非線性三階三點邊值問題多個正解的存在性

張 瑞 燕

(西北師范大學 數學與統計學院, 蘭州 730070)

0 引 言

三階微分方程在數學和物理學領域應用廣泛, 如具有常數或變截面的彎曲梁、 電磁波或重力驅動流等. 三階邊值問題是常微分方程中的經典問題, 對三階邊值問題的研究目前已取得很多成果[1-8]. 例如： Guo等[9]考慮三階三點邊值問題

(1)

其中0<η<1, 1<α<1/η.用錐拉伸與壓縮不動點定理得到了如下結果:

定理1[9]設f∈C([0,∞),[0,∞)),a∈C([0,1],[0,∞))且在t∈[η/α,η]上不恒為零.若f還滿足如下條件之一：

1)f0=0,f∞=∞;

2)f0=∞,f∞=0.

Cabada等[10]用不動點指數定理證明了三階三點邊值問題

(2)

至少存在一個正解, 其中λ>0為一個參數,f: [0,1]×3→3為L1-Carathéodory函數, 0<η<1, 1<α<1/η為給定的常數.

由于所用工具的局限性, 文獻[9]僅在f(u)超線性和次線性增長的情形下討論了正解的存在性, 未考慮多個正解的情形, 并且文獻[9]和文獻[10]中, 1<α<1/η, 即α的取值范圍依賴于η.對于α>0, 三階邊值問題(2m-1)個正解的存在性研究目前尚未見文獻報道.基于此, 本文考慮更一般的非線性三階三點邊值問題

(3)

多個正解的存在性.本文總假設:

(H1)f: [0,1]×[0,∞)→[0,∞)連續;

(H2)ρ>0是一個常數;

(H3) 0<η<1,α>0.

1 預備知識

引理1[11]假設X是一個Banach空間,K?X是一個錐,T:K→K是一個全連續算子且0

1) ‖Tu‖≤‖u‖, ?u∈K, ‖u‖=r且‖Tu‖≥‖u‖, ?u∈K, ‖u‖=R；

2) ‖Tu‖≥‖u‖, ?u∈K, ‖u‖=r且‖Tu‖≤‖u‖, ?u∈K, ‖u‖=R.

則算子T有一個不動點u∈K且r<‖u‖

設φ1(t),φ2(t)分別是問題

和

的唯一解.易得

(4)

且φ1(t)在[0,1]上嚴格遞增,φ2(t)在[0,1]上嚴格遞減.

假設：

(H4) 0<αφ1(η)<1.

引理2假設(H2)和(H4)成立,h(t)∈C[0,1], 則邊值問題

(5)

存在唯一解v(t), 且

(6)

其中

(7)

v(t)=C1(t)φ1(t)+C2(t)φ2(t),t∈[0,1],

(8)

則有

(9)

解得

(10)

由式(8)和式(10)得

其中

易得

(11)

下面證明由式(6)定義的函數是式(5)的一個解.由于

因此,

又因為

顯然有v(0)=0,v(1)=αv(η).證畢.

令‖v‖=v(t0),t0∈(0,1].

下面證明

(12)

結論得證.

引理4假設(H2)～(H4)成立, 則對?δ∈(0,1/2), 存在0<γδ<1, 使得式(5)的解v(t)滿足v(t)≥γδ‖v‖,t∈[δ,1].

證明: 取γδ=min{q(t)|t∈[δ,1-δ]}, 顯然結論成立.

引理5[13]假設(H2)～(H4)成立, 且y(t)∈C[0,1], 則問題

(13)

定義集合

顯然,K是E上的一個錐.定義算子T:E→E,

引理6假設(H1)～(H4)成立, 則T:K→K是全連續算子.

證明: 下面分兩步證明T:K→K是全連續算子.

1) 證明T在K中有定義.顯然, 對?t∈[0,1], 都有Tu(t)≥0, 并且當t∈[δ,1]時, 有

2) 證明T是一個緊算子.由于f(s,u(s))為連續函數, 則對?s∈[0,1], 存在M>0, 使得|f(s,u(s))|≤M.

先證明Tu(t)在C[0,1]上一致有界.對?u(t)∈K, 有

所以Tu(t)在C[0,1]上一致有界.

再證明Tu(t)在C[0,1]上等度連續.令t1,t2∈[0,1], 不妨假設t1

2 主要結果

定理1令m∈滿足rk+1

(i)f(t,u(t))≥Brk,γδrk≤u≤rk,t∈[δ,1],B∈(Λ1,+∞);

(ii)f(t,u(t))≤ARk, 0≤u≤Rk,t∈[0,1],A∈(0,Λ2).

令u∈K∩?Ω2,k, 對?t∈[0,1], 都有u(t)≤‖u‖=Rk.由條件(ii), 可得

2) 令v∈K∩?Ω2,k+1(k=1,2,…,m-1), 對?t∈[0,1], 都有v(t)≤‖v‖=Rk+1.由條件(ii), 可得

綜上可知,T共有(2m-1)個不動點.

3 應 用

考慮如下非線性三階三點邊值問題：

(14)

其中ρ=1,α=1,η=1/2.不妨取δ=1/4, 經簡單計算可得

則

令m∈,α∈,A∈(0,Λ2),B∈(Λ1,+∞), 使得可得rk+1

α-(4k+2)<‖uk‖<α-4k,k=1,2,…,m,

α-4(k+1)<‖vk‖<α-(4k+2),k=1,2,…,m-1.