神經元網絡中局部同步引發的各種效應*

白婧 關富榮 唐國寧

(廣西師范大學物理科學與技術學院, 桂林 541004)

(廣西師范大學, 廣西核物理與核技術重點實驗室, 桂林 541004)

在大腦皮層中, 神經元大范圍的同步放電可以引發癲癇, 而癲癇發作期間可以自發出現螺旋波, 大量神經元的同步放電與螺旋波自發產生之間的關系目前仍不清楚.本文通過增加水平長程連接構造了具有局域長程耦合區的二維神經元網絡, 采用Morris-Lecar神經元模型研究了具有多個長方形長程耦合區的神經元網絡中波的傳播, 數值模擬結果表明: 傳播方向與長程耦合朝向平行的平面波和靶波經過長程耦合區會導致長程耦合區內的神經元同步激發, 這種同步激發伴隨一部分神經元延遲激發, 而另一部分提前激發; 當長程耦合區寬度超過臨界寬度時, 長程耦合區所有神經元延遲激發; 當長程耦合區寬度超過最大導通寬度時, 波將不能通過長程耦合區.當適當選擇長方形長程耦合區的尺寸時, 神經元同步激發可使網絡出現波回傳效應和具有波傳播方向的選擇性, 而且這種波傳播方向的選擇性對神經元是否處于定態和耦合強度變化很敏感, 以致高頻平面波列可以部分通過寬度超過最大導通寬度的長程耦合區, 因此可以通過對長程耦合區內的神經元施加微擾來控制低頻波是否可以通過一定寬度的長程耦合區.對于適當選取的神經元網絡結構, 當平面波或靶波經過長程耦合區時, 網絡可自發出現自維持平面波、螺旋波和靶波等現象.本文對產生這些現象的物理機制作了分析.

1 引 言

非線性波可以在各種反應擴散系統中自發產生[1?3], 如心臟中的竇房結自發產生靶波, 當心肌組織出現疤痕、波傳導阻塞區和心肌細胞電性質改變時, 心臟中還會自發產生螺旋波, 這會導致心動過速, 如果螺旋波破碎成時空混沌, 還會導致心室纖維性顫動而危及生命[3].Chen等[4]采用B?r-Eiswirth可激發介質模型, 研究了平面波與缺陷相互作用, 觀察到高頻平面波通過缺陷后會自發產生螺旋波.Zimik和Pandit[5]采用心臟模型研究了平面波與局部異質性團塊(由心肌細胞和成纖維細胞組成)的相互作用, 發現高頻平面波通過異質性團塊也會自發產生螺旋波, 但是這些情況下螺旋波自發產生機制與同步無關.

非線性波(如螺旋波、行波)也可以自發出現在神經元網絡中[6?8], 如癲癇發作時腦神經網絡中可出現螺旋波[6,9], 癲癇發作的兩個特征是神經元大范圍的同步振蕩和出現特定的節律[10], 這意味著癲癇發作時自發形成的螺旋波可能與神經元的同步有關; 在低血糖雞視網膜中也觀察到螺旋波自發產生和螺旋波導致的視網膜受損[11]的現象, 由于大腦神經網絡中出現螺旋波往往與某種神經疾病有關, 掌握神經元網絡中螺旋波自發產生的機制, 有助于有效治療相關神經疾病, 所以螺旋波自發產生機制的研究受到科學工作者的極大關注, 雖然人們已經發現噪聲[12]、自突觸[13]、興奮-抑制性耦合[14]、排斥耦合[15]等都可以在神經元網絡自發產生螺旋波, 由于神經元網絡的復雜性, 神經元網絡中螺旋波的自發產生機制仍未完全清楚, 需要進一步研究.

心臟系統和大腦神經網絡系統的結構、工作細胞的電生理性質、細胞之間耦合方式等都是不相同的, 但是它們有共同特點, 都需要細胞的同步電活動, 都會出現螺旋波, 如心臟需要心肌細胞同步激發收縮來完成泵血功能, 很多大腦的活動都要靠同步來實現[16?18], 如神經元間信息的傳遞.研究發現: 時滯不僅會促進神經元同步, 還會抑制同步[19];參數的異質性[20]、網絡的拓撲結構[21,22]都會影響神經元的同步.神經元在適當的噪聲作用下也會實現同步[23]; 噪聲還會在神經元網絡中誘發隨機共振現象[24,25], 部分時滯也可以在小世界神經元網絡中誘發隨機多共振現象[26], 噪聲和延遲耦合共同作用也會使神經元網絡出現隨機共振[27?29], 但是迄今為止, 同步在神經元網絡自發出現螺旋波中所扮演的角色仍缺乏研究.

