海洋平臺結構振動超標分析方法研究

李永勝，王緯波，陶沙，張彤彤

(1.中國船舶科學研究中心 船舶振動噪聲重點實驗室，江蘇 無錫 214082；2.江蘇省綠色船舶技術重點實驗室，江蘇 無錫 214082)

0 引言

某海洋平臺在試航時發現有部分甲板區域出現振動超標，該甲板位于主設備艙上方并受到艙內2 臺主機振動傳遞的激勵。當甲板結構的固有頻率與主機激振力的頻率一致時，會產生結構共振。結構共振不但會妨礙平臺上設備、儀表和人員的正常工作，也容易引起局部結構產生疲勞損傷。為了查出結構振動超標的原因，本文采用理論解析結合數值仿真的計算方法，對平臺甲板板架結構及其組成單元，包括甲板板格、加筋板的固有頻率進行計算研究，以確定異常振動是因哪部分結構共振引起，為振動超標區的治理提供理論依據。

在進行甲板結構動力分析時，規范一般將其邊界約束簡化為四邊簡支的板架，參照規范計算公式可計算其固有頻率[1]。張碩等[2]對比采用經驗公式法和有限元法計算船體甲板固有頻率的不同，分析各種經驗計算方法的適用范圍，提出計算甲板固有頻率的有限元法邊界條件設置方法，并采用實船測試結果對計算方法進行驗證。龔郝等[3]采用有限元計算方法對船體板架固有頻率的計算模型進行簡化，討論某實船甲板板架計算模型的范圍、邊界條件的選擇對計算結果的影響，研究認為采用邊界約束為簡支的單艙段局部模型或單艙段模型進行板架固有頻率分析與頻率儲備校核有利于保證計算精度。郭列等[4]對船舶結構局部振動計算模型進行了研究，探討了建立振動計算模型的一些關鍵性問題，如結構振動是采用硬設計還是軟設計、確定計算結構邊界條件時相鄰結構的選取問題、結構的力學模擬問題以及計算模型的精細程度等；王維等[5]采用直接簡化計算的方法對船上常見的局部板架結構的固有頻率進行計算和分析研究，在此基礎上從調整板厚、骨材形狀、局部范圍的強梁跨距等方法在初步設計階段避免局部板架與附近激勵源的共振問題。曾文源等[6]對某艦船機艙區域底部板架振動進行了計算研究，建立了不同的振動區域計算模型，通過計算分析和比較，探討不同計算模型范圍、邊界條件對計算結果的影響。

論文針對某海洋平臺振動超標區的結構進行振動理論分析，分別研究了甲板板格、加筋板單元固有頻率的解析計算方法，重點研究了預報甲板板架振動固有頻率的數值計算方法，給出了板架振動有限元模型的取值范圍的建議。通過研究預報了平臺甲板板架區域中板格、加筋板單元及整體甲板板架結構的固有頻率，并進行了試驗驗證，得出了結構異常振動的原因并給出了結構振動超標的一般分析流程。

1 計算方法

振動超標區域的甲板板架結構單元可分為甲板板格、加筋板，如圖1 所示。這些結構單元與整體板架固有頻率之中的任何一個與外加激勵頻率相重合都有可能引起結構共振，從而使振動出現異常。因此，需要對板格、加筋板以及板架整體結構固有頻率進行研究分析。

圖1 振動超標區域結構圖Fig.1 Structure diagram of excessive vibration area

1.1 板格固有頻率的理論計算方法

在船舶與海洋平臺結構局部振動計算中，計算矩形板格首階固有頻率時，對于承受較大中面力作用，四邊簡支邊界條件下的板格的固有頻率計算公式為[7]：

式中：ωni j為四邊簡支矩形板的振動圓頻率；D為彎曲剛度；ρ為材料密度；h為板的厚度；a為板的長邊長；b為板的短邊長度；σx，σy為平行于板長軸和短軸的中面應力。

若忽略中面力影響，板的材料為鋼材，可得無中面力作用下四邊簡支矩形板的理論解如下：

式中：f01為四邊簡支矩形板在空氣中的首階固有頻率，a，b，h的定義同上，只是變量的單位采用mm。本文中若不單獨說明，變量的單位均采用國際標準單位制。

1.2 加筋板固有頻率的理論計算方法

加筋板由板和梁結構組成，在計算其垂向彎曲振動時，把此板梁結構看成梁系結構，板的影響采用引入梁剖面的附連翼板的形式來考慮，不僅符合結構的力學模擬原則，保證計算精度，還可以簡化計算。對于四邊簡支、沿一個方向有平行加筋的加筋板，首階固有頻率計算公式為：

