基于利薩茹橢圓擬合的兩步相移輪廓技術*

朱進進 吳雨祥 邵曉鵬

(西安電子科技大學物理與光電工程學院, 西安 710071)

相移輪廓術(phase shifting profilometry, PSP)至少需要三幀條紋圖提取物體的相位信息.在動態測量中, 減少條紋數有助于快速測量, 并且可以抑制運動物體存在的相移誤差.為了克服上述問題, 本文提出基于利薩茹橢圓擬合(Lissajous ellipse fitting, LEF)的兩步相移輪廓術, 針對條紋背景和調制度分布不均勻導致的LEF相位誤差, 給出了誤差抑制方法.實驗實現了基于LEF的兩步相移動態場景測量, 與多幀PSP相比,本文所述方法可以減少條紋幀數并且可抑制物體的運動導致的相移誤差.

1 引 言

相移輪廓術(phase shifting profilometry, PSP)由于具有非接觸、快速和高精度的性能被廣泛應用到物體的三維測量中[1?4].同時, 它也被廣泛應用到其他領域[5?9], 如在線檢測、人臉識別、逆向工程和文物保護.然而, PSP通常需要至少3幀條紋圖提取物體的相位, 因此, 該技術會不可避免地降低時間效率.另外, 在實際的PSP系統, 當測量動態物體時, 由于PSP對運動的物體比較敏感, 因此,物體在條紋圖中的位置不同將會導致相移誤差, 進而影響物體的相位測量精度.

PSP在動態測量中的相位誤差問題是近幾年PSP領域內的熱點問題[10?12], 2018年, Liu等[13]通過利用投影儀的針孔模型, 確定了運動物體引入的相移誤差, 并進行補償以精確的重建物體的三維(three dimensional, 3D)形貌.同年, Wang等[14]建立了相位誤差模型, 并應用Hilbert算法對條紋圖進行 π /2 相移, 并提取相位以補償原相位.Feng等[15]推導了物體在條紋圖之間的相移量與相位的關系式, 通過3幀條紋圖的差分運算以此獲得未知相移量, 并應用每秒751幀的相機實現了快速高精度測量.Lu等[16]提出了一種減少平行于成像平面的運動引起的誤差的方法, 通過在物體上放置一些標記并分析標記的運動, 進而估計物體的相位分布.Wang和Han[17]利用最小二乘法估計任意相移, 但是該方法僅適用于均勻的背景強度和調制度.以上相位重建方法所采用的多步相移技術仍需要至少3幀或者多幀條紋圖, 物體運動導致拍攝的條紋圖相移量較設定值發生改變, 最終導致相位誤差, 目前的解決策略是采用高速的光源和相機, 降低相機獲取3幀條紋圖所需要的時間, 使得拍攝圖像的時間內物體位置發生的改變可以忽略不計, 然而, 該方法需要昂貴的高速硬件.

利用更少的條紋圖可以大大地降低硬件需求、有助于運動物體的快速測量以及減少PSP在動態測量中的相移誤差問題.近年來, 許多研究學者提出單幀測量方法, 例如, 傅里葉變換輪廓術[18?21]、小波變換[22]、S變換[23]等, 但是這些算法在對噪聲的魯棒性、相位的細節的保留性能等方面表現較差.

為了減少多幀PSP的條紋幀數及運動物體的相移誤差問題, 同時, 避免單幀測量方法的相位細節模糊問題, 本文提出了歸一化的LEF方法以克服上述問題.同時, 所提方法抑制了不均勻的背景和調制度對LEF算法的影響, 實現了兩步PSP動態測量.仿真和動態實驗結果驗證了所提方法的有效性.

2 基于利薩茹技術的兩步PSP原理

PSP系統主要由CCD相機和數字投影儀組成, 如圖1所示.投影儀將計算機生成條紋圖投影到被測物體上, 再由CCD相機捕獲變形條紋并提取物體的相位信息.

圖1 PSP測量系統原理Fig.1.Principle of PSP measurement system.

相機捕獲的兩幀相移條紋圖可表示為

式中, A1(x,y) 和 A2(x,y) 為背景光強度;B1(x,y)和 B2(x,y) 表示調制度; φ (x,y) 為待提取的相位;δ表示兩幀相移條紋圖的任意相移量.