目前對癲癇研究已經取得許多研究成果, 研究結果表明[30]: 1)電突觸耦合在癲癇發作時仍然高水平地存在; 2)癲癇發作時會出現網絡重組現象,例如在局域癲癇中, 在癲癇剛發作時會出現一個大的網絡, 在癲癇傳播中, 這個大網絡會破碎成更小的子網絡, 在局部癲癇將要終止時, 這些小的子網絡又會形成一個大網絡; 3)在海馬切片中, 局部放電可以將局部網絡變成不應區, 以防止隨后的癲癇活動在整個網絡中擴散.為了透過現象看本質, 了解神經元網絡中螺旋波的自發產生機制, 本文構造一個具有局域長程耦合的二維神經元網絡, 它是通過在二維近鄰耦合神經網絡上增加了局域水平長程連接產生, 而且只考慮電耦合, 然后使用Morris-Lecar神經元模型[31]研究了平面波和靶波與局域長程耦合形成的神經元集團的相互作用, 數值模擬結果表明波的傳播情況與長程耦合區的朝向有關.當波的傳播方向與長程耦合區的朝向垂直時, 波的傳播不受影響.當波的傳播方向與長程耦合區的朝向平行時, 波的傳播情況會受長程耦合區的影響,表現在: 當平面波和靶波經過局域長程耦合區時,波與神經元集團相互作用導致神經元集團內的神經元幾乎同步激發, 出現集團內一些神經元比無長程耦合時提前激發, 另一些神經元比無長程耦合時延遲激發, 當長程耦合區足夠寬時, 延遲激發時間將超過神經元細胞從峰值回到靜息態的時間, 產生波回傳效應; 并且當長程耦合區寬度超過最大導通寬度時, 長程耦合區將阻礙波的傳播, 這時長程耦合區具有波傳播方向的選擇性; 在這兩種行為共同作用下, 當平面波和靶波通過不同形狀和尺寸的長程耦合區時會自發產生平面波(或行波)、螺旋波、靶波等現象.這些研究結果對了解腦神經系統中螺旋波產生的機制有積極意義.此外, 我們還發現長程耦合區的波傳播方向選擇性對神經元偏離定態十分敏感, 可以利用這個性質制作生物器件, 控制生物體中信號的傳播.下面先介紹我們的模型, 然后給出模擬結果, 最后給出結論.

2 模 型

本文使用一個包含 N ×N=200×200 個節點的二維方形神經元網絡, Morris-Lecar神經元分布在網絡的每個節點上, 每個神經元與其近鄰神經元存在電突觸耦合, 在網絡中存在一塊或多塊長方形長程耦合區, 在長程耦合區內神經元之間在水平方向與左、右(即雙邊)8個鄰居有電突觸耦合, 為了使得所有神經元的耦合都是雙向耦合, 以及長程耦合區域內的神經元不能與區域外神經元有長程耦合, 因此在該長程耦合區的邊界附近, 一個神經元與其他位于長程耦合區的神經元耦合的數量逐漸減少到4個(假設長程耦合區長和寬足夠大), 如圖1所示.在網絡只有一個長方形長程耦合區且其左和右邊界分別在 imin和 imax這一列上時, 網絡的動力學方程如下[31,32]:

圖1 神經元之間的長程耦合示意圖, 虛線代表近鄰耦合,實線代表長程耦合, 空心圓代表長程耦合區外的神經元,實心圓代表長程耦合區內的神經元Fig.1.Schematic diagram of long-range coupling between neurons.Dashed and solid lines represent the nearest neighbor and long-range coupling, respectively.Hollow and solid circles represent the neurons outside and inside the longrange coupling region, respectively.