式中：n為加強筋數量，K為折減系數（加強筋截面為對稱形時取1.0，非對稱形時取0.85），I為計及附連帶板的加強筋的慣性矩，cm4,s為加強筋間距，cm，te為等效厚度，按下式計算：

式中：h為板厚，cm；A為加強筋自身面積，cm2。

1.3 帶有附加質量的板格或加筋板固有頻率的理論計算方法

由于海洋平臺甲板板架上可能還有甲板敷料、浮動地板等，計算時假定這些附加的功能結構僅以質量的形式參與振動計算而不影響板架本身的剛度特性，因此根據構件振動固有頻率的以下簡化計算公式，附加質量對構件固有頻率的影響僅體現在質量因子上：

式中：K為構件的彎曲、扭轉、剪切剛度等。

附加質量的折減因子為：

則帶有附加質量的板格或加筋板的固有振動頻率為：

式中：f0為不考慮附加質量時結構的固有振動頻率；fm為考慮附加質量時結構的固有振動頻率。

1.4 甲板板架固有頻率的有限元計算方法

由于甲板板架結構的復雜性，其固有頻率計算需要采用數值方法對結構進行離散。板架結構離散后的自由振動方程為：

根據微分方程理論，式（8）的解為：

式中：M為結構質量陣；K為結構剛度陣；x為結構的廣義坐標列陣；ωn為無阻尼系統自由振動的圓頻率；φ為相位角；X為結構的廣義坐標幅值列陣。將式（9）代入式（8），可得：

式（10）為一齊次的線性代數方程組，存在非零解的條件為系數行列式為零：

式（11）即為結構振動系統的頻率方程或特征方程。對于n個自由度的系統，頻率方程（11）必有n個正實根，即有n個圓頻率，每個圓頻率均有相對應的固有振型X(i)。

根據上述理論，首先僅對“目標區域”板架進行有限元建模，板架模型均在艙壁處斷開。由于板架結構受到艙壁的彈性支持，結構的固有頻率介于四周簡支與剛性固定之間，本文分別采用四邊簡支和四邊固支邊界條件進行計算。甲板板架有限元模型如圖2 所示。

圖2 甲板板架有限元模型Fig.2 Finite element model of deck plate frame

為考慮艙壁結構對甲板板架固有頻率計算的影響，建立含目標區域甲板的單艙段有限元模型，考慮甲板板架上部艙室以及下部艙室結構的影響。有限元模型如圖3，模型的邊界條件為艙段底端簡支。

圖3 單艙段模型Fig.3 Single compartment model

為了更逼近真實邊界條件，將該甲板板架周圍的艙室進行建模，并考慮前后艙段結構對甲板板架固有頻率計算的影響，將艙段有限元模型向四周各延伸一個艙段形成三艙段模型，并盡可能在強支撐構件處斷開，并在斷開處采用簡支邊界條件，有限元模型如圖4所示。

圖4 三艙段模型Fig.4 Three-compartments model

以上有限元模型中，艙室的甲板、艙壁板采用Abaqus 中的S4R 殼單元模擬，強梁、加強筋等均采用B31 梁單元模擬。由于平臺設備運行所引起的結構振動主頻率主要集中在100 Hz 范圍內，有限元分析的頻段選取為5～100 Hz，頻率間隔為1 Hz。

2 計算結果及分析

2.1 甲板板格固有頻率的計算結果

圖1 中振動超標區域甲板板格（編號1）長為3 250 mm，寬為625 mm，厚度為15 mm，質量為239 kg，并考慮板格上甲板敷料的附加質量63.1 kg，根據式（6），λ=0.89。利用式（2）、式（7）求得四邊簡支矩形板格的固有頻率為86.9 Hz。

建立該甲板板格的有限元模型，并考慮附加質量，得到四邊簡支約束板的1 階固有模態如圖5 所示。

圖5 甲板板格1 階振動頻率及振型Fig.5 The first order modal frequency and shape of deck plate

有限元計算得到的含附加質量的四邊簡支板的固有頻率為87.6Hz，與解析法計算得到的結果相差不到1%，證明解析計算式（2）、式（7）可作為預測板格振動固有頻率的理論方法。

