基于糾纏相干態的量子照明雷達*

陶志煒 任益充 艾則孜姑麗·阿不都克熱木劉世韋 饒瑞中

1) (中國科學技術大學環境科學與光電技術學院, 合肥 230026)

2) (中國科學院合肥物質科學研究院安徽光學精密機械研究所, 大氣光學重點實驗室, 合肥 230031)

量子照明雷達旨在利用量子光場探測熱噪聲環境下低反射率目標是否存在.發射光源的糾纏特性使其較經典雷達具有獨到的探測優勢.糾纏相干態(entangled coherent state, ECS)作為一類在噪聲環境下糾纏魯棒性較強的量子態, 近年來在量子科學的多個領域得到廣泛的應用.本文研究了基于三類不同ECS態的量子照明雷達的目標探測性能, 并以雙模壓縮態(two-mode squeezed vacuum state, TMSV)和相干態作為基準對比和分析了三類ECS態糾纏度大小與其探測性能之間的關系.研究發現: 在目標為低反射率且發射光子數遠小于背景噪聲的情形下, 三類ECS態的探測性能優于相干態, 劣于TMSV態; 此外, 三類ECS態的探測性能可由其糾纏度的大小來決定.在其他照明條件下, 使用量子照明雷達進行目標探測較相干態雷達并無明顯的優勢, 三類ECS態的探測性能與TMSV態和相干態方案并無明顯聯系.

1 引 言

雷達從第二次世界大戰開始興起, 歷經幾十年的發展, 在航空、工業、氣象以及國防等領域發揮著重要的作用.傳統經典雷達受限于電磁理論的桎梏, 在靈敏度、分辨率、抗電磁干擾和隱身目標探測等方面均遇到難以突破的瓶頸, 已無法滿足日益苛刻的應用需求[1].近年來, 空間量子信息技術的迅速發展為突破經典雷達的性能瓶頸開拓了新的思路.研究人員基于量子力學、信息技術和空間遙感, 提出量子雷達的概念, 并進一步提出干涉式量子雷達、接收端增強量子雷達和量子照明雷達等多種方案和嘗試[2], 以求突破經典極限, 全面提升雷達性能.

由Lloyd[3]提出的量子照明方案是采用量子光場的糾纏特性來增強低反射率目標物體的探測性能, 其原理是利用糾纏光源產生的信號光來審查目標物體, 并將回波信號與本地參考光進行聯合測量, 從而達到量子增強的效果.在這種工作機理下,由于回波信號與本地參考光子之間存在糾纏, 使得摻雜了背景噪聲的回波信號更容易被檢測出來.除此之外, 相關理論研究表明[4], 量子照明還可以指數級別地增強探測的靈敏度和信噪比, 并且即使在糾纏破壞環境下, 這種增強仍舊存在, 這使得其未來在軍事國防、空間探測、工程測繪、空空對抗等領域有著重要應用.

量子照明雷達的發展可以簡單地劃分為兩個階段: 第一階段主要以相干態和雙模壓縮態(twomode squeezed vacuum state, TMSV)量子照明雷達[5]作為研究對象, 其研究的主要結論為: 在目標為低反射率, 環境為高背景噪聲以及發射光子數十分微弱的情形下, TMSV態在辨識目標是否存在的錯誤概率上最多只能獲得相比于相干態方案6 dB的指數冪次的提升[6].為了逼近上述理論極限,相關學者也相繼研究了在不同的接收機制下[7?11],量子照明雷達實際能獲得的最優結果.在實驗方面, 美國麻省理工學院等單位[12?15]也相繼開展了對上述理論方案的驗證.由于第一階段的量子照明雷達主要集中在可見光波段, 其主要短板是光源穿透性差并且無法天然的保證背景總是存在[4,16], 實驗過程中往往需要額外的光源進行照射才能滿足其條件.因此, 在第二階段, 研究人員針對這一缺點開展了微波波段的量子照明雷達實驗研究[17?19].