對條紋圖 I1(x,y) 和 I2(x,y) 執行加和減運算,可以獲得

其中為了簡化公式, 空間坐標 ( x,y) 被省略.對于(3)式和(4)式, 假設 B1?B2的數值非常小, 則可以被視為獨立于空間的常數, 因此,(3)式和(4)式可以被重寫為

根據(5)式和(6)式, 可得:

由cos2(x)+sin2(x)=1 , 可以獲得橢圓的表達式:

最后, 提取的相位分布為

2.1 不均勻的背景強度和調制度對LEF的影響分析

圖2 均勻背景強度和調制度下LEF方法的仿真結果 (a) 條紋圖; (b) 相位分布; (c) 相位誤差Fig.2.Simulation results of LEF method under the uniform background intensity and modulation: (a) The fringe pattern; (b) the phase distribution; (c) the phase error.

由(12)式的推導過程可知, 其成立的前提是假設背景項和調制度與時間和空間無關.然而, 在實際的PSP系統測量中, 投影光源的不均勻性和物體高度的變化將會導致不均勻的背景強度和調制度, 因此, 有必要討論不均勻的背景強度和調制度對LEF方法的影響.

為了驗證不均勻背景強度對LEF方法測量精度的影響, 仿真中生成相位為 φ=(2π/7)×的兩幀條紋圖, 其大小為401 × 401以及相移量為 π /7.我們設置了三種仿真條件.仿真1: 兩幀條紋圖之間僅僅存在背景波動, 即 A1=0.45 , A2=0.5 , B1=B2=0.3 ;仿真2: 兩幀條紋圖的背景強度被設置為不均勻A1=A2=0.003·(x+y)+0.5 , B1=B2=0.3 ; 仿真3: 背景強度與像素空間位置和條紋圖的幀數相 關, A1=0.003·(x+y+200) ,A2=0.003·(x+y)+0.5, B1=B2=0.3.

圖3為重建的相位結果, 其中, N表示仿真指數, 第一、第二和第三列分別表示兩幀條紋圖的背景灰度值、計算的相位分布以及相位誤差(計算的相位與參考相位的差值).在三種仿真條件下, 相位誤差的均方根分別為0.2699, 0.1194和0.6067 rad.由仿真1的結果可知, 當條紋圖的背景存在波動時, 重建的相位存在明顯的諧波條紋.仿真2中, 兩幀條紋圖的背景強度隨像素位置變化而與時間無關, 由于LEF原理中應用了兩幀條紋圖的差值運算, 因此, 部分的相位誤差可以被補償, 相位誤差的均方根小于仿真1和仿真2.根據仿真3的結果可知, 當背景強度隨時間和空間變化時, 產生的相位誤差最嚴重.與圖2相比, 圖3的仿真結果驗證了不均勻的背景強度嚴重影響著LEF相位測量精度.

圖3 不同背景強度下LEF方法的仿真結果Fig.3.Simulation results of LEF method under different background intensities.

為了驗證調制度的不均勻性也會對LEF重建的相位造成測量誤差, 生成相位為φ=(2π/7)×小為401 × 401以及相移量為 π /7.設置了三種仿真條件, 仿真1: 兩幀條紋圖的調制度隨時間變化,即 B1=0.3 , B2=0.25 , A1=A2=0.5 ; 仿真2: 兩幀條紋圖的調制度僅隨像素位置變化B1=B2=0.015·(φ?0.5)+0.13 , A1=A2=0.5 ; 仿真3: 兩幀條紋圖的調制度隨時間和空間變化,B1=0.015×(φ?0.25)+0.13 , B2=0.07·(φ?0.5)+0.2 ,A1=A2=0.5.

圖4 表示重建相位的仿真結果, 其中, N表示兩幀條紋圖, 其大仿真指數, 第一、第二和第三列分別表示兩幀條紋圖的背景灰度值、計算的相位分布以及相位誤差(計算的相位與參考相位的差值).在仿真1, 2和3中, LEF計算的相位誤差的均方根分別為0.1573,0.3301和0.3982 rad.仿真結果表明, 調制度的不均勻性越大, 其相位誤差也會越大, 不均勻的調制度對LEF重建的相位也會產生一定的影響.

圖4 不同調制度下LEF方法的仿真結果Fig.4.Simulation results of LEF method under different modulation.

2.2 歸一化LEF技術

第2.1節通過仿真驗證了不均勻的背景和調制度嚴重影響著LEF相位測量的精度, 為了抑制不均勻的背景和調制度對LEF相位精度的影響, 提出了利用高斯濾波歸一化[24]、經驗模式分解[25,26](empirical mode decomposition, EMD)歸一化、均值和調制度矯正技術, 并分析LEF算法在3種歸一化方法下的測量效果.

