快自突觸反饋誘發混合簇放電的反常變化及分岔機制*

姜伊瀾 陸博? 張萬芹 古華光

1) (河南科技學院數學科學學院, 新鄉 453003)

2) (同濟大學航空航天與力學學院, 上海 200092)

簇放電是神經系統復雜的、多時間尺度的非線性現象, 具有多樣性, 在興奮性或抑制性作用下實現生理功能.近期較多研究發現了與通常概念(抑制性作用引起電活動降低、興奮性作用引起放電增強)相反的現象, 豐富了非線性科學的內涵.本文關注于抑制性和興奮性自突觸反饋都會誘發的一類復雜的混合簇放電產生的反?，F象及其分岔機制.利用快慢變量分離, 確認了放電的復雜之處: 簇結束于極限環的鞍結分岔之后要先經過去極化阻滯才到休止期.進一步, 揭示了該鞍結分岔在反?，F象的產生中起到了關鍵作用.抑制性自反饋引起了該分岔的左移導致簇的參數范圍變寬, 引起簇內峰個數增多和平均放電頻率增加; 而興奮性自突觸則引起該分岔右移導致電活動降低.與其他類簇放電只在抑制性自反饋下產生反常現象和慢突觸誘發的反常現象不同, 該結果給出了簇放電的反常現象的新示例及調控機制, 展示了反?，F象的多樣性, 有助于認識腦神經元簇放電和自反饋調控的潛在功能.

1 引 言

神經系統(腦)通過復雜非線性電活動, 如簇放電來處理信息, 進而實現感覺、認知和運動控制等功能.簇放電一般表現為快速連續多個放電峰組成的簇與休止期的交替行為, 在腦神經元中普遍存在而且模式多樣, 涉及多時間尺度和復雜非線性動力學, 在興奮性或抑制性作用特別是興奮性和抑制性的突觸或自突觸調控下來實現信息處理功能[1?4].生物學實驗在腦的不同部位或不同類神經元中發現了不同樣式的簇放電節律模式.利用快慢變量分離, 根據簇放電涉及的快子系統的分岔以及慢變量調控下的簇放電的軌線與快子系統的分岔的關系, 在理論上將簇放電區分為多類不同的模式, 如常見的“Fold/Homoclinic”型和“Homoclinic/Homoclinic”型簇放電等[5].“/”前和后的分岔分別對應于簇的起始和結束.還有更為復雜的混合簇放電模式, 其行為除了簇和休止期, 還會有閾下振蕩或去極化阻滯等[5,6], 表現出混合振蕩的特征[7?9].有研究認為簇是信息處理的基本單元[10], 簇放電的模式在不同調控因素如溫度、血壓和離子濃度等作用下的轉遷或分岔被認為與信息編碼有關[11?13].特別地, 興奮性突觸調控下的簇放電增強被認為與抑郁癥及藥物治療有關[1], 興奮性自突觸調控下的簇放電被認為有助于檢測不同類刺激信號的時間差[14].因此, 探究不同調控因素下的神經簇放電的動力學特性對于非線性動力學和神經科學都有重要意義.

傳統觀念中, 興奮性作用增強放電、抑制性作用引起放電降低, 在兩者的調控下神經系統的電活動實現動態平衡, 確保生理功能的穩定[15].當興奮性或抑制性作用過強, 則有可能引起疾病.例如,過強的興奮性作用會引起抑郁癥及對應的簇放電,藥物氯胺酮會通過阻斷興奮性作用將簇放電變為單個峰放電進而緩解抑郁癥[1].除了這些符合常規概念的電活動, 由于神經系統的復雜非線性特性,越來越多的反常現象被發現, 通過相位響應、分岔和慢變量對快系統的調控揭示了反?，F象的動力學機制, 豐富了非線性動力學的內涵及調控神經系統功能的手段[16?21].較早被發現的反?，F象是抑制性刺激引起靜息變為放電的抑制后反跳(postinhibitory rebound, PIR)現象, 在眾多神經系統中普遍存在, 且在信息處理和運動控制中都起到了重要作用[16,22].在生理學中, PIR現象被認為與超極化激活電流等有關[16,22]; 在動力學上, PIR現象被認為與Hopf分岔有關[5,22].此外, 在興奮性作用之前的合適相位施加抑制性刺激, 會引起放電活動的增強, 被稱為抑制后易化(post-inhibitory facilitation, PIF)現象, 在聽覺神經系統的空間定位中起到了重要作用[17,23].在理論模型中, 已經發現興奮性作用會引起網絡的電活動消失[24]、抑制性耦合促進網絡同步[25,26]、及抑制性自反饋作用會促進網絡的信息傳遞能力增強的反常現象[27,28].這些進展說明進一步揭示反?，F象及調控機制是全面認識神經系統的復雜動力學行為并揭示潛在生理功能的重要環節.