除此之外, 相關學者也相繼研究了不同量子光場在任意照明條件下的目標探測性能.例如, Shapiro和Lloyd[20]分析了單光子量子照明雷達與相干態方案之間的差別; Devi和Rajagopal[21]使用化簡的量子信道辨識錯誤概率對Fock態、NOON態以及相干態等方案進行了比較; Fan和Zubairy[22]研究了增光子和減光子TMSV態量子照明雷達目標探測性能之間的差異.糾纏相干態(entangled coherent states, ECS)作為一類在噪聲環境下糾纏魯棒性較強的量子態[23], 近年來在量子通信[24?27]以及量子度量[23,28?30]等領域都取得了巨大的成功.截至目前, 國內外對基于ECS態的量子照明方案的研究仍然較為匱乏.本文引入三種不同類型的ECS態[24,31], 詳細分析它們在量子照明目標探測方面的性能表現.為了便于比較, 本文采用TMSV態以及相干態作為探測性能的上限基準和下限基準.

本文結構如下: 首先討論糾纏相干態量子照明雷達的物理模型和數值模擬方法, 介紹度量量子照明雷達探測性能的兩個重要指標Helstrom極限[32]和量子Chernoff極限(quantum Chernoff bound,QCB)[33]; 其次研究糾纏度[34]與量子照明雷達探測性能之間的關系, 詳細比較和分析ECS態量子照明雷達探測性能隨發射光子數、模間相位以及熱噪聲光子數的變化情況.研究發現: 在發射光子數遠小于背景噪聲(即 Nemit?N+th; 本文稱其為“好”的照明條件)的情況下, 三類ECS態的目標探測性能整體優于相干態, 次于TMSV態, 然而, 但相比于TMSV態, 這種性能提升是微不足道的; 除此之外, 糾纏度與量子照明雷達目標探測性能呈現正相關關系, 此時糾纏度可以認為是衡量量子照明雷達探測性能好壞的一種度量方式.在其他照明條件下, ECS態量子照明雷達失去其獨特的優勢, 此時,三類ECS態的目標探測性能與TMSV態和相干態方案之間并無明顯的關系.

2 ECS態量子照明

2.1 理論模型

量子照明雷達的主要任務是審查熱噪聲環境下的低反射率目標物體是否存在, 其等價模型如圖1所示.其中發射光源 ρAB為雙模糾纏的量子光場, A模作為信號光照向探測目標并對其進行掃描, B模則留在本地作為閑置光與反射回來的A模進行聯合測量.若目標不存在, 則熱光場 ρC會直接進入探測器, 此時A模相當于耗散在環境中;反之, 若目標存在, 則經目標反射的A模會與 ρC在目標物體上進行混合, 隨后被探測器接收.由于上述兩種過程會生成不同的接收光場, 因此通過量子態辨識即可判斷目標物體是否存在.

圖1 量子照明雷達的物理模型.發射光源 ρ AB 產生雙模糾纏的量子態, A模作為信號光用于審查目標物體(圖中用“飛機”代替)是否存在.若目標存在, 熱光場 ρ C 與A模在目標物體處進行混合, 隨后與留在本地的閑置光B模進行聯合測量.若目標不存在, ρ C 則直接進入探測器與B模進行聯合測量Fig.1.Physical model of quantum illumination radar.The photonic source ρ AB generates two-mode entangled quantum states.Mode A is used as a signal mode to interrogate the presence of the target object (illustrated by “an airplane” in figure).If an object is present, the thermal noise ρ C is mixed with mode A at the object and subsequently measured together with the retained-mode B.If no object is present, ρ C will enter the final measurement device directly for joint quantum measurements with mode B.