1) 高斯濾波歸一化

為了抑制不均勻的背景強度對LEF相位精度的影響, 應用高斯濾波去除條紋圖的背景項, 標準差 σ 取值范圍為0.1—0.5.在此基礎上, 利用調制度幅值歸一化降低不均勻調制度對LEF測量結果的影響, 一般地, 向量 v 的歸一化為

式中, v′表示歸一化后的向量; 〈 ·,·〉 和 ∥ ·∥ 分別為內積和2范數算子.兩幀相移條紋圖的調制度幅值被歸一化后, 可得

其中k為像素指數; I1k(x,y) 和 I2k(x,y) 分別表示第一幀和第二幀條紋圖的向量形式.

2) EMD歸一化

EMD是一種自適應信號處理方法, 該方法是將復雜信號分解為有限個本征模函數(intrinsic mode function, IMF), 其中, IMF需要滿足兩個條件: 1) 極值點個數相等或者最多相差一個; 2) 局部均值為零.對于給定的信號f(t), EMD分解過程如下:

s(x) 是原始信號; s (x)upper_envelope和s(x)lower_envelope分別為三次樣條差值的極大值的上包絡和極小值的下包絡.判斷 h (x) 是否是IMF, 如果不是, 則重復(16)式的過程, 若確定為IMF, 記為 c1(t) , 并從s(x) 中減去, 然后殘差變成一個新的 s (x) , 繼續重復(16)式的過程, 則分解結果可表示為

式中, cn(x) 為第n個IMF; rN(x) 是無法從信號中提取更多IMF的殘差, N表示提取的IMF數.標準差 Sd被作為篩選的終止條件, 該標準差由篩選過程的兩個連續步驟計算獲得

其中 hj?1(x) 和 hj(x) 分別表示兩個連續篩選過程的本征函數; ε 為預設值.

所分解出來的每個IMF分量都包含了原信號的不同頻率, 按頻率從高到底依次排列.通過測量相位誤差的RMS值去除背景IMF和噪聲IMF,最后重構包含基頻分量的條紋圖, 在此基礎之上,利用調制度幅值歸一化抑制不均勻調制度對LEF相位精度的影響.

3) 均值和調制度矯正技術

與濾波方法不同, 均值和調制度矯正技術是矯正不同條紋圖的背景, 使得校正后的背景強度相等.對于兩幀條紋圖, 利用均值矯正方法對第一幀條紋圖的背景進行矯正:

由于調制度表示了條紋圖的平均值附近強度變化, 振幅越大, 其變化越大.因此, 為了使兩幀條紋圖的調制度相等, 利用兩幀條紋圖的均方差, 則校正后的條紋圖的強度可表示為

3 基于歸一化LEF的兩步PSP仿真結果

為了驗證高斯濾波歸一化、EMD歸一化、均值和調制度矯正方法抑制背景強度和調制度的效果以及LEF算法在三種歸一化方法下的測量精度, 設置了三種仿真情況.情況1: 兩幀條紋圖的背景項和調制度隨時間變化, 即 A1=0.4 , A2=0.5 ,B1=0.3, B2=0.2 ; 情況2: 兩幀條紋圖的背景項和調制度隨時間和空間變化,A1=0.35+0.04×exp[0.002·(x2+y2)] , A2=0.3+0.2·exp[0.0004×(x2+y2)] , B1=0.2+0.02·exp[0.002·(x2+y2))] ,B2=0.1+0.2·exp[0.0001·(x2+y2)]; 情況3: 在兩幀相移條紋圖中添加27 dB的隨機噪聲.φ=(π/7)·sin(x+1)·cos(y+1)被作為參考相位如圖5所示, 其大小為401 × 401.兩幀條紋圖的相移量被任意設置, 在以下仿真中被設置為 δ =π/3.

圖5 參考相位Fig.5.Reference phase.

圖6 、圖7、表1和表2分別為基于歸一化LEF的2步PSP重建的相位、相位誤差、RMS相位誤差以及相移誤差值, N表示三種仿真情況的指數.由于三種情況下歸一化的LEF重建的相位相似, 為了簡化, 故圖6僅僅展示了第一種仿真情況下的相位結果.

圖6 仿真1下基歸一化LEF的兩步PSP測量相位分布Fig.6.Phase distribution of two-step PSP based on the normalized LEF in simulation condition 1.

圖7 不同情況下基于歸一化LEF的2步PSP測量相位誤差Fig.7.Phase error results of 2-step PSP based on the normalized LEF under different conditions.