近年來, 自突觸介導的自反饋調控吸引了越來越多的關注, 這是因為實驗中發現存在自突觸的神經元類型越來越多, 自突觸被揭示的生理功能越來越廣泛、越來越重要[29?33].例如, 抑制性自突觸能引起放電降低[30]、誘發放電精確性增強[31], 興奮性自突觸引起持續性放電[32]、簇放電增強[14], 這是符合常規概念的觀點.理論模型也揭示了自突觸調控能夠調控電活動和引起復雜的時空動力學行為[34?43].例如, 理論解釋了抑制性自突觸引起的放電精確性增強[39].實驗研究還發現了自突觸誘發的反常現象, 如抑制性自突觸能夠引起神經元從靜息變為放電[44], 也就是PIR現象; 這一現象最近獲得了理論解釋[45].近期實驗還發現抑制性自突觸能夠引起有助于維持Gamma節律的同步性而不是降低Gamma節律的同步性[46], 驗證了幾年前的理論模型的預期[47], 提示理論模型的結果可能會有理論先導作用.因此, 加強對自突觸誘發的動力學行為特別是反常現象的理論研究, 對于擴展動力學內涵和揭示神經系統的功能都具有重要的意義.

在眾多控制方法中, 負反饋常用來降低系統響應而正反饋常用來增強系統響應.而作為強非線性的神經系統, 則會出現自突觸介導的負反饋引起系統放電增強而正反饋引起放電減少, 這就是反?，F象.除了上述的實驗發現的反?，F象, 還有眾多理論研究發現了反?，F象.例如, 帶有時滯的抑制性自突觸能引起靜息變為峰放電[45], 帶有時滯的興奮性自突觸引起峰放電減少或放電變為靜息[48].對于“Fold/Homoclinic”型簇放電, 帶有時滯的抑制性自突觸能引起放電增多和加周期分岔[49], 帶有時滯的興奮性自突觸引起簇內峰放電個數減少但平均放電頻率增加[50]; 對于“Homoclinic/Homoclinic”型簇放電, 時滯合適的興奮性自突觸引起簇內峰放電個數減少且平均放電頻率減少[19].具有時滯的自突觸在較大程度上等效于慢自突觸.除了慢突觸, 還有對于快突觸的研究.對于“Fold/Homoclinic”型簇放電, 快的抑制性自突觸能引起反常現象: 簇內峰放電個數增加、平均放電頻率增加[18,51].進一步, 揭示了簇內峰放電個數增加是因為抑制性自突觸引起簇的結束相位-Homoclinic分岔點-右移導致簇的參數區間變寬, 這就給出了反?，F象的動力學機制[18]; 而快興奮性自突觸則不能引起反?，F象、只能引起正?，F象: 簇內放電個數增加、平均放電頻率增強[51].實驗和理論模型研究都已經發現簇放電是具有多類模式的[2,5], 因此, 探尋不同類型的簇放電模式在抑制性和興奮性自突觸作用下是否會出現反?，F象及出現反?，F象的動力學機制, 對全面認識簇放電及興奮性和抑制性自反饋的作用、反常現象及潛在生理功能和調控作用有重要意義.

本文選取一類復雜的混合簇放電, 不同于“Fold/Homoclinic”型和“Homoclinic/Homoclinic”型簇放電, 其顯著特征是在簇和休止期之間還有去極化阻滯行為[5].利用快慢變量分離, 揭示簇的起始相位對應不變環的鞍結分岔(saddle-node on invariant circle bifurcation, SNIC), 結束相位對應Fold limit cycle bifurcation(簡記為FLC).在該模型中分別加入快的興奮性和抑制性自突觸[52],都能引起反常現象, 這就給出了與“Fold/Homoclinic”型簇放電的只在抑制性作用下出現反?，F象不同的新結果: 合適強度的抑制性自突觸電流, 可以引起簇內峰放電次數增多、平均放電頻率增加; 而興奮性自突觸則引起簇內峰放電次數減少、平均放電頻率減少.進一步, 通過快慢變量分離, 揭示了抑制性和興奮性自突觸引起反?，F象的動力學機制:對應簇的結束相位的極限環的鞍結分岔FLC分別左移和右移引起簇的參數區間變寬和變窄.研究結果展示了簇放電的反?，F象的多樣性, 給出了反常現象的新示例, 揭示了調控反?，F象的反饋和分岔機制, 有助于認識神經元混合簇放電的潛在功能.