2.2 加筋板固有頻率的計算

圖1 中振動超標區域加筋板（編號2）長度為3 250 mm，寬度為2 500 mm，板的厚度為15 mm，沿著長度方向均勻布置有3 條縱向加強筋，加強筋尺寸為HP200 × 10的球扁鋼，加筋板分析模型如圖6 所示。總質量為1 166 kg，甲板敷料的附加質量為252 kg。根據公式（6），λ=0.91，考慮帶板的加強筋計算剖圖如圖7所示。采用解析計算式（3）、式（7）進行理論分析，得到加筋板固有頻率解析計算結果為34 Hz。

圖6 加筋板模型Fig.6 Stiffened plate model

圖7 加筋板慣性矩計算剖面Fig.7 Moment of inertia profile of stiffened plate

建立加筋板有限元模型進行有限元分析，板采用Abaqus 中的S4R 殼單元，加強筋采用B31 梁單元，并考慮甲板敷料附加質量的影響，得到四邊簡支約束下加筋板的1 階固有模態如圖8 所示。

圖8 加筋板1 階振動固有頻率及振型Fig.8 The first order modal frequency and shape of stiffened plate

由計算結果可知，有限元計算得到的含附加質量的加筋板的固有頻率為36.9 Hz，與解析法計算得到的結果34 Hz 相差約為8.5%，證明解析計算式（3）、式（7）可作為預測加筋板振動固有頻率的理論方法。

2.3 板架固有頻率的計算結果

分別采用單板架有限元模型、單艙段有限元模型、三艙段有限元模型對板架的固有頻率進行計算，并考慮板架上的附加質量746.5 kg，其中單板架有限元模型的模態計算結果如圖9 和圖10 所示。

圖9 板架模型簡支模態結果Fig.9 Modal results of the simply supported frame model

圖10 板架模型固支模態結果Fig.10 Modal results of the clamped frame model

從計算結果可以看到，采用單板架模型計算時，第1 階模態結果即是板架主模態，板架垂向彎曲振動簡支和固支邊界條件下固有頻率約為33.1 Hz 和49.9 Hz，板架主彎曲模態可以從表1 中板架該模態下的模態質量占比得出。表1 中模態質量為整體模型質量在某模態代表的不同自由度方向上是如何分布的，模態質量的理論計算公式為：

式中：mi為廣義質量，Γij為振型參入系數，代表了某個振型在某個自由度方向上振動的參入程度。

mi與Γij的計算式分別如下：

式中：M為質量陣；φi為模態振型。

通過模態質量可以識別哪階振型（模態）對所要研究的荷載作用方向是有作用的，表1 中單板架模型在該模態下模態質量與模型總質量的比值分別達到62.3%和53%，證明圖9 和圖10 中該階模態即為單板架模型的垂向彎曲振動主模態。

表1 甲板板架振動多級有限元計算結果對比Tab.1 Comparison of multi-stage finite element calculation res-ults of deck plate frame vibration

單艙段有限元模型的模態計算結果如圖11 所示。為了方便顯示所關注的甲板板架區域，隱掉了板架上方艙室壁板的顯示。

圖11 單艙段模型模態結果Fig.11 Modal results of the single compartment model

從圖11 可以看出，采用單艙段模型計算時，板架垂向彎曲振動的首階固有頻率 約為34.5 Hz，比四邊簡支約束下單板架模型計算的固有頻率結果大4.2%。由于單艙段模型考慮了板架周圍結構的約束，計算結果相對四邊簡支的單板架模型結果更為準確。從表1 可以看出，在該模態下，單艙段模型彎曲振動方向的模態質量占比較小，并且是以局部振動為主。而在其它階模態計算結果下，也未能發現“目標區域”有垂向彎曲振動主模態的出現。

三艙段有限元模型的模態計算結果如圖12 所示。同樣為了方便顯示所關注的甲板板架區域，隱掉了板架上方艙室壁板的顯示。

圖12 三艙段模型板架模態計算結果Fig.12 Modal results of the three-compartments model

從圖12 和表1的計算結果可以看出，采用三艙段模型計算時，隨著“目標板架”的邊界條件更一步逼近真實結構，板架垂向彎曲振動的首階固有頻率計算結果進一步增加，但是增加幅度較小，所得固有頻率35.4 Hz 較單艙段模型僅有2.6%的增加。