從仿真結果可以看出, 對于仿真1, 即當背景強度和調制度僅隨條紋幀數變化時, 高斯濾波歸一化、均值和調制度矯正方法能夠很好地抑制背景強度和調制度對LEF相位的影響, 在此基礎上, LEF計算的相移值等于預設值( π /3 ), 而EMD歸一化方法在該情況下的抑制背景強度和調制度性能較弱.對于仿真2和3, 當背景和調制度隨時間和空間變化時, EMD歸一化方法抑制背景強度和調制度性能最優, 由表1和表2可以看出, 基于EMD歸一化的LEF算法計算的RMS相位誤差和相移誤差也最小, 而基于均值和調制度矯正的LEF算法產生了嚴重的相位和相移誤差.

表1 不同情況下基于LEF的兩步PSP方法計算的相位誤差均方根Table 1.Root mean square of phase error calculated by two-step PSP based on the normalized LEF under different conditions.

表2 不同情況下基于LEF的兩步PSP方法計算的相移誤差均方根Table 2.Root mean square of phase-shifting error calculated by two-step PSP based on the normalized LEF under different conditions.

為了更有效地驗證本文方法的有效性, 在兩幀條紋圖中添加27 dB的隨機噪聲, 對三步相移算法、傅里葉變換輪廓術(Fourier transform profilometry, FTP)和基于EMD歸一化的LEF方法進行了仿真測量, 如圖8所示, 第一和第二行表示三種方法的計算相位分布和相位誤差.三步相移算法、FTP和基于EMD歸一化的LEF方法計算的RMS相位誤差值分別為0.0546, 0.0735和0.0608 rad,由仿真結果可以看出, 基于EMD歸一化的LEF算法的測量精度高于FTP方法; 與3步相移方法相比, 基于EMD歸一化的LEF計算的相位誤差RMS值較大, 但是本文所述方法減少了PSP的條紋幀數, 更有助于快速三維測量.

圖8 隨機噪聲條件下3步相移方法、FTP和基于歸一化LEF的兩步PSP的測量結果Fig.8.Measurement results of 3-step phase shift method, FTP and 2-step PSP based on the normalized LEF under random noise.

4 實驗結果與分析

4.1 基于歸一化LEF的兩步PSP靜態場景測試實驗結果

為了驗證所述方法的有效性, 進行了實驗分析, 實驗系統中投影儀采用型號EPSON CB-X05,其分辨率為1204 × 768; CCD相機采用了MERCURY, 分辨率為1628 × 1236; 待測物體是具有一定細節信息的心形物體如圖9(a)所示, 圖9(b)為相機獲得的條紋圖, 采用十步相移方法重建的相位如圖9(c)所示, 圖9(d)為圖9(c)中紅色矩形框內的細節相位分布, 并將十步相移方法計算的相位作為參考相位.

圖10(a)—(c)分別為傅里葉變換輪廓術(Fourier transform profilometry, FTP)提取的相位分布、相位誤差(FTP與十步相移方法計算相位的差值)和圖10(a)中紅色矩形框內部的相位細節分布, 其中, 由圖10(b)計算的RMS相位誤差值為0.0732 rad.比較圖10(c)與圖9(d), 可以看出FTP重建的細節相位非常模糊, 其保留相位細節的性能比較差.

圖9 十步相移方法的測量結果 (a) 待測物體; (b) 物體的條紋圖; (c) 十步相移方法提取的相位分步; (d) 圖(c)中紅色方框內的相位細節Fig.9.Measurement results of ten-step phase shifting method: (a) Test object; (b) fringe pattern of the test object; (c) the reference phase distribution based on ten-step phase-shifting method; (d) the enlarged phase details in red rectangular of Fig.(c).

圖10 FTP的測量結果 (a) 相位分布; (b) 相位誤差; (c) 圖(a)中紅色框內的相位細節Fig.10.Measurement results of FTP: (a) Phase distribution; (b) phase error distribution; (c) the enlarged phase details in red rectangular of Fig.(a).

圖11 為應用高斯濾波歸一化、EMD歸一化、均值和對比度矯正算法抑制了背景和調制度的影響后, 采用LEF技術計算的相位分布和相位誤差(計算的相位與十步相移算法計算的相位的差值).從圖11中可以看出, 由基于均值和調制度矯正的LEF算法提取的相位非常不光滑, 因為均值和調制度矯正方法的優勢主要體現在對于隨時間變化的背景和調制度的矯正效果, 但實際PSP系統中,背景和調制度是隨時間和空間變化的.實驗結果也驗證了EMD歸一化可以更有效地抑制不均勻的背景強度和調制度, 所以, 基于EMD歸一化的LEF算法重建的相位分布更光滑, 計算的相位誤差也最小.利用高斯濾波、EMD與均值和對比度矯正方法去除背景和調制度的影響后, LEF方法計算的RMS相位誤差值分別為0.0648, 0.0597和0.1024 rad.另外, 應用高斯濾波、均值和對比度矯正方法兩種方法抑制不均勻的背景和調制度后,LEF重建的相位細節有部分丟失, 而基于EMD歸一化的LEF算法保留了更多的相位細節.