2 模型與方法

2.1 改進的ML模型

在著名的二維Morris-Lecar(ML)模型的基礎上, 引入反饋電流u, 形成了三維的改進ML模型,可以稱為modified-ML(MML)模型[5].MML模型有三個變量, 分別為電壓變量V、恢復變量w和反饋變量u, 具體模型如下:

式中 gL, gCa和 gK分別是漏離子、鈣離子和鉀離子的最大電導; VL, VCa和 VK分別是漏離子、鈣離子和鉀離子的反轉電位; μ是反饋系數, 它的反轉電位為 Vu; m∞(V) 和 w∞(V) 是門控變量m和w的穩態; τ是時間因子.具體表達式如下:

MML模型采用的參數值為 V1=?0.01 ,V2=0.15 , V3=0.1 , V4=0.16 , VL=?0.5 , VK=?0.7 ,VCa=1 , gL=0.5 , gK=2 , gCa=1.36 , μ =0.003.該模型是無量綱的.

2.2 帶有自突觸的MML模型

在方程(1)中引入快自突觸電流 Iaut[46], 方程(2)和方程(3)不變, 得到具有自突觸的MML模型, 這時方程(1)可改寫成如下形式:

其 中, Iaut=?g(V?Vsyn)Γ(V) ,Γ(V)=1/{1+exp[?λ(V?θs)]}[46], g為自突觸的電導強度,Vsyn為自突觸的反轉電位, θs為自突觸的閾值電位,λ為神經遞質的釋放速率.本模型中, 自突觸方程中釋放速率λ的值為30; 閾值電位 θs設為–0.05,確保閾值電位低于動作電位的峰值.對于引入的自突觸電流, 當研究抑制性自突觸電流時, 選取自突觸的反轉電位 Vsyn的參數值為–0.7; 相反, 當研究興奮性自突觸電流時, Vsyn的參數值取為0.4.本文研究興奮性和抑制性自突觸的電導變化對MML模型的簇放電的影響.

2.3 快慢變量分離法

用快慢變量分離的方法來研究不同性質的自突觸對MML模型電活動的影響, 探尋其中的動力學行為和機制.下面簡單介紹一下快慢變量分離方法[5,19].

首先, 對方程(2)—(4)構成的帶有自突觸的全系統, 因為 μ =0.003?1 , 所以選取u為慢變量, 則慢子系統為方程(3), 有自突觸的快子系統由方程(4)和方程(2)組成.快子系統的表達式如下:

Iaut=0時方程(5)和方程(6)為無自突觸的快子系統.

其次, 將u視為快子系統的分岔參數, 在(u,V)平面上得到快子系統的平衡點和極限環分岔圖.

最后, 將全系統的簇放電的軌線與快子系統的分岔疊加, 探究簇的開始和結束相位與分岔關系.利用分岔來認識簇放電隨電導變化的動力學行為.

2.4 計算方法

計算采用四階龍格-庫塔方法, 步長為0.005,分岔計算采用XPPAut軟件[53].

3 結 果

3.1 以周期6為代表的混合簇放電

無自突觸時, 改變參數 Vu的值可以得到多種復雜的混合簇放電模式.例如, 將 Vu參數值分別設為0.02, 0.05, 0.10和0.12, 膜電位的時間歷程圖如圖1(a)—圖1(d)所示, 分別對應周期3, 周期4, 周期6和周期8的混合簇放電模式.因不同混合簇放電模式在加入自突觸電流后的變化規律定性一致,為避免重復, 本文取周期6的混合簇放電為代表給出研究結果.

圖1(c)包括6個放電峰構成的簇, 經過短暫的衰減振蕩到達高電位水平的去極化阻滯, 膜電位迅速降至低電位的休止期.簇內的第1—6個峰由數字1—6表示.而一般的非混合振蕩的簇放電則沒有該去極化阻滯.因此, 去極化阻滯的開始和結束或去極化阻滯本身, 在不同的調控措施下可能會具有改變簇放電動力學行為的關鍵作用.去極化阻滯的起始對應簇的結束.