其中 Vij分別表示網絡節點 ( i,j) 上神經元的膜電位( m V ); I 為背景電流; t 代表時間( m s ); ωi,j代表恢復變量; C 代表膜電容; gK, gCa和 gL分別表示鉀、鈣離子電流和漏電電流的最大電導率; VK,VCa和 VL分別表示鉀、鈣和漏電電流的反轉電位; ε 為耦合強度; H (ρ) 為 階躍函數, 當 ρ ≥0 時, H (ρ)=1 ,否則 H (ρ)=0 ; d為長程耦合區的寬度,d=imax?imin.當 j 不在長程耦合區時, (1)式最后一項為0.本 文 各 參 量 取 值 如 下: I =39.7μA/cm2,C=20μF/cm2, gK=8μS/cm2, gCa=4μS/cm2,gL=2μS/cm2, VK=?84mV , VCa=120mV , VL=?60mV ,V1=?1.2mV , V2=18mV , V3=12mV ,V4=17.4mV , ? =0.067.在這些參數下, 單個神經元是可激發的, 其定態為 Vs=?31.17625 , ωs=0.00694.在數值模擬中, 使用四階龍格庫塔法解微分方程,時間步長取 ? t=0.01 單位時間, 采用無流邊界條件, 取神經元的定態為網絡的初態.

3 數值模擬結果

首先在神經元網絡中構造一塊長度 L =N 個格點和寬度為 d 個格點的長方形長程耦合區, 然后在系統左邊界 i ∈[1,10] 范圍內通過外部刺激使神經元瞬間處于激發態, 產生一列向右傳播平面波,研究平面波的傳播, 接著在神經元網絡中構造一到兩個長方形長程耦合區, 研究平面波與不同大小的神經元集團的相互作用, 最后在系統左邊界通過外部刺激產生一個向右傳播的靶波, 研究靶波與不同大小的神經元集團的相互作用.

3.1 平面波的傳播與同步產生的效應

假設神經元網絡中有一塊長度 L =N 個格點和寬度為 d 個格點的長方形長程耦合區, 該長程耦合區左邊邊界在 imin=20 這一列上, 在平面波向右傳播過程中, 記錄在長程耦合區 j =100 這一行上各格點的激發時刻, 這些格點從左到右分別記為l=1,2,···,d , 當 d =1 時, 表示網絡中無長程耦合區, 當 d =2 時, 網絡中只有次近鄰長程耦合.圖2給出不同耦合強度 ε 和不同寬度 d 下神經元的激發時刻隨神經元位置的變化, 圖2中水平直線所包含的黑點數就是長程耦合區的寬度, 斜線對應d=1(即無長程耦合), 圖2(b)是等間隔選取寬度 d 做圖.圖2(a)最下方曲線對應 d =6 , 圖2(b)最下方曲線對應 d =7.從圖2可以看出, 長程耦合區內的神經元激發時刻隨 d 增加而延遲, 因為當波傳播到長程耦合區左邊界時, 與長程耦合區左邊界相鄰的神經元處于激發態, 其膜電位大大高于波峰前方與之有耦合的神經元的膜電位, 因此這個神經元產生刺激電流, 依次使波前方由近到遠的神經元偏離靜息態, 從而使長程耦合區內所有神經元獲得幾乎相近的正刺激電流, 因為長程耦合區內的神經元耦合成一個整體, 顯然 d 越大, 各神經元獲得的刺激電流就越小, 需要更長的時間才能激發, 這就是延遲激發的原因.我們稱這個處于激發態的神經元為產生刺激電流的源, 波前方的神經元起到吸收刺激電流的作用, 稱為吸收電流的匯.顯然, 當一個神經元獲得的刺激電流小于其臨界值時, 源與匯嚴重不匹配,神經元不能被激發, 表現為波不能通過長程耦合區.

圖2 不同耦合強度和不同寬度下神經元激發時刻隨位置 l 的變化, 斜線對應無長程耦合情況, 不同水平線上的黑點個數對應不同寬度的長程耦合區 (a) ε =0.2 ; (b)ε=0.4Fig.2.The firing time point of neurons varies with location l for different coupling strengths and different widths of the long-range coupling region.The oblique line corresponds to the network without long-range coupling, and the number of black dots on different horizontal lines is the width of the corresponding coupling region: (a) ε =0.2 ; (b) ε =0.4.

