時間非均勻介質中兩種群競爭格點系統的廣義行波

張 巧 珍

(南京航空航天大學 數學系, 南京 210016)

0 引 言

本文考慮下列一般時間非均勻介質中兩種群競爭格點系統中廣義行波的存在性：

(1)

其中:i∈,t∈; 對任意的t∈,ai(t)∈,bi(t)>0,ci(t)>0, 且ai(t),bi(t),ci(t)(i=1,2)關于t∈是局部H?lder連續的.

系統(1)是下列兩種群競爭反應擴散系統的空間離散形式:

(2)

當有機體的運動或內部擴散分別發生在非鄰近與鄰近的位置之間時, 系統(1)和系統(2)被廣泛用于模擬競爭物種的種群動力學[1-4].系統(1)用于競爭物種種群密度進化模型中, 其中有機體內部相互作用或運動發生在非相鄰空間位置之間, 用差分算子描述； 系統(2)用于模擬競爭物種種群密度的進化, 其中有機體內部相互作用或運動發生在相鄰空間位置之間, 并用微分算子描述.在系統(1)和系統(2)中, 系數a1,a2表示兩種群的增長率,b1,c2表示兩種群的自我調節能力,b2,c1表示兩種群間的競爭能力.空間傳播速度和廣義行波是系統(1)和系統(2)的中心動力學問題.關于系統(2)在空間和時間齊次介質中[5-14]或者在空間和/或時間周期介質中[15-17]的空間傳播速度和廣義行波目前已有很多研究成果.文獻[18]研究了時間回復下擴散合作/競爭系統的空間傳播速度和線性確定性； 文獻[19]研究了在一般時間非均勻介質中競爭系統的空間傳播速度和廣義行波.

關于競爭模型中格點系統的研究目前報道較少: 文獻[20-22]研究了時間獨立介質中競爭格點系統的空間傳播速度和廣義行波； 文獻[23-27]研究了齊次或周期或時間非均勻介質中KPP(Kolmogorov-Petrovsky-Piskunov)型單一種群格點方程空間的傳播速度和廣義行波. 本文研究具有一般時間依賴兩種群競爭格點系統廣義行波的存在性和不存在性, 建立兩種群格點系統的比較原理, 并構造系統合適的上下解.

1 基本假設、 概念及主要結果

先給出一些記號及關于系統(1)的假設. 令

l∞()()={u∈l∞():

對任意給定的(u0,v0)∈l∞()×l∞(), 系統(1)有滿足初值條件(u(s;s,u0,v0),v(s;s,u0,v0))=(u0,v0)唯一的(局部)解

(u(t;s,u0,v0),v(t;s,u0,v0))={(ui(t;s,u0,v0),vi(t;s,u0,v0))}i∈.

(3)

注意到, 若u0∈l∞,+(),v0∈l∞,+(), 則(u(t;s,u0,v0),v(t;s,u0,v0))關于所有的t≥s存在, 且u(t;s,u0,v0)∈l∞,+(),v(t;s,u0,v0)∈l∞,+(),t≥s.若系統(1)的一個解(u(t),v(t))={(ui(t),vi(t))}i∈滿足對所有的i,j∈, 均有ui(t)=uj(t),vi(t)=vj(t), 則稱(u(t),v(t))是空間齊次的.

系統(1)包含以下兩個子系統,

(4)

(5)

本文假設：

(H1)表明系統(1)有兩個半平凡空間齊次正解(u+(t),0)∈Intl∞,+()×l∞,+() 和(0,v+(t))∈l∞,+()×Intl∞,+(), 其中u+(t)是系統(4)唯一的空間齊次正解,v+(t)是系統(5)唯一的空間齊次正解[23].