圖1 MML模型未加自突觸的混合簇放電的膜電位 (a) 周期3, V u=0.02 ; (b) 周期4, V u=0.05 ; (c) 周期6, V u=0.1 , 數字1—6表示一個簇內的第1—6個峰; (d) 周期8,Vu=0.12Fig.1.Membrane potential of mixed oscillations in the MML model without autapse: (a) Period-3 bursting when V u=0.02 ;(b) Period-4 bursting when V u=0.05 ; (c) Period-6 bursting when V u=0.1 , The numbers 1–6 represent the 1st–6th spikes within a burst; (d) Period-8 bursting when V u=0.12.

3.2 周期6的混合簇放電的復雜動力學

周期6簇放電的快慢變量分離結果如圖2所示.選取慢變量u作為分岔參數, 在 ( u,V) 平面上獲得快子系統(5)和(6)的平衡點曲線和極限環.平衡點曲線呈“Z”型(黑色), 其上支由焦點組成,實線表示穩定焦點, 虛線表示不穩定焦點; 中支由鞍點組成, 用虛線表示; 下支由穩定結點組成, 用實線表示.在平衡點曲線的上支中, 穩定和不穩定焦點的分界點是亞臨界Hopf分岔(sub-Hopf); 下支與中支交于不變環上的鞍結分岔(SNIC), 同時經過該SNIC會產生穩定極限(藍色實線).該穩定極限和通過sub-Hopf分岔產生的不穩定極限環(藍色虛線) 碰撞形成極限環的鞍結分岔(FLC).穩定極限環的最大值和最小值分別由 Vmax和Vmin表示.

圖2 周期6簇放電的快慢變量分離 (a) 快子系統的平衡點及分岔.上支黑色實線表示穩定的焦點, 黑色虛線表示不穩定的焦點, 中支黑色虛線表示鞍點, 下支黑色實線表示穩定的結點, H點為sub-Hopf分岔點, SNIC為不變環上的鞍結分岔點.V max 和Vmin 表示穩定極限環的極大和極小值.(b) 快子系統的極限環分岔(藍色實線表示穩定的極限環, 藍色虛線表示不穩定的極限環)與圖(a)的疊加.(c)周期6簇放電的相軌線(紅)與圖(b)的疊加.(d) 圖(c)的局部放大, 數字1—6表示一個簇內的第1—6個峰Fig.2.Fast/slow variable dissection of the period-6 bursting: (a) Bifurcation diagram of the equilibria of the fast subsystem.Upper black solid line, upper black dotted line, middle black dotted line, and lower black solid line is composed of the stable focus, unstable focus, saddle, and stable node, respectively.H and SNIC represents the subcritical Hopf bifurcation and saddle-node bifurcation on an invariant circle.V max and V min represent the maximal and minimal value of the stable limit cycle, respectively.(b) Bifurcation diagram of the limit cycles (solid and dashed bule lines represent the stable and unstable limit cycle) of the fast subsystem and Fig.(a) plotted in one figure.(c) The trajectory of the period-6 bursting (red) superimposes Fig.(b).(d) Partial enlargement of Fig.(c).The numbers 1–6 represents the 1st–6th spikes within a burst.

圖2 (c)是將周期6簇放電的相軌線(紅)疊加在圖2(b)中, 圖2(d)是圖2(c)的局部放大.圖2(d)中相軌線上方數字1—6與圖1的1—6相對應, 說明6個峰的相軌線為逆時針的.簇內第一個峰起始于SNIC分岔, 相軌線由下支向穩定極限環上躍遷, 受到穩定極限環的吸引, 圍繞穩定極限環以大幅度的振蕩開始放電, 逆時針形成6個峰后達到極限環的鞍結分岔FLC.因此, 峰結束后經上支的穩定焦點吸引形成快速衰減振蕩并向右運動, 達到平衡點上支形成去極化阻滯.相軌線沿著上支向右運動穿越sub-Hopf點, 繼續沿著不穩定平衡點向右運動.此時, 相軌線又受到不穩定焦點的排斥和下支穩定結點的吸引.當相軌線遠離sub-Hopf點到一定程度時, 不穩定焦點的排斥和下支穩定結點的吸引足夠大, 軌線從上支的不穩定焦點躍遷至下支的穩定結點上, 沿著穩定結點向左運行至SNIC形成休止期, 完成一個振蕩周期.因此, 簇起始于SNIC分岔, 結束于FLC分岔, 簇結束后進入去極化阻滯.軌線由下支躍遷至上支, 上支躍遷至下支的分岔分別為SNIC和FLC, 因此該簇放電的放電模式在文獻[5]中的分類為“Circle/Fold cycle”型簇放電.這里的Circle和Fold cycle分別為上文的SNIC和FLC.