從圖2還可以看出以下三點.1)無長程耦合區時, 神經元的激發時刻隨神經元位置的變化呈斜線, 表明神經元從左到右依次激發.但是有長程耦合區時, 神經元的激發時刻隨神經元位置的變化呈水平直線, 而且耦合強度和長程耦合區寬度越大線越平直, 這個結果表明神經元幾乎同步激發, 水平線與斜線交點的左側神經元延遲激發, 交點右側神經元提前激發, 隨著 d 的增加, 神經元延遲激發的比率逐漸增加.2)存在一個長程耦合區臨界寬度dth, 當 d ≥dth, 長程耦合區內所有神經元都會延遲激發, 耦合強度 ε =0.2,0.4 對應的臨界值分別是dth=23,53.可見增大神經元之間的耦合強度, 可提高 dth的值.3)存在最大導通寬度 dmax, 當長程耦合區寬度超過其最大導通寬度 dmax時, 波將不能通過長程耦合區, 耦合強度 ε =0.2,0.4 對應長程耦合區最大導通寬度分別是 dmax=26,59.數值模擬發現, 最大導通寬度敏感依賴神經元之間耦合強度變化, 如 ε 從0.2增加到0.2005, dmax從26增加到27.

圖2給出了波傳播方向與長程耦合朝向平行時平面波傳播情況, 如果波傳播方向與長程耦合朝向是垂直的, 我們不難得出波可以無延遲通過長程耦合區.為了對長程耦合區具有對波傳播方向的選擇性有直觀印象, 圖3給出了在水平方向和豎直方向上施加一次刺激產生的平面波通過長程耦合區時不同時刻的斑圖, 斑圖的灰度值與神經元的膜電位成正比(在無特別指出下, 后面的斑圖同樣處理), 白色對應神經元處于激發態(即波前), 深黑色區對應神經元處于超極化狀態(波背), 淺黑色區對應神經元處于靜息態, 圖3(a)—(c)為水平方向的平面波通過長程耦合區的斑圖, 也就是波傳播方向與長程耦合朝向平行時平面波傳播情況, 可以看到只有一列平面波向右傳播時, 在長程耦合區寬度 d ≥dmax情況下, 平面波不能通過長程耦合區;圖3(d)—(f)為豎直方向的平面波通過長程耦合區的斑圖, 也就是波傳播方向與長程耦合朝向垂直時平面波傳播情況, 在長程耦合區寬度 d ≥dmax情況下, 平面波的傳播沒有受到影響, 與無長程耦合區相同, 這說明長程耦合區對波傳播方向有選擇性.

圖3 在 ε =0.2 的情況下不同時刻的膜電位斑圖, 白色虛線矩形框內為長程耦合區, 其寬度 d =50.上下兩排圖的波傳播方向分別與長程耦合方向平行和垂直 (a), (d) t =74ms ; (b), (e) t =228ms ; (c), (f)t=556msFig.3.Membrane-potential patterns at different time points for ε =0.2.The box marked by a white dotted rectangle shows the long-range coupling region, and its width is equal to 50.The wave propagation directions in the upper and lower row panels are parallel and perpendicular to the long-range coupling direction, respectively: (a), (d) t =74ms ; (b), (e) t =228ms ; (c), (f)t=556ms.

長程耦合區除了對波的傳播方向有選擇性外,還具有波回傳效應, 為了對此有直觀印象, 使用圖2選取的網絡結構并選取不同的長程耦合區寬度, 記 錄 j =100 這 一 行 上 從 i =1 列 到 i =80 列 這

些神經元的膜電位隨時間的變化, 得到膜電位時空斑圖如圖4所示, 圖4(a)對應的長程耦合區寬度為 d =6 , 可以看出, 長程耦合區左右兩邊只出現一條傾斜線, 表明平面波從系統左邊界向右傳播, 產生向右的傾斜線, 當平面波傳播到長程耦合區邊界時, 平面波終止在邊界處, 經過一段延時后, 長程耦合區內的神經元同時被激發, 由于長程耦合區左側神經元還未回到靜息態, 所以同步激發形成的波只能向右傳播, 那么這樣只出現向右的傾斜線;圖4(b)和圖4(c)對應的長程耦合區寬度分別為d=14, d =21 , 在這兩張圖中可以觀察到: 長程耦合區的左邊出現兩條傾斜線, 右邊出現一條傾斜線, 長程耦合區內的神經元同時被激發, 一方面產生向右傳播的波, 形成向右傾斜的直線, 另一方面產生向左傳播的波, 形成向左傾斜的直線, 我們把這種現象稱為波回傳效應.圖4(d)長程耦合區寬度為 d =27 , 此時耦合區寬度已經超過最大導通寬度, 波無法通過長程耦合區.可見神經元的同步激發可導致長程耦合區具有波傳播方向的選擇性及神經元網絡具有波回傳效應.