不失一般性, 本文假設 ρAB為文獻[24]定義的兩類ECS態和文獻[31]定義的路徑對稱ECS態,關于前兩類ECS態, 可以由奇偶相干態與相干態兩路光場信號經分束器干涉后產生[28], 其在相空間具有對稱性, 表示如下:

其中|α〉代表振幅為α的相干態,| α?〉 代表振幅與|α〉相同,相位與 |α〉互為共軛的相干態,N1=2(1+|exp(?|α|2+α2)|2) 和N2=2{1+Re[exp(?2|α|2+2α?2)]}代表兩類ECS態的歸一化系數.類似地,對于路徑對稱糾纏相干態, 有如下表述:

為了方便研究和分析低反射率目標物體是否存在, 本文將探測目標物體抽象為透射率為η的分束器, 這里η實際上代表的是探測目標物體的反射率.因此, 上述混合過程可使用分束器的幺正算符來表示,分別代表信號光和熱光場的湮滅算符.根據量子照明雷達的工作原理, 等價模型會產生兩個可能的輸出態 ρ0和 ρ1, 通過有效的區分即可判斷目標物體是否存在,

值得注意的是, 為了彌補熱光場光子數在干涉過程中的損耗, 本文將目標存在時的熱光場光子數Nth替換為 Nth/(1?η)[22].當目標存在時, 上述模型還可簡化為

即探測設備M接受的光場實際上是經過反射的A模與經過透射的熱光場的相干疊加[35].至此, 判斷目標是否存在這一問題可被等效看成兩個量子過程 ρ0和 ρ1辨識過程, 衡量辨識能力好壞的物理量同時也間接地反映了量子照明的探測性能表現,通常采用辨識錯誤概率來進行度量, 稱為Helstrom極限

由于糾纏光源是量子照明不可或缺的組成部分, 因此, 為了驗證糾纏度與量子照明性能之間的關系, 本文采用約化密度矩陣的von Neumann熵來度量兩模之間糾纏度的大小[34], 由如下關系給出:

這里 ρA=TrB|ψAB〉〈ψAB| , ρB=TrA|ψAB〉〈ψAB|.

2.2 數值模擬方法

2.1 節介紹了量子照明雷達的工作原理, 本節通過上述理論模型對ECS態的量子照明的探測性能進行數值模擬, 并簡單介紹數值模擬用到的方法.由于改變ECS態振幅的大小會導致平均光子數增加, 從而間接地改善量子照明性能.一般地,我們希望在同等光子數, 即相同發射功率的情況下, 量子信道辨識錯誤概率盡可能得小.為了更好地比較同光子數情況下三類ECS態的探測性能,本文計算了三類ECS態的光子數, 分別為:

與文獻[36, 37]不同, 本文在保證發射光子數相同情況下通過調節平移量以及壓縮度的大小, 分別計算了TMSV態、ECS態和相干態在 M =1 時的Helstrom極限.值得注意的是, 為了保證信號端光子數與本地端光子數相同, 本文將相同發射光子數情況下的相干態信號端的能量取為總光子數的一半, 即 | α/2〉|α/2〉.除此之外, 本文同樣計算了決定QCB變化趨勢的衰減指數ε隨發射光子數和熱光場光子數的變化情況.

考慮到量子照明雷達是使用微弱的糾纏脈沖來探測高噪聲環境下低反射率的目標物體, 因此本文在數值模擬過程中, 發射光子數 Nemit的變化范圍限制在 0 —1 之間, 分束器的透射率η取為0.01.熱噪聲的強弱直接決定了探測性能的好壞, 這時會存在熱光場的光子數較大的情況, 因此數值模擬過程中B模和A, C兩模所選取的截斷維度分別為30, 60.

本文使用Python的Numpy, Scipy和Qutip數據包進行數值模擬, Matplotlib用于繪圖.為了計算同光子數情況下的ECS態和TMSV態的平移量和壓縮度的大小, 使用了scipy.optimize模塊的root函數進行計算.在Qutip中, 通常使用coherent(n_max, alpha)來生成相干態, n_max為最大截斷維度, alpha為平移量.(1)式表述的前兩類ECS態可使用相干態的張量積函數tensor來描述, 例如(tensor(coherent(n_max, alpha), coherent(n_max, alpha_conj))+tensor(coherent(n_max, alpha), coherent(n_max, alpha_com))).unit(), 這里.unit()代表歸一化算符.在計算QCB的衰減指數ε的過程中, 使用了scipy.optimize中的fminbound函數.