3.3 抑制性自突觸引起放電增強、興奮性自突觸引起放電減弱的反?，F象

抑制性和興奮性自突觸作用的結果分別如圖3左列和右列所示.圖3左側為加入了不同電導強度的抑制性自突觸電流(紅色)的膜電位(黑色)的時間歷程.圖3(a1), 圖3(a2)和圖3(a3)對應的電導分別為0.01, 0.015和0.02.隨著自突觸抑制性作用的增強, 簇內峰的個數明顯增多, 從6增加至8,10和19.由此可見, 抑制性的自突觸電流引起簇內峰的個數增加, 與傳統觀念的應該降低不同.

圖3 自突觸電流(紅)影響下的膜電位(黑) (a1)—(a3) 抑制性自突觸 (a1) 周期8簇放電, g =0.01 ; (a2) 周期10簇放電,g=0.015 ; (a3) 周期19簇, g =0.02.(b1)—(b3) 興奮性自突觸 (b1) 周期3簇放電, g =0.02 ; (b2) 周期2簇放電, g =0.03 ;(b3) 周期1簇放電,g=0.04Fig.3.Membrane potential (black) under the influence of autaptic current (red).(a1)–(a3) Inhibitory autapse: (a1) Period-8 bursting when g =0.01 ; (a2) period-10 bursting when g =0.015 ; (a3) period-19 bursting when g =0.02.(b1)–(b3) Excitatory autupse: (b1) Period-3 bursting when g =0.02 ; (b2) period-2 bursting when g =0.03 ; (b3) Period-1 bursting when g =0.04.

圖3 右側為加入了不同電導的興奮性自突觸電流(紅色)的膜電位(黑色)的時間歷程, 圖3(b1),圖3(b2)和圖3(b3)對應的電導分別為0.02, 0.03和0.04.與抑制性自突觸電流引起簇內峰個數增多的結果相反, 興奮性自突觸電流引起簇內峰的個數減少, 由6個減少為3個, 2個和1個.另外, 興奮性自突觸電流使放電呈現出明顯的減弱現象, 與傳統觀念的應該增強不同.

抑制性和興奮性自突觸下的簇放電的峰峰間期(interspike interval, ISI)如圖4(a), (b)所示.不同顏色代表不同自突觸電導.圖4(a), (b)給出了一個周期內的ISI隨ISI序號的變化.長的ISI為兩個簇的間隔, 短的ISI為簇內峰的間隔.可以看出, 不論是抑制性自突觸還是興奮性自突觸,簇內峰的ISI在不同電導下差別不大, 大約為20;而長ISI, 即簇簇間隔在不同的電導下的差別也不大.因此, 對于抑制性自突觸, 放電的增強主要是自突觸誘發簇內放電個數增多引起的, 如圖4(a)所示, 進而引起平均放電頻率的增加; 對于興奮性自突觸, 放電變弱也主要是自突觸誘發簇內放電個數變化減少引起的, 如圖4(b)所示, 進而引起平均放電頻率的降低.

圖4 不同自突觸電導下的簇放電的峰峰間期ISI隨序號的變化 (a) 抑制性自突觸, g =0 (藍), g =0.01 (綠),g=0.015(紅)和 g =0.02 (黑); (b) 興奮性自突觸, g =0 (藍), g =0.02 (粉)和 g =0.03 (青)Fig.4.Change of ISI respect to the sequential number at different levels of autaptic conductance: (a) Inhibitory autaptic current,blue, green, red, and black lines represent g =0 , g =0.01 , g =0.015 , and g =0.02 , respectively; (b) excitatory autaptic current,blue, pink, and cyan-blue lines represents g =0 , g =0.02 , and g =0.03 , respectively.

對于抑制性自突觸, 簇放電的平均放電頻率隨自突觸電導增加而增加, 如圖5(a)的上(綠)線所示, 而自突觸電導的增加會引起平均自突觸電流的增強, 如圖5(a)的下(藍)線所示.因此, 增強的抑制性自突觸電流引起了簇放電的平均放電頻率增加.對于興奮性自突觸, 隨自突觸電導的增加, 平均自突觸電流增強, 簇放電的平均放電頻率減小,分別如圖5(b)的下(藍)線和上(綠)線所示, 說明增強的興奮性自突觸電流引起了簇放電的平均放電頻率降低.