圖4 在 ε =0.2 和不同的長程耦合區寬度的情況下一行格點的膜電位的時空斑圖, 兩白色虛線之間的區域為長程耦合區 (a)d=6 ; (b) d =14 ; (c) d =21 ; (d)d=27Fig.4.Spatiotemporal patterns of membrane potential of a row of grid points for ε =0.2 and different widths of long-range coupling region.The region between the two white dotted lines is the long-range coupling region: (a) d =6 ; (b) d =14 ; (c) d =21 ;(d) d =27.

通過數值模擬發現: 長程耦合區的波傳播方向的選擇性不僅與耦合強度有關, 還與神經元偏離定態的幅度有關, 例如在圖2(a)情況下, 將長程耦合區寬度取為 d >dmax(d=27,dmax=26) , 神經元網絡的初態改為 V0=?31.09658 , ω0=0.00696 , 這個初態只比定態值高一點, 這時平面波依然可以通過長程耦合區, 我們把這種現象稱為波傳播方向選擇性對神經元偏離定態幅度的敏感性, 正是這種敏感性, 導致周期大于等于 4 80ms 的低頻平面波不能通過長程耦合區, 因為在圖2(a)情況下延遲時間超過 2 60ms , 神經元動作電位持續時間約120ms, 在平面波擾動下, 長程耦合區的神經元可以在 4 80ms 內回到定態, 使平面波不能通過長程耦合區.周期小于等于 4 70ms 平面波波列可以部分通過長程耦合區, 例如外部刺激產生周期為450ms 的平面波, 第1至第3列波無法通過長程耦合區, 在這幾列波擾動下, 第4列波就可以通過長程耦合區, 以后類似現象重復出現, 每4列波通過1列波.如果外部刺激產生周期為 3 00ms 的平面波, 則第1列平面波不能通過長程耦合區, 其產生的擾動使長程耦合區內神經元偏離了定態, 所以第2列平面波能夠通過長程耦合區.但是當第3列平面波達到長程耦合區左邊界時, 長程耦合區內的神經元剛好處于不應期, 從而阻止了平面波通過,同時也為第4列平面波通過長程耦合區創造了條件, 使第4列波可以通過長程耦合區.以后會觀察到第7, 9, 12列平面波可以通過長程耦合區, 波通過長程耦合區無規律的原因是, 有些波列遇到回傳波而不能通過長程耦合區.不同周期平面波通過長程耦合區情況如圖5所示.圖5是在系統左邊界i∈[1,10] 范圍內通過周期外部刺激產生周期為 T 、向右傳播平面波得到的結果, 在無長程耦合區情況下, 每1列波通過情況用空心圓連線表示, 有長程耦合情況下平面波通過情況用黑方塊連線表示.

圖5 在 d =27 , ε =0.2 和不同周期T平面波下神經元的激發時刻隨位置 l 的變化.空心圓對應無長程耦合結果, 實心方塊對應有長程耦合的結果 (a) T =300ms ; (b) T =450ms ; (c)T=480msFig.5.The firing time point of neurons varies with location l for d =27 , ε =0.2 and different periods of planar wave.The hollow circles show the results obtained without long-range coupling, while the solid squares show the results obtained with long-range coupling: (a) T =300ms ; (b) T =450ms ; (c) T =480ms.

對于周期更小的平面波, 主要出現平面波遇到長程耦合區神經元處于不應態和平面波遇到回傳波而不能通過長程耦合區.如果增加長程耦合區的寬度 d , 只要平面波的周期足夠小, 同樣出現部分平面波列可以通過長程耦合區.