圖11 基于高斯濾波歸一化、EMD歸一化、均值和對比度矯正的LEF方法重建結果Fig.11.Reconstructed results of LEF method based on Gaussian filter normalization, EMD normalization, mean and contrast correction.

與FTP測量的實驗結果相比, 基于高斯濾波歸一化或者EMD歸一化的LEF算法重建的相位誤差更小, 且可以保留更多的相位細節, 盡管基于均值和調制度矯正的LEF算法重建的相位誤差較大, 但是保留的相位細節多于FTP算法.實驗結果驗證了本文所述方法的有效性.

4.2 基于歸一化LEF的兩步PSP動態場景測試實驗結果

為了在動態PSP測量系統中驗證本文所提方法的有效性, 對運動的心形物體進行測量.PSP系統中的投影儀采用了型號為SONY-EX573(分辨率為1204 × 768); CCD相機采用了AVT G-50B,其分辨率為2452 × 2056.

應用三步相移算法對運動的心形物體進行測量, 并在不同的位置獲取物體的變形條紋圖, 其大小為521 × 621.由于物體的運動, 則每幀條紋圖中, 物體存在2 mm的位移.第一和第二幀條紋圖被用于LEF算法的相位重建.圖12(a)為三步相移提取的相位分布, 由圖可以看出, 重建的相位表面出現了較多的條紋諧波現象, 主要原因為: PSP通常假設物體是靜止的, 并且根據條紋圖中預設的相移量重建物體的相位分布, 當物體運動時, 由于物體的運動導致條紋圖之間的相移量發生變化進而導致測量的相位出現條紋諧波現象.圖12(b)為采用均值和調制度矯正技術處理變形的條紋圖后,LEF提取運動物體的相位分布, 其重建效果很不理想, 這主要由于均值和調制度矯正算法僅適合于均勻或隨時間變化的背景項和調制度.

圖12 運動物體的實驗結果 (a) 三步相移方法提取的相位; (b) 基于高斯濾波歸一化的兩步PSP重建的相位; (c) 基 于EMD歸一化的兩步PSP重建相位; (d) 基于均值和調制度矯正的兩步PSP重建相位Fig.12.Experimental results of moving objects: (a) The extracted phase by three-step phase shifting method; (b) the phase obtained from two-step PSP based on Gaussian filter normalization; (c) the phase estimated from two-step PSP based on EMD normalization; (d) the phase estimated from two-step PSP based on the mean value and modulation.

圖12 (c)和圖12(d)分別應用高斯濾波歸一化、EMD歸一化算法抑制背景和調制度后, LEF方法提取的相位分布, 與三步相移方法重建的相位相比, 其重建的相位表面比較光滑, 主要原因為:PSP利用已知的相移量對物體進行測量, 當物體運動時, 由于物體的運動導致條紋圖之間的相移量發生變化進而導致測量的相位出現條紋諧波現象.然而, 基于歸一化LEF的兩步PSP方法測量的相位更光滑, 這主要由于該方法減少了條紋圖的幀數, 則運動物體帶來的影響也較小.另外, 相移估計的更準.實驗結果驗證了, 與三步相移PSP算法相比, 應用基于高斯濾波歸一化、EMD歸一化算法的兩步PSP能夠比較精確地測量運動的物體.

5 結 論

應用PSP重建物體的相位時, 存在多幀條紋圖(至少三幀條紋圖)以及動態物體的相移誤差問題, 在本文提出了一種基于LEF技術的兩步PSP相位估計方法, 并分析了背景強度和調制度對LEF方法的影響, 在此基礎上, 提出利用高斯濾波歸一化、EMD歸一化、均值和調制度矯正技術抑制不均勻背景和調制度對LEF方法的影響, 并對比了不同情況下基于高斯濾波歸一化、EMD歸一化、均值和調制度矯正技術的LEF重建相位的測量精度.仿真和實驗結果表明, 與多幀PSP相比,本文所述方法減少了條紋幀數; 與單幀傅里葉變換輪廓術相比, 基于高斯濾波歸一化或EMD歸一化的LEF方法可以獲得較高的測量精度以及保留更多的相位細節; 在物體的動態測量中, 與三步PSP相比, 基于高斯濾波歸一化或EMD歸一化的LEF方法重建的相位, 其表面較光滑, 部分諧波被抑制, 仿真和實驗結果驗證了本文所述方法的有效性.