圖5 平均放電頻率(上, 綠)與自突觸電流的平均值(下, 藍)隨自突觸電導g的變化 (a) 抑制性自突觸; (b) 興奮性自突觸Fig.5.Change of the mean firing frequency (green, upper) and the mean value of autaptic current (blue, lower) with respect to g:(a) Inhibitory autapse; (b) excitatory autapse.

3.4 抑制性和興奮性自突觸分別引起反?，F象的動力學機制: 分岔點的變化

利用快慢變量分離的方法, 對上述不同電導強度下的快子系統的平衡點分岔以及相應的相軌線進行分析, 進一步探究反?，F象的動力學機制.抑制性和興奮性自突觸對應的快子系統的分岔分別如圖6左列((a1)—(a4))和圖6右列((b1)—(b4))所示, 抑制性和興奮性自突觸對應的簇放電的慢變量分離的結果分別如圖7和圖8所示.

圖7 不同抑制性自突觸電導強度下的簇放電的快慢變量分離 (a1) g =0 ; (a2) 圖(a1)的放大; (b1) g =0.01 , 數字1—6代表簇內第1—6個放電峰; (b2) 圖(b1)的放大; (c1) g =0.015 ; (c2) 圖(c1)的放大; (d1) g =0.02 ; (d2) 圖(d1)的放大Fig.7.Fast/slow variable dissection of bursting at different values of the inhibitory autapse conductance: (a1) g =0 , and the numbers 1–6 represent the 1st–6th spikes within a burst; (a2) enlargement of Fig.(a1); (b1) g =0.01 ; (b2) enlargement of Fig.(b1);(c1) g =0.015 ; (c2) enlargement of Fig.(c1); (d1) g =0.02 ; (d2) enlargement of Fig.(d1).

圖8 不同興奮性自突觸電導強度下簇放電的快慢變量分離 (a) g =0 ; (b) g =0.02 ; (c) g =0.03 ; (d)g=0.04Fig.8.Fast/slow variable dissection of the bursting at different values of the excitatory autapse conductance: (a) g =0 ;(b) g =0.02 ; (c) g =0.03 ; (d) g =0.04.

圖6(a1)給出了抑制性自突觸電導強度g為0(藍), 0.01(綠), 0.015(紅)和0.02(黑)的快子系統的平衡點曲線.圖6(a2)為u在(–0.08, –0.02)范圍內的放大.隨著抑制性自突觸電導強度的增加,sub-Hopf點的u值減小, 具體表現為向左移動, 而SNIC幾乎不變.而對興奮性自突觸, 隨著電導強度增加, sub-Hopf點向右移動, SNIC幾乎不變, 如圖6(b1), (b2)所示.

圖6 不同自突觸電導強度下快子系統的分岔 (a1)—(a4) 抑制性自突觸: (a1)平衡點分岔; (a2) 圖(a1)的局部放大; (a3) 極限環分岔與圖(a1)的疊加; (a4) 圖(a3)的局部放大.電導強度的取值為 g =0 (藍), g =0.01 (綠), g =0.015 (紅)和 g =0.02 (黑).(b1)—(b4)興奮性自突觸: (b1) 平衡點分岔; (b2) 圖(b1)的局部放大; (b3) 極限環分岔與圖(b1)的疊加; (b4) 圖(b3)的局部放大.電導強度的取值為 g =0 (藍), g =0.02 (粉), g =0.03 (青)和 g =0.04 (棕)Fig.6.Bifurcations of the fast subsystem at different values of the autapse conductance.(a1)–(a4) Inhibitory autapse: (a1) Bifurcations of the equilibria; (a2) partial enlargement of Fig.(a1); (a3) bifurcations of the limit cycles superimposes Fig.(a1); (a4) partial enlargement of Fig.(a3).Blue, green, red, and black lines represent g =0 , g =0.01 , g =0.015 , and g =0.02 , respectively.(b1)–(b4) Excitatory autapse: (b1) Bifurcations of the equilibria; (b2) partial enlargement of Fig.(b1); (b3) bifurcation of the limit cycles superimposes Fig.(b1); (b4) partial enlargement of Fig.(b3).Blue, pink, cyan-blue, and brown curves represents g =0 ,g=0.02 , g =0.03 and g =0.04 , respectively.