同時也可以看到，建立的三艙段模型由于模型規模的進一步擴大以及模型自由度的大幅度增加，將引入更多的局部振動模態，使得尋找“目標區域”固有模態的難度也隨之增加。綜合計算精度、建模工作量、模態識別的難易程度，工程計算中可以選用單艙段模型。

比較表1 各模型計算結果可以看出，采用邊界約束為固支的單板架模型固有頻率計算結果明顯偏大，甲板板架的固有頻率偏向于簡支。

3 計算結果試驗驗證

為分析平臺振動噪聲超標原因并驗證本文的計算方法，在平臺停靠碼頭時對超標區域進行了振動測試[8]。在主機艙內2 臺主機分別單獨開啟和同時開啟的狀態下，在主機艙艙室的頂部振動超標區域甲板上布置振動加速度測點A1（見圖1），測試甲板結構振動。

振動測試系統由ICP 振動加速度計和BK 3650 數據采集儀組成，參試的所有儀表均計量合格，滿足測試要求，振動測量物理量為速度，測量頻率范圍為5～100 Hz，頻率分辨率為0.1 Hz。圖13～圖15 為甲板測點的振動頻譜圖。

圖13 主機1 開啟下甲板測點的振動Fig.13 Vibration of the measured points on the deck under main engine 1 opened

圖14 主機2 開啟下甲板測點的振動Fig.14 Vibration of the measured points on the deck under main engine 2 opened

圖15 主機同時開啟下甲板測點的振動Fig.15 Vibration of the measured points on the deck under main engine 2 opened

主機的轉速為720 r/min，因此軸頻為12 Hz。由圖13～圖15 可以看出，甲板板架結構在主機軸頻12 Hz所對應的振動峰值并不大，最大的峰值對應的頻率是3 倍的軸頻即36 Hz，是導致結構振動超標的激勵頻率。

對前文各種計算模型及方法得到的振動超標區域結構固有頻率的計算結果匯總于表2。

表2 振動超標區甲板結構固有頻率計算結果Tab.2 Natural frequency results of deck structures in abnormal vibration region

可以看出，通過加筋板單元計算模型以及單艙段、三艙段數值計算模型得到的結構局部振動頻率均在36 Hz 附近，與實船測試結果非常接近，因此可以認為結構振動超標的主要原因是甲板板架局部加筋板單元的固有頻率與主機36 Hz的激勵頻率相重合引起的。對于本文，采用局部加筋板模型即可迅速分析出振動超標的原因，并且分析高效、簡便、快捷。

4 振動超標計算流程

對潛在或存在振動超標區域的板架結構設計或計算分析時，應依次選取結構中的板格單元、加筋板單元以及整體板架進行分析，并與激勵源的激勵頻率進行比較，確定振動超標是因哪部分結構引起，并采取相應的振動控制措施或者是結構改進。

對于板格單元和加筋板單元，采用文中的理論解析公式即可得到較為精確的固有頻率解答；對于板架模型，建議選用邊界約束為簡支的單艙段模型進行固有頻率分析。

5 結語

本文對海洋平臺甲板振動超標區域結構振動進行研究分析，采用理論解析與數值方法計算甲板板格及加筋板單元的固有頻率，采用不同有限元模型計算整體甲板板架結構的固有頻率，從而依次獲得振動超標區域甲板板格、加筋板單元以及整體甲板板架結構的固有頻率計算結果，并與實船試驗結果進行對比，得出以下結論：

1）平臺甲板結構振動超標的主要原因是加筋板單元的振動固有頻率與激勵頻率重合引起的結構局部共振；

2）對于甲板板格單元和加筋板單元，采用本文的理論解析公式即可得到較為精確的計算結果，可以用于振動超標區結構單元的固有頻率快速預報和評估；

3）為保證甲板板架固有頻率的計算精度，避免因模型計算規模的擴大引入更多的局部振動模態，造成結構主模態難以辨識、固有頻率難以獲取的問題，建議采用邊界約束為簡支的單艙段模型進行板架結構的固有頻率分析；

4）本文以甲板板架振動超標區為研究對象，提出的振動超標分析方法和流程可以推廣至船舶與海洋工程中結構底部板架、舷側板架等類似板架結構的振動固有頻率分析。