3 ECS態量子照明性能分析

3.1 發射光子數的影響

發射光源的糾纏特性是決定量子照明探測性能的關鍵.因此, 我們盡可能的希望對于同等光子數情況下, 糾纏度越大的量子態, 進行量子照明時的探測性能也越好.本節在前述量子照明理論模型的基礎上首先給出了糾纏度隨發射光子數 Nemit的變化趨勢, 隨后討論了不同熱噪聲情況下的量子照明探測性能隨 Nemit的變化情況, 最后分析了糾纏度與探測性能之間的關系.

圖2給出了不同量子態的糾纏度隨發射光子數 Nemit的變化曲線, 其中第一類ECS態和第二類ECS類模間相位均取為 π /2.從圖2可以看出, 當Nemit逐漸增加時, 量子態的糾纏度也逐漸變大; 在保證 Nemit相同的情況下, TMSV態的糾纏度較三類ECS態的糾纏度大, 路徑對稱ECS態糾纏度卻不及前兩類ECS態, 而前兩類ECS態的糾纏度則介于TMSV態和相干態之間.此外, 當 Nemit為任意值且保持模間相位不變的情形下, 前兩類ECS態糾纏度大小并無差別.

圖2 von Neumann熵E隨發射光子數 N emit 的變化曲線Fig.2.The variation curve of von Neumann entropy E with the emitted photon number N emit.

圖3 (a)和圖3(c)分別給出了當熱噪聲較小( Nth=0.1 )時利用(3)式計算的QCB極限衰減系數ε和 M =1 時的Helstrom極限隨 Nemit的變化曲線.可以看出, 對于所有考慮的量子態而言,ε隨 Nemit的增加均逐漸增加, 此時探測光源功率與探測性能呈現正相關關系.若保持 Nemit相同,使用TMSV態進行目標探測的效果最好.此外, 如圖3(c)所示, 除了TMSV態之外, 當 Nemit較小時( Nemit<0.1 ), 路徑對稱ECS態和相干態的Helstrom極限最小, 且兩者數值相同, 說明此時路徑對稱ECS態和相干態較前兩類ECS態具有較好的探測性能; 當 Nemit逐漸增大時( Nemit>0.1 ),路徑對稱ECS態將失去其探測效果好的優勢, 而相干態仍具有較好的效果, 此時前兩類ECS態的探測性能與路徑對稱ECS態相當.

圖3(b)和圖3(d)為當熱噪聲較大( Nth=1 )時ε和Helstrom極限隨 Nemit的演化曲線.當Nemit較小時, 與我們的猜想類似, 保持同等光子數情況下, TMSV態探測效果最好, 前兩類ECS態和路徑對稱ECS態次之, 相干態性能表現最差; 然而, 隨著 Nemit的逐漸增加(如圖3(d)所示, Nemit>0.5 ),相干態的探測性能將超過路徑對稱ECS態, 這時路徑對稱ECS態探測效果最差(這里不采用ε來衡量是因為QCB極限較Helstrom極限更為松弛).

圖3 不同熱光場光子數下QCB衰減系數ε與Helstrom極限隨發射光子數 N emit 的變化曲線 (a), (c) N th=0.1 ; (b), (d)Nth=1Fig.3.Variation curves of QCB attenuation coefficient ε and Helstrom limit with the emitted photon number N emit for different thermal noise photon numbers: (a), (c) N th=0.1 ; (b), (d) N th=1.