圖6 (a3)和圖6(b3)中, 除了不同電導強度的快子系統的平衡點曲線, 還給出了極限環相關的FLC分岔和穩定(實線)、不穩定(虛線)極限環的最大值(上)和最小值(下).隨著抑制性自突觸電導強度的增加, FLC點對應的分岔參數減小, FLC點向左移動, 所以穩定極限環對應的分岔參數的區域范圍變寬, 如圖6(a3), (a4)所示.圖6(a4)為圖6(a3)的局部放大圖.對于興奮性自突觸, 隨著電導強度的增加, FLC點向右移動, 穩定極限環對應的分岔參數的范圍變窄, 如圖6(b3), (b4)所示.

在圖7中, 將抑制性自突觸作用下的全系統的簇放電的相軌線(紅色)在 ( u,V) 平面投影疊加在快系統的分岔圖(圖6(a3))上, 進一步揭示分岔對簇放電的變化的影響.圖7中的左列從上到下對應不同電導, 右圖為左圖的局部放大.施加抑制性作用的自突觸電流后, 放電模式沒有發生改變, 簇大約位于FLC和SNIC之間, 簇放電的時間歷程與沒有自突觸的類似.但是, 隨著電導的增加, FLC點左移, 而SNIC幾乎不變, 簇的參數范圍變寬,導致簇內放電個數增加, 放電增強.因此, FLC點的左移是簇內峰放電個數增加的原因.

圖8為不同電導強度下興奮性自突觸對應的簇放電的快慢變量分離的結果.可以看出, 與抑制性突觸的結果類似, 電導變化沒有引起簇模式的變化.放電簇位于FLC和SNIC之間, 放電軌線的運行方向與無自突觸的周期簇類似.與抑制性自突觸結果不同的是, FLC隨著電導增加右移, 引起放電簇的參數區間變窄, 導致簇內放電個數降低.因此,FLC的右移是放電降低的原因.

3.5 簇內ISI的取值與快子系統的極限環的周期有關

抑制性和興奮性自突觸作用下的快子系統的穩定極限環的周期分別如圖9(a)和圖9(b)所示.不同顏色對應不同的自突觸電導, 對某一自突觸電導, 左側較小值對應FLC附近的極限環的周期,右側較大值對應SNIC附近的極限環的周期.隨著抑制性自突觸電導的增強, FLC左移, 極限環的范圍擴大, 新出現的極限環的周期略有降低的趨勢,但差別不大.隨著興奮性自突觸電導的增強, FLC右移.無論抑制性還是興奮性自突觸, 同一u值下的極限環的周期差別較小.對于不靠近SNIC的極限環, 其周期不在同u下, 大約為20, 差別也不大.這就是圖4所示的簇內ISI差別不大, 大約在20左右的原因.因為簇內峰與快子系統極限環有對應, 簇內峰的ISI與快子系統的極限環有對應.

圖9 快子系統的極限環的周期隨分岔參數u的變化 (a) 抑制性自突觸, 藍, 綠, 紅和黑色曲線分別對應 g =0 , g =0.01 ,g=0.015 和 g =0.02 ; (b) 興奮性自突觸, 藍、粉、青和棕色曲線分別對應g = 0, g = 0.02, g = 0.03和g = 0.04Fig.9.Period of the limit cycle of the fast system changes with respect to the bifurcation parameter u: (a) Inhibitory autupse.The blue, green, red, and black curves correspond to g =0 , g =0.01 , g =0.015 , and g =0.02 , respectively.(b) Excitatory autupse.The blue, pink, cyan-blue, and brown curves correspond to g = 0, g = 0.02, g = 0.03, and g = 0.04, respectively.