由于長程耦合區的波傳播方向的選擇性敏感依賴神經元偏離定態的幅度, 我們可以通過對耦合區內的部分神經元施加一個微擾讓原來不能通過長程耦合區的平面波能通過該區域, 例如在(1)式右邊第一項方括號內加一個刺激電流 I′=1.4μA/cm2,這個電流只施加在第20列到第24列這5列格點上.當平面波傳播到長程耦合區左邊界, 第20列的神經元偏離定態達到 ? 15.5mV 時, 開始加電流刺激, 刺激持續時間為 1 0ms , 刺激結束時第20列的神經元的膜電位只比沒有刺激電流時增加了約0.17mV, 這時平面波可以通過長程耦合區.減少刺激神經元的數量, 相應要增加刺激電流強度或刺激時間, 也能使平面波通過長程耦合區.這些結果表明, 可以利用長程耦合區的波傳播方向選擇性對神經元偏離定態的幅度, 以及對耦合強度變化的敏感性制作生物控制器件, 通過調節耦合強度或對神經元施加擾動控制波的通行.

3.2 平面波和靶波與不同尺寸的神經元集團的相互作用

在二維點陣神經元網絡中構造一個或兩個不同尺寸的長方形長程耦合區, 在網絡中存在一個或兩個神經元集團, 研究平面波、靶波與神經元集團的相互作用, 這種作用稱為波-集團相互作用, 我們發現這種相互作用會在神經元網絡中產生各種自維持有序波.為了簡單起見, 下面的研究中, 將耦合強度固定在 ε =0.2.

3.2.1 平面波與神經元集團相互作用誘發平面波

在二維點陣網絡構造兩塊相同的長方形長程耦合區, 長程耦合區的長度 L =N 個格點, 寬度為d=14個格點, 長程耦合區與系統左邊界平行, 兩塊區相距Δ = 13個格點, 這樣在神經元網絡中存在左右兩個神經元集團.在系統左邊界 i ∈[1,10] 范圍內通過一次刺激產生一列向右傳播的平面波, 當平面波與左邊長程耦合區接觸時, 平面波與左邊神經元集團相互作用, 由于同步激發, 將產生向左和向右傳播的平面波, 向左傳播的平面波最終運動出系統的左邊界, 向右傳播的平面波與右邊長程耦合區的神經元集團相互作用, 又經同步激發產生向左和向右傳播的平面波, 向右傳播的平面波最終運動出系統的右邊界, 向左傳播的波與左邊神經元集團相互作用, 又經同步激發產生向左和向右傳播的平面波, 這種相互激發作用, 導致自維持平面波出現,其產生過程如圖6所示.

圖6 在 L =N , d =14 和Δ = 13的情況下不同時刻的膜電位斑圖, 左邊(右邊)兩條白色虛線之間為長程耦合區 (a)t=150ms ; (b) t =292ms ; (c) t =342ms ; (d) t =370ms ; (e) t =428ms ; (f) t =478ms ; (g) t =528ms ; (h) t =570ms.Fig.6.Patterns of the membrane potential at different time points for L =N , d =14 and Δ = 13.The region between two white dotted lines on the left (right) is the long-range coupling region: (a) t =150ms ; (b) t =292ms ; (c) t =342ms ; (d) t =370ms ;(e) t =428ms ; (f) t =478ms ; (g) t =528ms ; (h) t =570ms.

在上述平面波與集團相互作用中, 改變長程耦合區之間的距離Δ, 原則上不會影響平面波的自發產生.但是當Δ ≤ 10 時, 則不能產生自維持平面波.原因是: 當波回傳效應產生的波進入兩塊長程耦合區之間的空間后, 波前面的長程耦合區內的神經元處于靜息態, 波后面的長程耦合區內的神經元處于超極化狀態, 其膜電位更負, 這時處于激發態的神經元受到波后方處于超極化神經元的拖累, 使其更快復極化, 導致其無法向波前方神經元提供足夠長時間的電流刺激(即損失部分激發能), 從而無法使波前方處于靜息態的神經元激發, 結果兩塊長程耦合區內的神經元不能相互激發產生平面波.

