍色是 l =7 的波函數, 可以看出, 兩種情況下的本征態基本重合在一起, 即波函數(25)式和(26)式中的展開系數 al,m在 l =7 的時候趨近于零, 所以在計算過程中選取l截斷到7是完全合理的.由于圖1中的兩條曲線完全重合, 因此定義參數A=計 算 A =8.79481052?13,其他的物理量的變化與圖1中的變化相似.

圖1 q B= P kin=1GeV 時 l =7 和 l =6 的 本 征 態Fig.1.The eigenstates of l =7 and l =6 atqB=and P kin=1GeV.

圖2給出了磁場基態波函數對質量和極化動量的依賴性.對于粲偶素而言, 隨著介子動量的不斷增加, 洛侖茲力也不斷增大, 將夸克拉扯得更大.同時介子的質量 mq也會隨著總動量的增加而不斷變大, 這個增加的效應會在磁場越大的時候愈發明顯.當磁場強度, Pkin=1.8GeV 時, 介子的質量增加了 1 /5.而對于磁場較弱或者 Pkin較小的情況, 質量的增加量則有所減小.這樣一個非平庸的色散關系將會有一些非常有趣的物理后果.例如, 一些在一般情況下由于能動量守恒而被禁戒的衰變模式, 如 J /ψ→J/ψγγ , 在磁場中就有可能發生, 如果能夠用類似的方法進一步研究D介子的能譜, 也可以探討的可能性.

圖2 q B=(紅色), q B=(藍色),qB=(黑色), q B= (橙色), q B=(綠色)下, J /ψ 粒子的質量隨 〈 Pkin,⊥〉 的變化圖像Fig.2.The momentum 〈 Pkin,⊥〉 dependence of mass m and electric dipole moment q 〈y〉 for J /ψ± in magnet field with qB=0(dashed black), 5(red), 10 (blue), 15 (violet) and 20(orange) m 2π.

6 總 結

利用薛定諤方程研究磁場中的粲偶素本征態.通過將波函數及哈密頓量在無磁場的能量本征態上展開, 能在大大減少計算量的同時保證結論的有效性.通過逆冪算法能夠求解薛定諤方程, 得到不同磁場和不同總動量情況下的本征態與本征值, 計算結果表明隨著磁場和總動量的增加, 粲偶素的質量增大, 逐漸增大的Lorentz力會使得粲偶素的體積增加.當外磁場強度為零時, 增加總動量 Pkin不會改變粲偶素的質量, 而在外磁場強度越大的情況下, 隨著總動量 Pkin增加, 粲偶素質量的增加量會成指數級增大.在Pkin=1.8GeV 時, 質量增加了約20%.

感謝馬治民在編程方面給予的幫助.