3.6 快子系統的雙參數分岔解釋反常變化

快子系統在 ( u,g) 平面上的雙參數分岔圖可以直觀地解釋自突觸作用下放電增強或減弱.抑制性和興奮性自突觸對應的雙參數分岔分別如圖10中的左列和右列所示.圖10中BT為Bogdanov-Takens分岔點, GH為Bautin分岔點, CP為Cusp分岔點, 皆為余維2分岔點.黑、藍、綠和紅線為余維分岔曲線—Hopf, SN, SNIC和FLC分岔曲線.圖10(a2)為圖10(a1)的放大, 對應本文關注的抑制性自突觸的參數范圍(0 ≤ g ≤ 0.02).隨著抑制性自突觸電導強度的增加, 對應SNIC分岔的參數u取值幾乎保持不變, 而FLC對應的分岔參數u的取值越來越小, 即FLC左移, 與SNIC對應的分岔參數的范圍越來越大, 導致放電參數區間變大、放電增強.圖10(b2)是圖10(b1)的放大, 對應興奮性自突觸的范圍.興奮性自突觸電導強度由0遞增至0.04, SNIC的參數幾乎不變, 而FLC逐漸右移, 與SNIC距離減小, 導致放電參數區間變窄、放電減弱.

圖10 快子系統在 ( u,g) 平面的雙參數分岔 (a1) 抑制性自突觸; (a2) 圖(a1)的局部放大; (b1) 興奮性自突觸; (b2) 圖(b1)的局部放大Fig.10.Double-parameter bifurcation in ( u,g) plane of the fast subsystem: (a1) Inhibitory autapse; (a2) enlargement of Fig (a1);(b1) excitatory autapse; (b2) enlargement of Fig (b1).

4 結 論

抑制性或興奮性作用調控下的簇放電在神經系統的功能實現中起到重要的作用, 因此, 揭示簇放電的動力學及調控機制對于非線性科學和神經科學都有重要的意義.最近研究揭示了多種調控因素下, 特別是自突觸調控下的神經電活動的反常變化的機制, 豐富了神經動力學的內涵[17?19,21,24,27,28].本文揭示了興奮性和抑制性自突觸都能引起混合簇放電產生反?，F象, 在以下幾個方面具有新意.

首先, 擴展了產生反常現象的簇放電的類型.以前研究較多關注了“Fold/Homoclinic”型簇放電以及“Homoclinic/Homoclinic”型簇放電, 簇結束于同宿分岔[18,19,21,49,51].本文關注的混合簇放電屬于“Circle/Fold cycle”型簇放電, 復雜之處在于簇結束后會進入去極化阻滯.利用快慢變量分離確認簇結束于極限環的鞍結分岔FLC.該分岔也是去極化阻滯的開始, 在自突觸調控誘發反?，F象中起到關鍵作用.

其次, 給出了快自突觸誘發反?，F象的新示例和分岔機制.對于Chay模型的“Fold/Homoclinic”型簇放電, 只有抑制性快自突觸能誘發簇放電的反常現象: 放電增強, 興奮性快自突觸則誘發正?，F象, 也是放電增多[18,51].而本文揭示了抑制性和興奮性作用都能誘發反?，F象, 這就給出了反?，F象的新示例.此外, “Fold/Homoclinic”型簇放電, 興奮性和抑制性自突觸都能引起放電增多是因為快子系統的同宿分岔的變化方向是相同的[51], 而本文研究的快自突觸都能引起反常現象是因為極限環的鞍結分岔的變化方向是相反的.這說明簇結束的極限環的鞍結分岔FLC是引起反?，F象的關鍵因素之一.

最后, 擴展了反?，F象及調控機制的多樣性.本文的反?，F象不僅與以前的快自突觸誘發的反常現象不同[18,51], 與具有時滯的自突觸(對應慢突觸)誘發的簇放電[19,49,50]和峰放電[45,48]的反?，F象也不同.以前發現抑制性自突觸在合適的時滯下可以增強簇放電或時滯合適的興奮性自突觸可以引起簇放電變弱[19,49,45].本文和以前的研究揭示了快自突觸誘發反?，F象是因為自突觸能調控快子系統的分岔點的位置[18,51], 而具有時滯的自突觸誘發的反?，F象是自突觸電流的作用相位發生改變引起的, 但是快子系統的分岔沒變[19,49,50].因此, 本文的研究進一步說明了反?，F象具有多樣性和多類調控機制.

除了自突觸調控, 還有多類其他因素(如具有憶阻器特性的電流)調控的復雜乃至反常的電活動現象及動力學機制[54?56].相較于以前的結果, 本文研究進一步豐富了反常現象的示例和非線性調控機制, 有助于認識神經簇放電特別是混合振蕩及自突觸的潛在功能.考慮到放電類型特別是簇放電模式也是多樣的, 今后可以進一步研究不同因素, 特別是自突觸調控不同類簇放電的反?，F象及動力學機制, 力爭對反常現象建立起更為全面和深入的認識, 促進神經動力學的發展.