3.2.2 平面波與神經元集團相互作用誘發螺旋波

本節研究平面波與小一些的神經元集團的相互作用.使用類似產生自維持平面波的網絡結構,適當選取兩塊相同的長程耦合區, 其長度為 L 、寬度為 d , 兩個長程耦合區之間的距離為Δ, 通過平面波與這兩個神經元集團相互作用可產生螺旋波,而且是許多小螺旋波.當Δ比較大時, 由于波回傳效應, 產生穩定的螺旋波斑圖需要的時間會更長,當Δ比較小時, 可以快速得到穩定的螺旋波斑圖,例如取 L =35 個格點, 寬度 d =14 個格點, 兩塊區相距Δ = 1個格點, 則平面波與這兩個神經元集團相互作用會較快自發產生螺旋波, 其產生過程如圖7所示.

從圖7可以看出, 由于延遲激發的原因, 平面波到達左邊長程耦合區的左邊界時, 并不會立即導致該耦合區內的神經元激發, 平面波只能沿該長程耦合區的上下邊界向右傳播, 在傳播過程中誘發耦合區上下邊界附近的神經元激發, 形成向耦合區中間傳播的波, 當平面波即將到達該長程耦合區右邊界線時, 該耦合區內其他神經元同步激發, 一方面產生向前傳播的波, 導致右邊長程耦合區內神經元激發, 另一方面產生向后傳播的行波, 該行波的兩端沿左邊耦合區邊界運動, 在耦合區的上下邊界附近形成小螺旋波波頭, 最后逐漸形成穩定的兩個小螺旋波.

圖7 在 L =35 , d =14 , Δ = 1的情況下不同時刻的膜電位斑圖, 兩個白色虛線框內為長程耦合區 (a) t =150ms ;(b) t =306ms ; (c) t =318ms ; (d) t =346ms ; (e) t =442ms ; (f) t =490ms ; (g) t =514ms ; (h)t=816msFig.7.Patterns of the membrane potential at different time points for L =35 , d =14 and Δ = 1.The two boxes marked by white dotted rectangle show the long-range coupling regions: (a) t =150ms ; (b) t =306ms ; (c) t =318ms ; (d) t =346ms ;(e) t =442ms ; (f) t =490ms ; (g) t =514ms ; (h) t =816ms.

如果保持 d =14 , 將Δ改為13, 取長程耦合區的長度分別為 L =61,101,161 , 得到不同時刻膜電位斑圖如圖8所示.從圖8可以看出, 適當選擇長度, 都可以得到螺旋波, 只是由于 L , Δ比較大, 斑圖長時間沒有穩定, 始終在變化, 形成的螺旋波只有波頭, 無法形成大螺旋波.圖8(a)—(f)是對稱的斑圖, 圖8(g)—(i)隨著時間的演化, 斑圖上下部分不再對稱, 這主要是由于長程耦合區上下邊界到系統邊界距離不相等引起的, 如果取 L =162 ,使長程耦合區上下邊界到系統邊界距離相等, 就可以得到對稱的斑圖, 這個結果表明, 當 L 較大時會有邊界效應.

圖8 在 d =14 , Δ = 13和不同L下不同時刻的膜電位斑圖, 兩個白色虛線框內為長程耦合區.三個長程耦合區的長度分別為L=61,101,161 (a) t =1308ms ; (b) t =2890ms ; (c) t =3718ms ; (d) t =1370ms ; (e) t =2690ms ; (f) t =3710ms ;(g) t =1296ms ; (h) t =2400ms ; (i)t=3750msFig.8.Patterns of the membrane potential at different time points for d =14 , Δ = 13 and different L.The two boxes marked by white dotted rectangle show the long-range coupling regions.The lengths of the three long-range coupling regions are equal to 60,101, 161, respectively: (a) t =1308ms ; (b) t =2890ms ; (c) t =3718ms ; (d) t =1370ms ; (e) t =2690ms ; (f)t=3710ms;(g) t =1296ms ; (h) t =2400ms ; (i) t =3750ms.

在固定 d =14 的情況下, 能夠產生螺旋波的最小 L 與兩塊長程耦合區的間隔Δ有關, 當Δ = 1時, 只要 L ≥7 , 平面波經過長程耦合區一般都可以產生螺旋波, 其他間隔Δ對應的最小L值也接近7.如果網絡中只有一塊長方形長程耦合區,適當選擇L值也可以得到與圖8類似的小螺旋波.