(H2) (0,v+(t))在l∞,+()×l∞,+()上是線性不穩定的, 即在l∞,+()×l∞,+()上是線性全局穩定的, 即對任意的(u0,v0)∈l∞,+()×l∞,+()(u0≠0), 當t→∞時,ui(t+s;s,u0,v0)-u+(t+s)→0,vi(t+s;s,u0,v0)→0關于i∈和s∈一致地成立.

在假設(H1)～(H3)下, 一個有趣的中心動力學問題就是研究系統(1)連接(u+(t),0)和(0,v+(t))廣義行波的存在性.為解決該問題, 先把系統(1)通過下述變量代換轉化為一個合作系統：

進一步將系統(1)轉化為

(6)

其中

Hui(t)∶=ui+1(t)-2ui(t)+ui-1(t),i∈,t∈.

顯然, 系統(6)在ui(t)≥0和0≤vi(t)≤v+(t)區域內是合作系統, 且系統(1)的平凡解(0,0)轉化為(0,v+(t)), 系統(1)的半平凡解(0,v+(t))和(u+(t),0)分別轉化為(0,0)和(u+(t),v+(t)).從而研究系統(1)連接(u+(t),0)和(0,v+(t))的廣義行波即等價于研究系統(6)連接(u+(t),v+(t))和 (0,0)的廣義行波.

將系統(6)滿足初值條件(u(s;s,u0,v0),v(s;s,u0,v0))=(u0,v0)∈l∞()×l∞()的解記作(u(t;s,u0,v0),v(t;s,u0,v0))={(ui(t;s,u0,v0),vi(t;s,u0,v0))}i∈.對任意的(u1,u2)∈l∞()×l∞()和(v1,v2)∈l∞()×l∞(), (u1,u2)<(v1,v2)((u1,u2)≤(v1,v2))即為對每一個分量i, 都有ui

定義1(廣義行波) 如果存在函數Φ(x,t),Ψ(x,t)(x∈)和c(t), 使得

(7)

假設滿足式(7)的(u(t),v(t))={(ui(t),vi(t))}i∈是系統(6)一個廣義行波.若對所有的t∈,Φ(x,t)和Ψ(x,t)關于x是非增的, 則稱廣義行波(u(t),v(t))是單調的.若存在, 使得則稱為其下平均速度.

下面給出本文的主要結果：

定理1假設(H1)～(H3)成立, 則有:

2) 當下平均速度小于c0時, 系統(6)不存在廣義行波.

2 比較原理及上下解的構造

首先考慮系統(6)的空間連續形式:

(8)

其中u=u(x,t),v=v(x,t),Hu(x,t)∶=u(x+1,t)-2u(x,t)+u(x-1,t),x∈,t∈.令

l∞()

對任意的(u0,v0)∈l∞()×l∞(), (u(t;s,u0,v0),v(t;s,u0,v0))={(ui(t;s,u0,v0),vi(t;s,u0,v0))}i∈是系統(6)滿足初值條件(i∈)的解.對任意的(u0,v0)∈l∞()×l∞(), 令(u(x,t;s,u0,v0),v(x,t;s,u0,v0))是系統(8)滿足初值條件(u(x,s;s,u0,v0),v(x,s;s,u0,v0))=(u0(x),v0(x))的解.對任意的(u1,u2),(v1,v2)∈l∞()×l∞(), (u1,u2)<(v1,v2)((u1,u2)≤(v1,v2))即為對每個i, 都有ui

令

f(t,u,v)=u(a1(t)-b1(t)u-c1(t)(v+(t)-v)),

g(t,u,v)=b2(t)(v+(t)-v)u+v(a2(t)-2c2(t)v+(t)+c2(t)v).

若對任意給定的x∈(x∈),u(x,t)和v(x,t)關于t∈[s,T)是絕對連續的, 且

ut(x,t)≥Hu(x,t)+f(t,u,v),vt(x,t)≥Hv(x,t)+g(t,u,v)

或

ut(x,t)≤Hu(x,t)+f(t,u,v),vt(x,t)≤Hv(x,t)+g(t,u,v)

關于幾乎處處的t∈[s,T)成立, 則在×[s,T)上關于t連續的一組函數(u(x,t),v(x,t))稱為系統(8)(系統(6))的一個上解或者下解.有限個上(下)解的下確界(上確界), 稱為該系統的一個廣義上(下)解.