綜上所述, 當熱噪聲較小時, 三類ECS態量子照明的探測性能與TMSV態和相干態之間并沒有明顯的關系.當熱噪聲較大且發射光子數遠小于熱光場光子數時(即在“好”的照明條件下), 糾纏度能在一定程度上度量量子照明的探測性能.當發射光子數不斷增加, 至與熱光場光子數相等時, 上述結論不再成立.需要指出的是, 雖然糾纏度較大的ECS態在一定條件下能增強量子照明的探測性能, 但是此時測量得到的錯誤概率要大于發射光子數較多或者熱噪聲較小的情況, 這也是很顯然的事情.

3.2 相位的影響

值得注意的是, 上述對于ECS態量子照明探測性能的分析是在模間相位φ等于 π /2 的基礎上進行的.為了研究ECS態糾纏度與其量子照明探測性能之間的關系, 本文在保證ECS態平均光子數不變( Nemit=1 )的情況下, 計算了第一類和第二類ECS態糾纏度隨φ的變化情況, 如圖4(a)所示.可以看出, 兩類ECS態的糾纏度隨φ的增加而逐漸增加(上節分析選取 φ =π/2 , 是因為此時前兩類ECS態具有最大的糾纏度), 并且兩者之差在(0,π/2)之間先增加后減小, 第二類ECS態糾纏度在 5 π/32 左右與第一類ECS態差距最大.保證φ不變的情況下, 第二類ECS態糾纏度始終大于第一類ECS態.

為了研究不同熱噪聲情況下量子照明探測性能隨φ的變化情況, 本文首先給出了在Nemit?Nth( Nemit=1 , Nth=15 )情況下ε隨φ的演化曲線,如圖4(b)所示.可以看出, 當φ處于 ( 0,π/2) 之間時, 第二類ECS態的ε始終大于第一類ECS態.若保持φ不變, 這時糾纏度較大的第一類ECS態較第二類ECS態而言, 確實在一定程度上增強了量子照明的探測性能.其次, 圖4(c)為當 Nemit=Nth(Nemit=1 , Nth=1 )時的結果.可以看出, 當φ較小時( φ <7π/32 ), 第二類ECS態探測性能整體優于第一類ECS態.然而, 隨著φ的不斷增加并超過某一閾值時( φ ≈7π/32 ), 第一類ECS態開始表現出明顯的優勢, 呈現先上升后下降的趨勢.特別地, 當 φ ≈9π/32 時, 與第二類ECS態相比，第一類ECS態具有最佳的探測性能.另一方面, 從圖4(c)還可看出, 第二類ECS態φ超過這一閾值后, 量子照明的探測性能呈現飽和趨勢, 當 φ =π/2 時, 兩類ECS態具有相同的探測性能.最后, 還給出了Nemit?Nth( Nemit=1 , Nth=0.1 )時的結果, 如圖4(d)所示.有趣的是, 兩類ECS態的量子照明探測性能在糾纏度為零的時候反倒表現得最好, 隨著φ的不斷增加, ε整體呈現較小的趨勢.另外, 圖4(d)的演化規律如同圖4(c)關于φ軸鏡像的結果.

圖4 N emit=1 時的von Neumann熵E與QCB衰減系數ε隨相位φ的變化曲線 (a)von Neumann熵; (b), (c), (d) QCB衰減系數, 其中Nth的值分別為(b) N th=15 , (c) N th=1 以及(d)Nth=0.1Fig.4.Variation curves of von Neumann entropy E and QCB attenuation coefficient ε with phase φ for N emit=1 : (a) von Neumann entropy; (b), (c), (d) QCB attenuation coefficient, with (b) N th=15 , (c) N th=1 and (d) N th=0.1 , respectively.