3.2.3 平面波與神經元集團相互作用誘發靶波

前面我們討論了平面波與兩個神經元集團的相互作用, 下面我們討論網絡中只有一個長程耦合區.適當選取長方形長程耦合區的長度, 并且讓其寬度足夠寬, 則平面波與神經元集團相互作用可誘發靶波.這是一種由小螺旋波對為振源的靶波, 例如當網絡中有一塊長度為 L =41 個格點、寬度為d=21個格點的長程耦合區時, 平面波經過該區后,網絡中會自發產生靶波, 其形成過程如圖9所示.可以看出, 由于延遲激發的原因, 平面波不能從耦合區左邊界進入耦合區, 在沿著該耦合區上下邊界向右傳播過程中, 在豎直方向形成向長程耦合區中間傳播的平面波, 平面波一端逐漸形成螺旋波波頭沿耦合區邊界運動(參見圖9(c)).當運動到耦合區的右邊界時, 螺旋波波臂在耦合區右邊界拐角處從波頭附近折斷(參見圖9(d)), 形成小螺旋波對, 最終演化成了靶波.

圖9 在 ε =0.2 , L =41 和 d =21 的情況下不同時刻的膜電位斑圖.白色虛線框內為長程耦合區 (a) t =292ms ; (b)t=320ms ; (c) t =348ms ; (d) t =640ms ; (e) t =758ms ; (f) t =854ms ; (g) t =890ms ; (h)t=932msFig.9.Patterns of the membrane potential at different time points for ε =0.2 , L =41 and d =21.The box marked by white dotted rectangle shows the long-range coupling region: (a) t =292ms ; (b) t =320ms ; (c) t =348ms ; (d) t =640ms ; (e)t=758ms ; (f) t =854ms ; (g) t =890ms ; (h) t =932ms.

3.3 靶波與神經元集團相互作用誘發有序波

現在將平面波換成靶波, 仍使用圖6、圖7、圖9的網絡結構研究靶波與神經元集團的相互作用.考慮兩種情況.第一種情況, 產生靶波的外部刺激施加在系統左邊界正中間, 覆蓋9個格點, 其坐標如下: i ∈[1,3] , j ∈[99,101] , 該靶波源記為S1.第二種情況, 產生靶波的外部刺激施加在系統左邊界的中間偏下方, 覆蓋9個格點, 其坐標如下: i ∈[1,3] ,j∈[77,79], 該靶波源記為S2.在三種網絡結構下,靶波源S1產生的一個靶波與神經元集團相互作用,分別得到圖10(a)—(c)所示的結果, 靶波源S2產生的一個靶波與神經元集團相互作用, 分別得到圖10(d)—(f)所示的結果.從圖10可以看出, 改用靶波與神經元集團相互作用, 得到與圖6、圖7、圖9類似結果, 只是在靶波作用下不能形成平面波, 而只能形成行波, 它的波面有一定的彎曲.

上述數值模擬結果表明: 特定結構的神經元網絡可以產生波回傳效應和具有波傳播方向的選擇性, 這種網絡結構極容易產生有序波, 有序波產生的本質是波與神經元集團相互作用結果必須滿足神經元的同步激發條件, 因為長程耦合將許多神經元連接成一個整體.由于腦神經網絡是具有可朔性的, 在病態情況下有可能出現本文提出的這種網絡結構, 使網絡出現螺旋波.

4 結 論

本文采用Morris-Lecar神經元模型研究了具有特殊結構的神經元網絡中平面波的傳播和平面波、靶波與神經元集團的相互作用, 發現具有特殊結構的長程耦合區具有波回傳效應和波傳播方向的選擇性, 它是由于神經元的同步激發產生的, 此外我們還發現這種長程耦合區的波傳播方向選擇性對神經元偏離定態和耦合強度的變化十分敏感,當平面波傳播方向與長程耦合方向一致時, 導致足夠高頻率的平面波波列可部分通過寬度超過最大導通寬度的長程耦合區.適當選擇網絡結構, 當平面波和靶波與具有一定形狀的神經元集團相互作用時, 可以在網絡中自發產生平面波、行波、螺旋波和靶波, 同步在其中扮演了重要角色, 這些結果有助于我們理解在腦神經網絡中自發出現的螺旋波和行波.