下面建立系統(8)解的比較原理, 關于系統(6)解的比較原理類似可證.

命題1(比較原理) 假設(u2(x,t),v2(x,t))和(u1(x,t),v1(x,t))分別是系統(8)在[s,T)上的有界上解和下解, 且(ui(x,t),vi(x,t))∈[0,u+(t)]×[0,v+(t)](i=1,2)關于x∈,t∈[s,T]成立.若(u1(·,s),v1(·,s))≤(u2(·,s),v2(·,s)), 則(u1(·,t),v1(·,t))≤(u2(·,t),v2(·,t))關于t∈[s,T)成立.

證明: 令

w1(x,t)=ect(u2(x,t)-u1(x,t)),w2(x,t)=ect(v2(x,t)-v1(x,t)),

其中c待定.對任意給定的x∈, [s,T]上存在一個Lebesgue測度為0的可測子集E, 使得

(9)

關于t∈[s,T]E成立, 其中

因為系統(8)在[0,u+(t)]×[0,v+(t)]上是合作的, 則b1(x,t)≥0,a2(x,t)≥0.由ui(x,t)和vi(x,t)(i=1,2)的有界性知, 存在一個c>0, 使得b2(x,t)≥0和a1(x,t)≥0成立.

斷言wi(x,t)≥0(i=1,2)關于x∈,t∈[s,T]成立.令下面只需證明關于x∈,t∈[s,T0], 該斷言成立即可, 其中,使得或則存在t0∈(s,T0), 使得

因為w1(xn,s)≥0, 從而

令n→∞, 則

矛盾.因此wi(x,t)≥0(i=1,2)關于x∈,t∈[s,T]成立, 從而(u1(x,t),v1(x,t))≤(u2(x,t),v2(x,t))關于x∈,t∈[s,T]成立.

命題2假設(un,vn)∈l∞,+()×l∞,+()(n=1,2,…), (u0,v0)∈l∞,+()×l∞,+(), 且{‖un‖},{‖vn‖}是有界的.若當n→∞時, (un(x),vn(x))→(u0(x),v0(x))關于x在有界集上一致地成立, 則當n→∞時, 對每個t>0, 都有(u(x,t+s;s,un,vn),v(x,t+s;s,un,vn))→(u(x,t+s;s,u0,v0),v(x,t+s;s,u0,v0))關于x在有界集和s∈上一致地成立.

證明: 令

un(x,t+s;s)=u(x,t+s;s,un,vn)-u(x,t+s;s,u0,v0),

vn(x,t+s;s)=v(x,t+s;s,un,vn)-v(x,t+s;s,u0,v0),

則

其中

取λ>0, 令

X(λ)={(u,v):→2: (u(·)e-λ|·|,v(·)e-λ|·|)∈l∞()×l∞()},

進而

由Gronwall不等式, 可得

‖(un(·,t+s;s),vn(·,t+s;s))‖X(λ)≤e(α+M2)tM‖(un(·,s;s),vn(·,s;s))‖X(λ).

又因為當n→∞ 時, ‖(un(·,s;s),vn(·,s;s))‖X(λ)→0關于s∈一致地成立, 因此當n→∞時, (un(x,t+s;s),vn(x,t+s;s))→(0,0)關于x在有界集和s∈上一致地成立.證畢.

引理1令a(t)∈C(,(0,∞)), 則

引理1的證明可參見文獻[28].

引理2令(u0,v0)∈l∞,+()×l∞,+(), 若存在一個常數使得

(10)

關于s∈一致地成立.