3.3 熱光場光子數的影響

通過對圖3的分析可知, 熱噪聲的存在從本質上影響著量子照明的探測性能.為了研究相同發射光子數情況下ECS態隨熱光場光子數 Nth的變化情況, 圖5分析和計算了發射光子數恒定時(Nemit=0.3)所有考慮的量子態在不同熱噪聲情況下QCB衰減系數ε和Helstrom極限.可以看出, 隨著Nth不斷增加, ε和Helstrom極限分別呈現不斷減小和上升的趨勢, 說明熱噪聲的增強使得探測性能不斷變差, 保持 Nth相同的情況下, TMSV態較其他探針態量子照明的探測性能更佳.其次, 如圖5(a)所示, 在 Nth較小( Nth?0.3 )的情況下,除TMSV態之外, 相干態的ε最大, 路徑對稱ECS態次之, 前兩類ECS態ε最小.當 Nth逐漸變大時( Nth?0.3 ), 前兩類ECS態的ε超過路徑對稱ECS態, 具有最佳的探測性能.

Helstrom極限隨 Nth的變化情況如圖5(b)所示.通過對比圖5(a)可知, Helstrom極限給出的探測性能的預測結果整體上與QCB極限的預測結果相同.當 Nth?0.5 時, 除TMSV態之外, 相干態具有最佳的探測效果, 路徑對稱ECS態次之, 此時糾纏度和量子照明性能之間并無明顯的關系; 當Nth?0.5時, 量子照明的探測性能整體與糾纏度呈現正相關關系, 這與圖5(a)中 Nth?0.3 時所得的結論相同, 這是因為Helstrom極限給出了精確的量子態辨識錯誤概率.當 Nth不斷增加, 至高于Nemit一個數量級時, 糾纏度較大的探針態對量子照明探測性能的增強效果不斷擴大, 但是由于此時發射光子數較小且熱噪聲較大, 量子態辨識的錯誤概率也在不斷增加.

圖5 N emit=0.3 時的QCB衰減系數ε與Helstrom極限隨熱光場光子數 N th 的變化曲線Fig.5.Variation curve of QCB attenuation coefficient ε and Helstrom limit with the thermal noise photon number Nth for N emit=0.3.

因此, 通過對量子照明探測性能隨 Nth變化趨勢的分析可知, 只有在“好”的照明條件下, 糾纏度越大的ECS態才能對探測性能起到增強的作用,一般來說, 量子態糾纏度的大小與量子照明的性能并無明顯的關系, 這意味可能存在其他度量手段來更好地決定探測性能的好壞.

4 結 論

本文首先簡單介紹了量子照明雷達的工作原理及其獨特的優勢, 其次以TMSV態和相干態的探測性能作為上限基準和下線基準, 研究了基于糾纏相干態的量子照明雷達, 計算了度量其探測性能的錯誤概率極限(即Helstrom極限和QCB極限).研究結論分為以下兩個方面: 1)在一般量子照明條件下, 與相干態雷達相比, 量子照明雷達無法體現其優勢, 此時三類ECS類的探測性能與TMSV態和相干態方案并無明顯的關系; 2)在“好”的照明條件下, 三類ECS類的量子照明的探測性能優于相干態劣于TMSV態, 此時探測性能的好壞是由量子態糾纏度的大小決定的, 這意味著在“好”的照明條件下可以采用糾纏度作為度量量子照明的探測性能好壞的指標.

本文的研究為使用ECS態進行量子照明目標探測提供了可靠的理論指導.值得注意的是, 上述計算是基于理想條件下的探測性能的理論上界(例如, 本文并未考慮具體的接收機制[7?11]、目標物體的反射特性[38]以及閑置光子的存儲[17]等等), 對于實際情況的研究將在以后的工作中具體展開.另一方面, ECS態的優勢主要體現在“好”的照明條件下, 然而這種條件的“創造”實屬不易[4,16].回顧量子照明雷達的發展史可以發現, 可見光波段的種種困難隨著微波技術的發展得以克服(例如, 采用約瑟夫森參數轉換器可以產生微波波段的糾纏光子[17?19]; 光纖延時線[17]的發展為閑置光子的存儲提供了可能); 研究人員的新思路為量子照明的發展提供了新的可能(例如, 量子照明的目標探測可以從其產生的相位偏移中揭示出電磁隱形目標[39]),這些都為使用量子照明技術來進行目標探測提供了可靠的前景.