(11)

|uin(tn+sn;sn,u0,v0)-u+(tn+sn)|+|vin(tn+sn;sn,u0,v0)-v+(tn+sn)|≥ε0

(12)

成立.

(13)

關于所有的i∈,s∈,成立;

(14)

關于任意的i∈,s∈,成立.注意到當n→∞時,因此存在

(15)

注意到

由比較原理, 可知

關于任意的i∈,t>0和n≥N成立, 其中由的定義可知關于i∈局部一致地成立.因此, 由命題2知, 對每個t>0, 均有

(18)

關于i∈局部一致地成立.由式(13),(16)～(18)可知

關于n?1成立.由式(14), 有

uin(tn+sn;sn,u0,v0)

關于n?1成立, 則

|uin(tn+sn;sn,u0,v0)-u+(tn+sn)|+|vin(tn+sn;sn,u0,v0)-v+(tn+sn)|<ε0

關于n?1成立, 與式(12)矛盾.因此式(10)成立.證畢.

由假設(H3)可知, 下列方程存在一個嚴格的正解h(t):

記c(t,μ)=(e-μ+eμ-2+a1(t)-c1(t)v+(t))/μ.下面構造系統(8)合適的廣義上下解.

關于x∈,t∈成立, 從而有

關于x∈,t∈成立.

令

因此,

令

則可得

關于所有的x∈,t≥s,s∈成立.從而滿足引理3中3).

滿足

(19)

關于所有的t∈(tk,tk+1),k∈成立.

固定上述δ>0和A(t), 令

其中d>1待定.則有

又由c(t,μ)=(e-μ+eμ-2+a1(t)-c1(t)v+(t))/μ, 可得

關于t∈(tk,tk+1)成立.再注意到

類似證明式(20)的結論, 可得

關于t∈(tk,tk+1)成立.令

定義

關于x∈,t≥s成立.

3 廣義行波的存在性

下面證明定理1.

由引理3可得

uτ2(x,t)≤uτ1(x,t), ?x∈,t>-τ1,

vτ2(x,t)≤vτ1(x,t), ?x∈,t>-τ1.

斷言

(23)

關于t∈一致地成立.事實上, 令由及式(22)和可得

令(u0(x),v0(x))恒為(u0,v0), 其中

關于s∈和x∈一致地成立.因此對任意的ε>0, 存在T∶=T(ε)>0, 使得

u+(T+s)>u(x,T+s;s,u0,v0)>u+(T+s)-ε, ?s∈,x∈.

從而由c(t)的定義可知

關于所有的s∈和x∈成立.由命題2知, 存在N∶=N(ε)>1, 使得

即

注意到

則可得

則有

關于t∈一致地成立.

2) 令

關于s∈一致地成立, 其中

斷言c*=c0.事實上, 考慮

(24)

對任意的u0∈l∞,+(), 令u-(t+s;s,u0)是式(24)滿足u-(s;s,u0)=u0的解.由比較原理知, 對任意的(u0,v0)∈l∞,+()×l∞,+(), 有

(25)

關于s∈一致地成立.從而可得c*≥c0.

(26)

關于s∈一致地成立.

ui(t+s;s,u0,v0)≤ui(t+s;s,us,vs),vi(t+s;s,u0,v0)≤vi(t+s;s,us,vs)

關于i∈,s∈和t≥0成立.聯合式(26)可推出

(27)

關于s∈一致地成立.再注意到由定理1中1)可得

則

關于s∈一致地成立.由式(27)和式(28)可得矛盾.因此c*=c0.

假設滿足式(7)的(u(t),v(t))={(ui(t),vi(t))}i∈是系統(6)連接(u+(t),v+(t))和(0,0)的廣義行波.下面證明其下平均速度注意到關于所有的z∈成立.因此, 可選取(), 使得(u0,v0)≤(Φ(x,s),Ψ(x,s))關于所有的s∈成立.令0<ε?1, 則由c*=c0和比較原理, 有